Tài liệu Hàm chỉnh hình pdf

Hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức.. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình,HàmJukovski, Đ

Hàm chỉnh hình

Chương 2 Hàm chỉnh hình

Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006

Tr 105-187.

Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ

bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình,HàmJukovski, Đẳng cấu

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

H` am chı’nh h`ınh

2.1 H` am kha ’ vi 106

2.1.1 H`am R2 - kha’ vi 106

2.1.2 D- a.o h`am theo phu.o.ng 108

2.1.3 H`am C - kha’ vi 110

2.1.4 Mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a C - kha’ vi v`a R2 - kha’ vi 114

2.1.5 H`am chı’nh h`ınh 115

2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı’nh h`ınh 121

2.2 Mˆ o t sˆ o ´ h` am chı’nh h` ınh so cˆ a ´p 122

2.2.1 D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 122

2.2.2 H`am w = z nv`a z = √n w, n ∈ N 122

2.2.3 H`am e z 124

2.2.4 H`am lˆogarit 126

2.2.5 H`am l˜uy th`u.a z α , α ∈ R 130

2.2.6 C´ac h`am so cˆa´p kh´ac 131

2.2.7 Nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am da tri 134

2.3 H` am chı’nh h`ınh v` a ´ anh xa ba ’ o gi´ ac 138

2.3.1 Y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a acgumen cu’a da.o h`am 138´

2.3.2 Y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a mˆodun da.o h`am 140´

2.3.3 Anh xa ba’o gi´ac 141´

2.3.4 Anh xa liˆen tu.c v`a ´anh xa chı’nh h`ınh 143´

2.4 C´ ac d ˘ a’ng cˆ a ´u so cˆ a ´p 146

2.4.1 D- ˘a’ng cˆa´u phˆan tuyˆe´n t´ınh 147

2.4.2 Anh xa w = e´ z v`a z = log w 160

2.4.3 H`am Jukovski 164

2.4.4 C´ac d˘a’ng cˆa´u so cˆa´p kh´ac 172

2.4.5 Mˆo.t sˆo´ v´ı du 175

2.5 B` ai tˆ a.p 183

Su thu he.p tˆa.p ho p c´ac h`am biˆe´n ph´u.c b˘a`ng diˆe`u kiˆe.n C - kha’ vi s˜e du.a

dˆe´n l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh Di.nh ngh˜ıa t´ınh C - kha’ vi cu’a h`am biˆe´n ph´u.c s˜e du.o c tr`ınh b`ay ho`an to`an tu.o.ng tu nhu di.nh ngh˜ıa t´ınh kha’ vi trong gia’i t´ıch thu c Tuy c´o su “giˆo´ng nhau” bˆe` ngo`ai d´o, gi˜u.a hai kh´ai niˆe.m n`ay tˆo` n ta.i nh˜u.ng su kh´ac nhau rˆa´t cˆo´t yˆe´u m`a ta s˜e thˆa´y r˜o trong chu.o.ng II n`ay

2.1 H` am kha ’ vi

2.1.1 H` am R2 - kha ’ vi

Gia’ su.’ D l`a miˆ`n cu’a m˘a.t ph˘a’ng Re 2 v`a f (x, y) l`a h`am gi´a tri thu c ho˘a.c ph´u.c x´ac di.nh trong D, z0 = x0+ iy0 ∈ D.

Ta c´o di.nh ngh˜ıa sau dˆay

- kha’ vi ta.i diˆe’m (x0, y0) ∈ D nˆe´u

tˆ` n ta.i h`am tuyˆe´n t´ınh Ah + Bk cu’a c´ac biˆe´n thu c h v`a k sao cho v´o.i h v`ao

k du’ b´e sˆo´ gia cu’a f tho’a m˜an hˆe th´u.c

f (x + h, y + k) − f (x , y ) = Ah + Bk + ε(h, k)ρ,

trong d´o A, B thu .c ho˘a.c ph´u.c, ρ =√h2+ k2 v`a ε(h, k) → 0 khi ρ → 0.

