Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác

* sin2 cos2  với mọi  1

* tan cot   với mọi 1 k

a.Hai cung đối nhau:  và 

cos( ) cos sin(  ) sintan(  ) tan cot(  ) cot

b Hai cung phụ nhau:  và

2

    cot( ) tan

2

   

c Hai cung bù nhau:  và   

sin(   ) sin cos(    ) cos tan(    ) tan cot(    ) cot

d) Hai cung hơn kém nhau  :  và   

sin(    ) sin cos(    ) cos tan(   ) tan cot(   ) cot

3 Các công thức lượng giác

  

a b a bsina sinb 2sin cos

II Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0� sao cho với mọi x D� ta có

x T D� � và f(x T) f(x) 

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm

số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T

III Các hàm số lượng giác

1 Hàm số y sinx

�Tập xác định: D R

� Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 sinx 1 x R � �  �

� Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 )

     , nghịch biến trên mỗi khoảng ( k2 ;3 k2 )

� Hàm số y cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 

� Hàm đồng biến trên mỗi khoảng k ; k

� Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  

� Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k ;   k 

� Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k  �� làm một đường tiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau:

Cho hàm số y f(x) tuần hoàn với chu kì T

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k.vur (với v (T;0), kur ��) ta được toàn bộ đồ

thị của hàm số

* Số nghiệm của phương trình f(x) k , (với k là hằng số) chính bằng

số giao điểm của hai đồ thị y f(x) và y k

* Nghiệm của bất phương trình f(x) 0� là miền x mà đồ thị hàm số

 ( (u,v) là ước chung lớn nhất)

� Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c   (với u,v��) là hàm tuần hoàn với

1 Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn � có số thực dương T thỏa

f(x T) f(x)  �cos(x T) cos 3(x T) cosx cos 3x    

Cho x 0 cosT cos 3T 2 cosT 1

n

� �� là số hữu tỉ

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

2 Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

 2  

f(x k ) sin k2    k sin 3k 2k 2 �sin(2k 2)

f(x k ) 0

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 3 Cho a,b,c,d là các số thực khác 0 Chứng minh rằng hàm số

f(x) asincx bcosdx  là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi c

d là số hữu tỉ

Lời giải.

* Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn � T 0: f(x T) f(x) x  

Cho x 0,x T asincT bcosdT b cosdT 1

asincT bcosdT b sincT 0

2 Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c   (với u,v��) là hàm tuần hoàn

với chu kì T

(u,v)



CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn

với chu kì cơ sở T 0

� Hàm số y 2sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 

� Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y tan2x

� Hàm số y 2 cos2x  là hàm tuần hoàn với chu kì T 

� Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k

� Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k ;1),  k ;3

2

    .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y sin2x

Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y 2 cosx

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng 1

Ví dụ 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.

Vậy miny 1 đạt được khi cosx 0 x k

2



 �    maxy 1 đạt được khi cos x 12  �x k 

2 Đặt t 4sinx 3cosx  �5 t 5 x� �  ��

Khi đó: y t 2   4t 1 (t 2)23

Vì t� � � �� ���  5;5� 7 t 2 3 0 (t 2)2 49

Do đó 3 y 46 � �

Vậy miny 3; maxy 46

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ

nhận giá trị dương : y (3sinx 4cosx)  26sinx 8cosx 2m 1  

Suy ra: sin x sin y sinx.sinx siny.siny2  2  

sinxcosy sinycosx sin(x y)   

Mâu thuẫn với ( )

Suy ra: sin x sin y sinx.sinx siny.siny2  2  

sinxcosy sinycosx sin(x y)   

Mâu thuẫn với ( )

Vậy miny 0 ; maxy 10 

2 Do sinx cosx 2 0 x    � �� hàm số xác định với x ��

Xét phương trình : y sin x 2cosx 1

Vậy miny 2; maxy 1

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.

4 y 2sin x 3sin2x 4cos x 2   2

5 y sin x 3sin2x 3cos x 2   2

5 y tan x cot x 3(tanx cotx) 1 2  2   

Bài 5 Tìm m để hàm số y 5sin4x 6cos4x 2m 1   xác định với mọix

Bài 6 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

y 3(3sinx 4cosx)  4(3sinx 4cosx) 1 

Bài 7 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x��

1 (3sinx 4cosx) 26sinx 8cosx 2m 1 � 

* Nếu: m 1 � phương trình vô nghiệm

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: asinx bcosx c (1)  ; với a,b,c�� và

tanu(x) tanu(x)cotu(x) cotu(x)

Cách giải: Đặt

sinu(x)cosu(x)t

tanu(x)cotu(x)

Là phương trình có dạng: a(sinx cosx) bsinxcosx c 0    (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

2

t 1

sinxcosx2

t sinx cosx 2sin x

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

a(sinx cosx) bsinxcosx c 0    (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1 Giải các phương trình lượng giác cơ

bản

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1 sinx cos2x 0  2 cos x sin2x 02  

3 2sin(2x 35 ) 0  3 4 sin(2x 1) cos(3x 1) 0   

Lời giải.

1 Phương trình cos2x sinx cos( x)

0

95

2155

2

3x 1 2x 1 k2

10 52

3 sin 2x cos 2x cos3x2  2  4 sin2x.cos3x sin5x.cos6x

5 sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x    

6 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x2  2  2  2 7 cos 3xcos2x cos x 02  2 

Lời giải.

1 Phương trình �cosx 4sinxcosx 0  �cosx(1 4sinx) 0 

5 Phương trình �(sinx sin3x) sin2x (cosx cos3x) cos2x    

2sin2xcosx sin2x 2cos2xcosx cos2x  

�

cosx 02cos7xcosx 2cos11xcosx

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1 3sinx 4cosx 0  2 sin2x 3cos2x 1

3 2sin3x 5cos3x 5 4 3cosx 3sinx 1

5 sin7x cos2x  3(sin2x cos7x) 6 sin3x 3cos3x 2sin2x

7 sinx cosxsin2x  3cos3x 2(cos4x sin x)  3

2  5  9 5 � phương trình vô nghiệm

4 Phương trình 3cosx sinx 1 cos(x ) 1

6 Phương trình

3x 2x k23

23

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1 cos( sinx) cos(3 sinx)   2.

� � �sinx 0 �x m , m��.

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

1  3 1 sinx   3 1 cosx 2 2sin2x  

2 3sin x 5cos x 2cos2x 4sin2x2  2  

3 5sinx 2 3 1 sinx tan x     2 4.

cos x

  

�

2 2

sin x5sinx 2 3(1 sinx)

2 2

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:

1.sin x cos x sinx cosx3  3   2 2cos x sin3x3 

3 sin x 3tanx cosx 4sinx cosx2     

� � (Do sin x sinxcosx 2cos x 0 x2   2   ��)

2 Phương trình �2cos x 3sinx 4sin x3   3

3 Điều kiện: cosx 0�

Phương trình �tan x 3tanx(1 tan x) 4tanx 12   2  

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:

1.sin x 5sinxcosx 6cos x 02   2  2 sin x 3sinx.cosx2    1

3.3sin x 5cos x 2cos2x 4sin2x2  2   4 sin x cos x sinx cosx3  3   Lời giải.

1 Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos x ta được:2

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.cos3x cos2x cosx 1 0     2.

1 Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau

phương trình �cos3x cosx (1 cos2x) 0   

21

cosx

32

2 Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm

số côsin lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x Phương trình �3(2cos 2x 1) (1 cos2x)2    3 1 cos2x 3

Ta có: sin(x 3 ) sin (x ) 2 sin(x ) cosx

sinx cosx 0 x k

41

Phương trình �4sinxcos x 2sinxcosx 1 2cosx2   

2sinxcosx(2cosx 1) 2cosx 1  

�

4(2cosx 1)(sin2x 1) 0

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.4 cos3xcos x sin3xsin x 3  3  3sin6x 1 3 cos x sin x   4  4 

2 4 sin x cos x 4  4 sin4x 3 1 tan2xtanx    3

cos x sin x cos2x  nên

Phương trình �3cos2x cos6x  3sin6x 1 3cos2x 

Ta có : 4 sin x cos x 4  4  4 2sin 2x 3 cos4x2  

sin2x sinx cos2xcosx sin2xsinx

Ví dụ 10 Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :

cos x



Vì  72 (1 3 33)(3 33 5) 03 3  

Suy ra (1 3 33)tan x 14tanx 3 33 5 0 x 3 2   3    ��.

Suy ra điều phải chứng minh

Lời giải.