Nˆe´u f l`a h`am R2 - kha’ vi ta.i diˆe’m z0 = x0+ iy0 ∈ D th`ı c´ac h˘a`ng sˆo´ A

v`a B (thu c ho˘a.c ph´u.c) du.o c x´ac di.nh duy nhˆa´t v`a tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng

du.o c go.i l`a vi phˆan cu’a h`am f ta.i diˆe’m (x0, y0)

B˘a`ng c´ach su.’ du.ng k´y hiˆe.u c´o t´ınh chˆa´t truyˆe`n thˆo´ng dˆo´i v´o.i h v`a k:

B˘a`ng c´ach d˘a.t

∂f

∂z =

12

nhˆ a´t, t´ u.c l` a nˆ e´u c´ o

df = Adz + Bdz th`ı A = ∂f

∂x; B =

∂f

∂z ·Ch´ u.ng minh V`ı dz = dx + idy, dz = dx − idy nˆen

Gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh n`ay ta thu du.o c diˆe`u pha’i ch´u.ng minh

2.1.2 D - a.o h`am theo phu.o.ng

D - i.nh ngh˜ıa 2.1.2 Gi´o.i ha.n cu’a ty’ sˆo´∆f

∆z khi ∆z → 0 m` a ϕ = lim ∆z→0 (arg∆z) du.o c go.i l`a da.o h`am cu’a h`am f theo phu.o.ng ϕ ta.i diˆe’m z0

Da.o h`am theo phu.o.ng ϕ du.o c k´y hiˆe.u l`a ∂f

Ta c´o di.nh l´y sau dˆay:

D- i.nh l´y 2.1.2 Gia’ su.’ f l`a h`am R2 - kha’ vi Khi d´ o tˆ a p ho p c´ac gi´a tri.

da o h` am theo phu.o.ng ta i diˆ e’m z0 cho tru.´ o.c lˆ a p th` anh du.` o.ng tr` on v´ o.i tˆ am

∂z (z0).

2.1.3 H` am C - kha ’ vi

Gia’ su.’ D l`a miˆ`n cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c C v`a f l`a h`am biˆe´n ph´u.c z = x + iyex´ac di.nh trong D Ta c´o di.nh ngh˜ıa quan tro.ng sau dˆay:

ta.i gi´o.i ha.n

Di.nh ngh˜ıa 2.1.3 d`oi ho’i r˘a`ng gi´o.i ha.n (2.8) pha’i tˆo` n ta.i dˆo´i v´o.i mo.i c´ach

cho z dˆ ` n dˆe´n z a 0 N´oi ch´ınh x´ac ho.n, hˆe th´u.c (2.8) c´o ngh˜ıa r˘a`ng: ∀ ε > 0,

∃ δ = δ(ε) > 0 sao cho khi 0 < |h| < δ th`ı bˆa´t d˘a’ng th´u.c

f (z0 + h) − f (z h 0) − f0(z0)

pha’i dˆ` n t´o.i c`a ung mˆo.t gi´o.i ha.n

T`u hˆe th´u.c (2.9) c˜ung suy ra r˘a`ng nˆe´u h`am f(z) c´o da.o h`am ta.i diˆe’m z0

th`ı n´ o liˆ en tu c ta i diˆ e’m d´ o Diˆ`u kh˘a’ng di.nh ngu.o c la.i l`a khˆong d´ung.eT`u di.nh ngh˜ıa da.o h`am (2.8) v`a c´ac t´ınh chˆa´t cu’a gi´o.i ha.n trong miˆe`nph´u.c suy r˘a`ng c´ac quy t˘a´c co ba’n dˆe’ t´ınh da.o h`am cu’a tˆo’ng, t´ıch v`a thu.o.ng

cu’a hai h`am cu’a h`am ho p v`a h`am ngu.o c dˆo´i v´o.i c´ac h`am biˆe´n thu c dˆe`udu.o c ba’o to`an dˆo´i v´o.i c´ac h`am biˆe´n ph´u.c.

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n sang x´et vˆa´n dˆ` tu nhiˆen l`a: t´ınh C - kha’ vi d˜a nˆeuetu.o.ng ´u.ng v´o.i t´ınh chˆa´t do.n gia’n n`ao cu’a c´ac h`am u(x, y) v` a v(x, y) l`a phˆ` nathu c v`a phˆa` n a’o cu’a h`am f (z).

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) l` a C - kha’ vi ta i diˆ e’m z = x + iy Khi d´ o ta i diˆ e’m (x, y) h` am u(x, y) v` a v(x, y) c´ o c´ ac da o h` am riˆ eng theo biˆ e´n x v` a y tho’a m˜ an diˆ `u kiˆe.n e

Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ h`am w = f (x) x´ac di.nh trong miˆe`n D ⊂ C v`a c´o da.o

Nhu vˆa.y v´o.i mo.i c´ach cho ∆z = ∆x + i∆y dˆa`n dˆe´n 0 gi´o.i ha.n (2.11) pha’i

tˆ` n ta.i v`a dˆe`u b˘a`ng mˆo.t gi´a tri l`a fo 0

(z) Do d´o gi´o.i ha.n ˆa´y pha’i tˆo` n ta.i tronghai tru.`o.ng ho p riˆeng sau

Trong tru.`o.ng ho p th´u nhˆa´t ta c´o

Trong tru.`o.ng ho p th´u hai:

u(x, y + ∆y) − u(x, y)

Di.nh l´y du.o c ch´u.ng minh

R˜o r`ang l`a c´ac hˆe qua’ thu du.o c t`u t´ınh C - kha’ vi l`a ˆa´n tu.o ng ho.n nhiˆe`u

so v´o.i c´ac hˆe qua’ thu du.o c t`u t´ınh C - liˆen tu.c Ngo`ai viˆe.c c´ac h`am u(x, y)

v`a v(x, y) c´o c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p 1, c´ac da.o h`am n`ay c`on pha’i liˆen hˆe v´o.inhau bo.’ i c´ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆan (2.10)

Nhu vˆa.y, thˆa.m ch´ı nˆe´u u(x, y) v`a v(x, y) c´o c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p 1 th`ı

n´oi chung h`am u + iv khˆong pha’i l`a h`am kha’ vi cu’a z.

T`u d´o, c´ac hˆe th´u.c Cauchy - Riemann (2.10) lˆa.p th`anh diˆe `u kiˆe.n cˆa ` n dˆe’

h`am f (z) l`a C - kha’ vi Tuy nhiˆen d´o khˆong pha’i l`a diˆ`u kiˆe.n du’ Ta x´ete

mˆo.t v`ai v´ı du

v`a diˆ`u kiˆe.n Cauchy - Riemann tho’a m˜an Nhu.ng h`am f(z) khˆong C kha’ vie

ta.i diˆe’m z = 0 Thˆa.t vˆa.y, ta c´o f (z) z =

V´ı du n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng h`am f(z) c´o thˆe’ khˆong C - kha’ vi nˆe´u hˆe ty’ sˆo´

f (z) − f (z0)

z − z0

dˆ` n dˆe´n gi´o.i ha.n do.c theo hai du.`o.ng th˘a’ng vuˆong g´oc V`a n´oiachung, h`am f c´o thˆe’ khˆong C - kha’ vi cho d`u ty’ sˆo´ trˆen dˆ` n dˆe´n gi´o.i ha.natheo mˆo.t l´o.p c´ac du.`o.ng d˘a.c biˆe.t n`ao d´o Ch˘a’ng ha.n, ta x´et h`am

Dˆ˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng lime f (z) − f (0)

z = 0 nˆe´u z → 0 do.c theo bˆa´t c´u du.`o.ng

th˘a’ng n`ao qua gˆo´c to.a dˆo Nhu.ng trˆen du.`o.ng cong x = y2 ta c´o

Do d´o h`am f (z) khˆ ong C - kha’ vi ta.i diˆe’m z = 0.

C´ac hˆe th´u.c (2.10) s˜e l`a diˆe`u kiˆe.n du’ dˆe’ f(z) l`a C - kha’ vi nˆe´u gia’ thiˆe´t

thˆem r˘a`ng ca’ bˆo´n da.o h`am riˆeng cˆa´p 1 cu’a h`am u(x, y) v`a v(x, y) dˆe`u tˆo`n ta.i

trong lˆan cˆa.n diˆe’m (x, y) v`a liˆen tu.c ta.i diˆe’m (x, y) Ta c´o

h` am riˆ eng liˆ en tu c tho’a m˜ an c´ ac diˆ `u kiˆe.n Cauchy - Riemann th`ı h`am biˆe´n e ph´ u.c f (z) = u + iv c´ o da o h` am ta i diˆ e’m z = x + iy.

Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ c´ac h`am u v` a v c´o c´ac da.o h`am riˆeng liˆen tu.c ta.i diˆe’m

(x, y) Khi d´ o u v` a v kha’ vi ta.i diˆe’m d´o, t´u.c l`a sˆo´ gia ∆u v`a ∆v tu.o.ng ´u.ng

v´o.i c´ac sˆo´ gia ∆x v` a ∆y c´o thˆe’ biˆe’u diˆ˜n du.´o.i da.nge

Do d´o, nˆe´u lu.u ´y r˘a`ng o1(ρ) + io2(ρ) = o(ρ) (ρ → 0) ta c´o

2.1.4 Mˆ o ´i liˆ en hˆ e gi˜ u.a C - kha ’ vi v` a R2 - kha ’ vi

C´ac diˆ`u kiˆe.n Cauchy - Riemann (2.10) c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng go.n g`angeho.n nˆe´u ta su.’ du.ng kh´ai niˆe.m da.o h`am h`ınh th´u.c trong 1 v`a 2

T`u di.nh l´y 2.1.2 suy ra r˘a`ng nˆe´u f l`a h`am C - kha’ vi ta.i diˆe’m z0 ∈ D th`ı

da.o h`am theo mo.i phu.o.ng ta.i diˆe’m d´o dˆe`u tr`ung nhau v`a b˘a`ng ∂f

∂z ·

Ch´ınh x´ac ho.n ta c´o

miˆ `n d´ e o khi v` a chı’ khi n´ o tho’a m˜ an diˆ `u kiˆe.n e

v`a nhu vˆa.y ta c´o di.nh l´y sau dˆay.

l` a R2 - kha’ vi ta i diˆ e’m d´ o v` a c´ ac da o h` am riˆ eng cu’a n´ o ta i diˆ e’m ˆ a´y liˆ en hˆ e v´ o.i nhau b˘ a `ng hˆe th´u.c (2.15).

2.1.5 H` am chı’nh h`ınh

T`u t´ınh C - kha’ vi d˜a du.o c di.nh ngh˜ıa ta chu.a thˆe’ r´ut ra nh˜u.ng kˆe´t luˆa.nm`a ch´ung ta mong muˆo´n khi n´oi dˆe´n tˆ` m quan tro.ng cu’a kh´ai niˆe.m n`ay.a

Dˆe’ thu du.o c nh˜u.ng kˆe´t qua’ d´o, d`oi ho’i h`am f pha’i l`a C - kha’ vi ta.i mˆo.t

lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m z0 V`ı thˆe´ ta c´o

D- i.nh ngh˜ıa 2.1.4 1) H`am f du.o c go.i l`a h`am chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m z0 nˆe´un´o l`a C - kha’ vi ta.i mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m z0 H`am f du.o..c go.i l`a

chı’nh h`ınh trong miˆ `n D nˆe´u n´o chı’nh h`ınh ta.i mo.i diˆe’m cu’a miˆe`n ˆa´y Tˆa.p e

ho p mo.i h`am chı’nh h`ınh trong miˆe`n D du.o c k´y hiˆe.u l`a H(D).

2) H`am f (z) chı’nh h`ınh ta i diˆ e’m vˆ o c` ung nˆe´u h`am ϕ(z) = f1

z

chı’nh

“h`am chı’nh h`ınh” ≡ “h`am ch´ınh quy” ≡ “h`am gia’i t´ıch do.n tri.”

T`u diˆ`u kiˆe.n Cauchy - Riemann v`a di.nh ngh˜ıa 2.1.4 dˆe˜ d`ang suy rae

3 nˆ e´u f ∈ H(D) v` a f chı’ nhˆ a n gi´ a tri thu .c th`ı f l`a h˘a`ng sˆo´.

Ch´ u.ng minh B˘a`ng c´ach t´ınh to´an tru c tiˆe´p ta thu du.o c

D - i.nh l´y 2.1.8 (vˆe ` h` am ho ..p) Nˆe´u f(w) l`a h`am chı’nh h`ınh trong D∗

v` a

nˆ e´u g : D → D∗ l` a h` am chı’nh h`ınh trong D th`ı h` am ho . p f[g(z)] chı’nh h`ınh trong D,

Ch´ u.ng minh Thˆa.t vˆa.y, dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng

Tiˆe´p theo, gia’ su.’ w = f (z), z ∈ D l`a h`am chı’nh h`ınh ´anh xa do.n tri mˆo.t

- mˆo.t miˆe`n D lˆen miˆe `n D∗ Diˆ`u d´o c´o ngh˜ıa l`a theo h`am d˜a cho mˆo˜i z ∈ De

dˆ`u tu.o.ng ´e u.ng v´o.i mˆo.t gi´a tri w ∈ D∗ v`a dˆ` ng th`o.i theo quy luˆa.t d´o mˆo˜io

w ∈ D∗ chı’ tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo.t gi´a tri z ∈ D T`u d´o x´ac di.nh du.o c h`am do.n tri z = ϕ(w), w ∈ D∗ c´o t´ınh chˆa´t l`a f [ϕ(w)] = w, w ∈ D∗ Nhu ta biˆe´th`am z = ϕ(w) du.o c go.i l`a h`am ngu.o c v´o.i h`am w = f(z), z ∈ D.

Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u f0

(z) 6= 0, z ∈ D th`ı h` am z = ϕ(w) l` a h` am chı’nh h`ınh trˆ en D∗.

Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ w, w + ∆w ∈ D. ∗ Nh`o h`am ngu.o c, c´ac diˆe’m n`ay tu.o.ng

´

u.ng v´o.i diˆe’m z, z + ∆z Theo gia’ thiˆe´t h`am f c´ o da.o h`am ta.i diˆe’m z nˆen

f (z) liˆ en tu.c ta.i d´o: ∆w → 0 nˆe´u ∆z → 0 Do t´ınh do.n tri mˆo.t - mˆo.t ta c´o

ca’ diˆ`u kh˘a’ng di.nh ngu.o c la.i: ∆z → 0 nˆe´u ∆w → 0 Nhu.ng khi d´oe

Ta x´et v´ı du h`am w = az + b, a 6= 0 l`a h`am tuyˆe´n t´ınh nguyˆen H`am n`ay

´

anh xa do.n tri mˆo.t - mˆo.t m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c z lˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c w H`am

ngu.o c cu’a n´o c´o da.ng

v`a do d´o

R∗ =

lim

2 Gia’ su.’ z l`a diˆe’m cˆo´ di.nh t`uy ´y n˘a`m trong h`ınh tr`on |z| < R Khi d´o

c´o thˆe’ chı’ ra sˆo´ R1 (0 < R1 < R) sao cho |z| < R1 < R Gia’ su ’ ∆z l`a sˆo´ giat`uy ´y cu’a z m` a |z + ∆z| < R1 < R V`ı

∞X

n=m+1

a n



(z + ∆z) n−1 + z(z + ∆z) n−2 + · · · + z n−1