1 Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan tan   2

Suy ra tan( ) tan tan 2

2 Theo định lí Viét ta có: tan tan  b,tan tan  c

Suy ra tan( ) tan tan b

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Bài 5 Giải các phương trình sau:

2cos x cosx 1

10 2 2 sinx cosx cosx 3 cos2x    

Bài 7 Giải các phương trình sau:

1 3cos4x sin 2x cos2x 2 0 2   

4 cos2x 3cosx 4cos2x

2

7 2 sin x cosx   tanx cotx

Bài 8 Giải các phương trình sau:

7 5 1 cosx    2 sin x cos x4  4

9 7cosx 4cos x 4sin2x 3 

Bài 9 Giải các phương trình sau:

1 2cos x 6sinxcosx 6sin x 12   2 

3 cos x sinxcosx 2sin x 1 02   2  

5 2 2 sinx cosx cosx 3 2cos x     2

2 cos x2  3sin2x 1 sin x  2

4 cos x2  3sinxcosx 1 0 

6.tanx cotx 2 sin2x cos2x    

7 2cos x sin3x3 

8 4sin x 3cos x 3sinx sin xcosx 03  3   2 

Bài 10 Giải các phương trình sau:

4sinx 3cosx 1

3 cosx 2sinx.cosx2 3

2cos x sinx 1

  4 4 sin x cos x 4  4  3sin4x 2

Bài 11 Giải các phương trình sau:

1 2sin2xsinx cosx  1 0

5 cosx sinx 2sin2x 1  

2 sin2x 12 sinx cosx   12 0

4 1 tanx 2 2sinx 

6 cos x sin x cos2x3  3 

7 cos x sin x 2sin2x sinx cosx3  3   

8.cosx 1 sinx 1 10

Bài 12 Giải các phương trình sau:

1 2cos x 6sinxcosx 6sin x 12   2 

3 2 2 sinx cosx cosx 3 2cos x     2

5 2cos x sin3x3 

2 cos x2  3sin2x 1 sin x  2

4 tanx cotx 2 sin2x cos2x    

6 4sin x 3cos x 3sinx sin xcosx 03  3   2 

7 sin x tanx 12    3sinx cosx sinx  3

8 cos x sin x 2 cos x sin x3  3   5  5 

9 sin x 3tanx cosx 4sinx cosx2     

10 2 2cos (x3 ) 3cosx sinx 0

4 3cos4x sin 2x cos2x 2 0 2   

Bài 14 Giải các phương trình sau:

1 4cosx.cos2x 1 0  

3 cos x cos2x 2sin x 04   6 

2 16(sin x cos x) 17cos 2x8  8  2

Bài 15 Giải các phương trình sau:

8 5 1 cosx    2 sin x cos x4  4

10 7cosx 4cos x 4sin2x 3 

Bài 17 Giải các phương trình sau:

1 sin 2x.cos6x sin 3x2 2 1sin11x.sin9x

3 1+sinx cosx sin2x cos2x 0    

4 cos x(cosx 1)2 2(1 sinx)

sinx cosx  



5.

3cot x 2 2sin x (2 3 2)cosx  

6 2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4   

Bài 18 Giải các phương trình sau:

1 sin x cos x 14 4 cot2x 1

5sin2x 2 8sin2x

2 2cosx 1 2sinx cosx     sin2x sinx ( D – 2004 )

3 2(sin x cos x) sinxcosx6 6 0

6 cotx tanx sinx cosx   

7 sinx.sin4x 2cos( x) 3cosx.sin4x

2 4 12cosx 1

11 3sinx 2cosx 2 3tanx  

12 22 2tan x 5tanx 5cotx 4 02

16 (sin2x cos2x)cosx 2cos2x sinx 0   

17 sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0    

18 (1 2sinx)cosx 3

(1 2sinx)(1 sinx)

19 sinx cosxsin2x  3cos3x 2(cos4x sin x)  3

20 3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  

Bài 19 Giải các phương trình sau

1 2cosx tanx 1 2sin2x  

2.3cotx tanx 8sin(x 8 )

3



3.sin3x cosx.cos2x(tan2x tan x)  2

4. 2(sinx cosx) (1 2sin2x)2 1 tanx

7 cosx 2cos3x 1   3.sinx

8 sinx sin x sin4x sin 2x

13 sin3x 2cos3x cos2x 2sin2x 2sinx 1 0     

14 sinxsin4x 2 2cos x 4 3cos xsinxcos2x2

15 2cos2x 1 cosx sinx    2 sinx cosx sin3x  

16 tan x 3 (12    2sinx)(tanx 2cosx)

17 1 cosx.cos2x 1 4sin x sinx 12

sin2x cosx

Bài 20 Giải các phương trình sau:

1 sinx.sin4x 2cos( x) 3cosx.sin4x

6



2 cosx 2cos3x 1   3.sinx

3 sin x.cos3x cos xsin3x3 3 3

4



4 2sin2x (2 3 3)sinx (2 3 3)cosx 6      3

5 sin x 4sin2 2 x sin 3x2

Bài 21 Giải các phương trình sau

1 sin x3  3cos x sinxcos x3  2  3sin xcosx2

2 1 sin x cosx 2   1 cos x sinx 1 sin2x2   

3 2sin 2x sin7x 1 sinx2   

6 sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

7 sin2x 2cosx sinx 1 0

tanx 3



3 sinx sinx sin x cosx 1  2  

4 1 sinx  1 sinx 2cosx 

5 cos 2x2 1sin 4x 1 sin4xcos2x sin x2 2

4

6 sin x cos x 114  13 

7 tan x tan y cot x y2  2  2   1

8 sin x2 1sin 3x sinxsin 3x2 2

cos10x cos4x

x7

cos6x sin2x cos 2x

16 4kx

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

x

3k 53k 5

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0;2 ) của phương trình sau:

 3 1 sinx   3 1 cosx 2 2sin2x  

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau

Phương trình � 3sinx cosx  3cosx sinx 2 2sin2x 

7sin(x ) cos(x ) 2sin2x sin(x ) sin2x

Tiếp tục giải ta được kết quả như trên

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

Bài 4 Tìm x���0;14�� nghiệm đúng phương trình :

cos3x 4cos2x 3cosx 4 0   

Bài 5 Tìm nghiệm trên khoảng ( ; )  của phương trình :

2

2(sinx 1)(sin 2x 3sinx 1) sin4x.cosx   

Bài 6 Tìm nghiệm x�0;2 của phương trình :

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn

lượng giác Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

� Điểm biểu diễn cung  và  k2 , k�� trùng nhau

� Để biểu diễn cung 2k

n



  lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận

n giá trị (thường chọn k 0,1,2, ,n 1  ) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm k

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

ax by c  (1)

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

� Phương trình (1) có nghiệm �d (a,b) là ước của c

� Nếu phương trình (1) có nghiệm (x ;y ) thì (1) có vô số nghiệm0 0

0 0

b

d ,ta

Giả sử ta có điều kiện là u(x) 0� ( u(x) 0,u(x) 0� � ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa u(x) và giải phương trình để tìmu(x)

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

2



Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung k

2 Điều kiện:

kx4nx7

sin6x sin4x sin14x sin4x   sin14x sin6x

kx

k14x 6x k2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải phương trình : sinx cos2x

Bài 2: Giải phương trình : cos3xtan4x sin5x

Bài 3: Giải phương trình 2 sin3x cos3x    1 2sin6x 2sin2x 

Bài 4: Giải phương trình : tan2xtan3xtan7x tan2x tan3x tan7x  

Bài 5: Giải phương trình : 4cos2x tanx tanx.tan2 x

Bài 8 Giải các phương trình sau

1 sinx sin2x sin3x 3

cosx cos2x cos3x

cos x



 

5 cos3xtan5x sin7x 6 1 2(sinx cosx)

tanx cot2x cotx 1





Bài 9 Giải các phương trình sau

1 2tanx 1cot2x 2sin2x 1

2 tan2x tan3x tan5x tan2xtan3xtan5x  

3 cosx cos5x 8sin 2 x2 8cos x2

Vấn đề 4 Phương trình lượng giác chứa tham

21

phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình: mcos2x m 1 

 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3 Cho phương trình : (m 1)cosx 2sinx m 3   

1 Giải phương trình khi m   2 Tìm m để phương trình 2

2 Phương trình đã cho có nghiệm �(m 1) 24 (m 3)�  2 m 1

Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau: