Tài liệu Tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình pptx

Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức.. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Định lý Liouville, Hàm chỉnh hình, Chuỗi Taylor, Kh

Chương 4 Các tính chất cơ bản của hàm

chỉnh hình

Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006

Tr 287-309.

Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Định lý Liouville, Hàm chỉnh hình,

Chuỗi Taylor, Không điểm, Thác triển giải tích, Nguyên lý modun cực đại Điểm bất thường cô lập, Tập hợp mờ, Nguyên lý acgumen

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

C´ ac t´ınh chˆ a ´t co ba’n cu’a h` am chı’nh h`ınh

4.1 C´ ac kˆ e´t qua ’ quan tro.ng nhˆa´t r´ ut ra t` u t´ıch phˆ an

Cauchy 279

4.1.1 D- i.nh l´y gi´a tri trung b`ınh 279

4.1.2 D- i.nh l´y Liouville 280

4.1.3 D- i.nh l´y Weierstrass vˆe` chuˆo˜i h`am hˆo.i tu dˆe`u 284

4.1.4 T´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng cu’a h`am chı’nh h`ınh Chuˆo˜i Taylor 288

4.1.5 C´ac quan diˆe’m kh´ac nhau trong viˆe.c xˆay du ng l´y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh 305

4.2 T´ ınh chˆ a ´t duy nhˆ a ´t cu’a h` am chı’nh h` ınh 310

4.2.1 Khˆong diˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`am chı’nh h`ınh 310

4.2.2 T´ınh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh 313

4.2.3 Nguyˆen l´y th´ac triˆe’n gia’i t´ıch 317

4.2.4 Nguyˆen l´y mˆodun cu c da.i 320

4.3 D - iˆ e’m bˆ a ´t thu.` o.ng cˆ o lˆ a.p 326

4.3.1 Chuˆo˜i Laurent 326

4.3.2 D- iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p do.n tri 337

4.3.3 D´ang diˆe.u cu’a h`am ta.i diˆe’m vˆo c`ung 348

4.3.4 Phˆan loa.i h`am chı’nh h`ınh 350

4.4 T´ınh bˆ a ´t biˆ e´n cu ’ a tˆ a.p ho .p mo ’ 354

4.4.1 Nguyˆen l´y acgumen 354

4.4.2 D- i.nh l´y Rouch´e 360

4.4.3 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a tˆa.p ho p mo.’ 363

4.5 B` ai tˆ a.p 365

Trong chu.o.ng tru.´o.c, ta d˜a ch´u.ng minh di.nh l´y co ba’n cu’a l´y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh - di.nh l´y Cauchy Di.nh l´y n`ay k´eo theo mˆo.t loa.t hˆe qua’ quan tro.ng D˘a.c biˆe.t l`a n´o cho ph´ep ta x´ac lˆa.p mˆo´i liˆen hˆe nhˆa´t di.nh gi˜u.a c´ac gi´a tri cu’a h`am chı’nh h`ınh ta.i c´ac diˆe’m trong cu’a miˆe`n chı’nh h`ınh v´o.i c´ac gi´a tri biˆen cu’a h`am d´o Mˆo´i liˆen hˆe d´o du.o c mˆo ta’ trong cˆong th´u.c t´ıch phˆan

co ba’n th´u hai cu’a Cauchy D´o l`a cˆong th´u.c trung tˆam cu’a l´y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh

4.1 C´ ac kˆ e´t qua ’ quan tro.ng nhˆa´t r´ut ra t`u.

t´ıch phˆ an Cauchy

O’ mˆo.t m´u.c dˆo nhˆa´t di.nh, mo.i di.nh l´y cu’a mu.c n`ay dˆe`u l`a hˆe qua’ cu’a cˆong. th´u.c t´ıch phˆan Cauchy

4.1.1 D - i.nh l´y gi´a tri trung b`ınh

D´o l`a di.nh l´y sau dˆay

D- i.nh l´y 4.1.1 Gia’ su.’ f(z) l`a h`am liˆen tu.c trong h`ınh tr`on d´ong S(R) =

{z ∈ C : |z − z | 6 R} v` a chı’nh h`ınh trong h`ınh tr` on S(R) Khi d´ o ta c´ o

f (z0+ Re it )dt.

4.1.2 D - i.nh l´y Liouville

D - i.nh l´y 4.1.2 (Liouville1

) Nˆ e´u h` am chı’nh h`ınh trˆ en to` an m˘ a t ph˘ a’ng ph´ u.c

f (z) c´ o mˆ odun bi ch˘a.n th`ı n´o dˆo ` ng nhˆ a´t h˘ a `ng sˆ o´, t´ u.c l` a f (z) ≡ const ∀z ∈ C Ch´ u.ng minh Gia’ su ’ |f (z)| 6 M < ∞ ∀z ∈ C Ta s˜e ´ap du.ng cˆong th´u.ct´ıch phˆan Cauchy cho da.o h`am f0(z) v`a h`ınh tr`on S(R) v´o.i tˆam ta.i diˆe’m z

Vˆe´ tr´ai cu’a bˆa´t d˘a’ng th´u.c n`ay khˆong phu thuˆo.c R, c`on vˆe´ pha’i dˆa` n dˆe´n 0 khi

R t˘ang vˆo ha.n T`u d´o suy r˘a`ng |f0(z)| = 0 v` a f0(z) = 0 ∀ C Do d´ o f (z) ≡

const trong C

Nhu vˆa.y l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh trong to`an m˘a.t ph˘a’ng v`a bi ch˘a.n chı’

gˆ` m c´ac h`am tˆao ` m thu.`o.ng (c´ac h˘a`ng sˆo´)

Di.nh l´y Liouville v`u.a ch´u.ng minh c´o thˆe’ kh´ai qu´at du.´o.i da.ng

D- i.nh l´y 4.1.3 Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong to`an m˘a.t ph˘a’ng v`a tho’a

m˜ an diˆ `u kiˆe.n |f(z) 6 M|z| e n , M < ∞ v` a n l` a sˆ o´ nguyˆ en du.o.ng th`ı d´ o l` a da th´ u.c bˆ a c khˆ ong cao ho.n n.2

Ch´ u.ng minh Gia’ su ’ z0 l`a diˆe’m t`uy ´y cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c T`u cˆong th´u.ct´ıch phˆan Cauchy dˆo´i v´o.i da.o h`am cˆa´p cao ta c´o

V`ı |z| 6 |z0| + R nˆen qua gi´o.i ha.n khi R → ∞ ta thu du o c f (n+1) (z0) = 0

Do z0 l`a diˆe’m t`uy ´y cu’a C nˆen f (n+1) (z) ≡ 0 T`u d´o suy r˘a`ng f (n) (z) ≡ const

Di.nh l´y Liouville c`on c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng

D - i.nh l´y 4.1.2∗ Nˆ e´u h` am f (z) chı’nh h`ınh trˆ en to` an m˘ a t ph˘ a’ng mo ’ rˆ o ng C th`ı n´ o dˆ ` ng nhˆ o a´t h˘ a `ng sˆ o´.

Ch´ u.ng minh V`ı h` am f chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ∞ nˆen lim z→∞ f (z) tˆ` n ta.i v`a h˜u.uoha.n T`u d´o suy ra f(z) bi ch˘a.n trong lˆan cˆa.n n`ao d´o U(∞) = {z : |z| > R}

cu’a diˆe’m ∞ Gia’ su.’ f (z)| 6 M1, ∀ z ∈ U (∞) M˘ a.t kh´ac, do h`am f chı’nh

h`ınh (v`a do d´o n´o liˆen tu.c) trong h`ınh tr`on d´ong S(R) = {z : |z| 6 R} nˆen

n´o bi ch˘a.n trong h`ınh tr`on d´o Gia’ su.’ |f(z)| 6 M2, z ∈ S(R) Nhu.ng khi d´oh`am f bi ch˘a.n trong to`an m˘a.t ph˘a’ng: f(z)| < M = max(M1, M2) ∀ z ∈ C.

V`ı h`am f chı’nh h`ınh trˆen C nˆen theo di.nh l´y 4.1.2 ta c´o f ≡ const.

Bˆay gi`o ta ´ap du.ng di.nh l´y Liouville dˆe’ ch´u.ng minh di.nh l´y Gauss - di.nhl´y co ba’n cu’a da.i sˆo´

D- i.nh l´y 4.1.4 (Gauss) Mo.i da th´u.c da.i sˆo´ bˆa.c m > 1 v´o.i hˆe sˆo´ ph´u.c dˆe`u

c´ o m nghiˆ e.m nˆe´u mˆo˜i nghiˆe.m du.o c t´ınh mˆo.t sˆo´ lˆa ` n b˘ a `ng bˆ o i cu’a n´ o.

Ch´ u.ng minh Gia’ su.’

Trong h`ınh tr`on d´ong |z| 6 R h` am f (z) c´o mˆodun bi ch˘a.n, t´u.c l`a |f(z)| 6 m

∀ z ∈ {|z| 6 R} T`u d´o suy r˘a`ng |f (z)| < m + 1 = M , ∀ z ∈ C Nhu vˆa.y

h`am f (z) ∈ H(C) v` a |f (z) 6 M ∀ z ∈ C, t´u.c l`a tho’a m˜an c´ac diˆ`u kiˆe.n cu’ae

di.nh l´y Liouville Do d´o f(z) ≡ const trˆen C T`u d´o suy r˘a`ng P m (z≡ const.Nhu.ng diˆ`u d´o khˆong thˆe’ xa’y ra v`ı ae m 6= 0 v`a m > 1.

Nhu vˆa.y tˆo` n ta.i gi´a tri α1 ∈C sao cho

P (α1) = 0.

Do d´o P m (z) = (z − α1)P m−1 (z), P m−1 (α1) 6= 0 Nhu.ng P m−1 (z) c˜ung l`a dath´u.c da.i sˆo´ bˆa.c m − 1 nˆen ∃ α2 ∈ C sao cho P m−1 (z) = (z − α2)P m−2 (z),

4.1.3 D - i.nh l´y Weierstrass vˆe ` chuˆ o ˜i h` am hˆ o i tu dˆ `u e

Trong 1.4 ta d˜a tr`ınh b`ay kh´ai niˆe.m chuˆo˜i h`am hˆo.i tu dˆe `u trong miˆe `n D v`a

hˆ o i tu dˆ `u trˆen t` e u.ng comp˘ a ´c cu’a miˆe `n D c`ung mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t h`am cu’achuˆo˜i hˆo.i tu dˆe`u Bˆay gi`o ta ch´u.ng minh di.nh l´y quan tro.ng cu’a Weierstrass

vˆ` su ba’o to`an t´ınh chı’nh h`ınh cu’a tˆo’ng cu’a chuˆo˜i trong ph´ep qua gi´o.i ha.ne

dˆ`u v`a ph´ep da.o h`am t`u.ng sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜i h`am chı’nh h`ınh hˆo.i tu dˆe`u.e

D- i.nh l´y 4.1.5 (Weierstrass) Gia’ su.’:

1) u n (z) n ∈ N l` a nh˜ u.ng h` am chı’nh h`ınh trong miˆ `n D; e

2) chuˆ o ˜i h`am

hˆ o i tu dˆ `u trˆen t` e u.ng comp˘ a ´c cu’a miˆe `n D dˆe´n h` am (h˜ u.u ha n) f (z).

Khi d´ o

1) Tˆ o’ng f (z) cu’a chuˆ o ˜i l`a h`am chı’nh h`ınh trong miˆe `n D.

2) Chuˆ o ˜i c´o thˆe’ da.o h`am t`u.ng sˆo´ ha.ng dˆe´n cˆa´p t`uy ´y

H`am n`ay bi ch˘a.n trˆen γ(R) Do d´o chuˆo˜i thu du.o c sau khi nhˆan (4.3) v´o.i

v(ζ) vˆa˜n hˆo.i tu dˆe`u trˆen γ(R) v`a c´o thˆe’ t´ıch phˆan t`u.ng sˆo´ ha.ng theo γ(R).

fR (z) = u1(z) + u2(z) + · · · + u n (z) + (4.4)

Nhu vˆa.y chuˆo˜i du.o c x´et hˆo.i tu dˆe`u dˆe´n h`am f R (z) chı’nh h`ınh trong h`ınh

tr`on S(R) Nhu.ng trong S(R) h` am f R (z) tr`ung v´o.i f (z) Ngh˜ıa l` a f (z) l`ah`am chı’nh h`ınh trong S(R) V`ı mˆo˜i diˆe’m z cu’a miˆe `n D dˆe`u thuˆo.c mˆo.t h`ınhtr`on S(R), S(R) ⊂ D n`ao d´o nˆen h`am f (z) chı’nh h`ınh trong D.

C´ac lˆa.p luˆa.n trˆen dˆay chı’ d´ung nˆe´u miˆe`n D khˆong ch´u.a diˆe’m ∞ Gia’

su.’ miˆe`n D 3 ∞ Ta s˜e x´et “h`ınh tr`on” S R (∞) = {z : |z| > R} v´o.ib´an k´ınh R du’ l´o.n sao cho to`an bˆo biˆen ∂D dˆe`u n˘a`m trong du.`o.ng tr`on

γR (∞) = {z : |z| = R} Lˆa.p luˆa.n nhu trˆen v`a thay cho chuˆo˜i (4.4) theo di.nhl´y 3.2.13 ta thu du.o c d˘a’ng th´u.c

O’ dˆay f. R (z) + f (∞) = f (z) ∀ z ∈ S R(∞) v`a h`am f R (z) + f (∞) chı’nh h`ınh trong S R(∞) Do vˆa.y h`am f chı’nh h`ınh trong lˆan cˆa.n diˆe’m ∞.

2) Nˆe´u nhˆan chuˆo˜i (4.3) v´o.i h`am

2πi

1

bi ch˘a.n trˆen γ(R) v`a t´ıch phˆan t`u.ng sˆo´ ha.ng theo γ(R) th`ı thay cho (4.4) ta

thu du.o c chuˆo˜i

f R (m) (z) = u (m)1 (z) + u (m)2 (z) + · · · + u (m) n (z) +

V`ı f R (z) = f (z) ∀ z ∈ D nˆen t`u d´o thu du.o c (4.2)

3) Dˆe’ ch´u.ng minh phˆ` n th´a u ba cu’a di.nh l´y ta phu’ tˆa.p ho p d´ong t`uy ´y

E ⊂ D bo ’ i hˆe c´ac h`ınh tr`on S0

sao cho S0⊂ D Nˆe´u tˆa.p ho..p E 3 z = ∞ th`ı

ta c´o thˆe’ lˆa´y h`ınh tr`on l`a tˆa.p ho..p S0

(∞) = {z : |z| > R > 0}, S0(∞) ⊂ D.

T`u hˆe c´ac h`ınh tr`on n`ay ta c´o thˆe’ cho.n mˆo.t phu’ con gˆo` m mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.nc´ac h`ınh tr`on Ho p mo.i h`ınh tr`on d´ong n`ay du.o c k´y hiˆe.u l`a E∗ Gia’ su.’ δ l`akhoa’ng c´ach t`u E∗ dˆe´n biˆen miˆ`n D: δ = dist{Ee ∗, ∂D}.

Dˆo´i v´o.i mˆo˜i h`ınh tr`on S0cu’a phu’ h˜u.n ha.n ta du ng h`ınh tr`on S dˆo` ng tˆamv´o.i b´an k´ınh l´o.n ho.n b´an k´ınh cu’a S0 mˆo.t da.i lu.o ng b˘a`ng δ

2 (dˆo´i v´o.i S

0(∞)th`ı cˆ` n lˆa´y b´an k´ınh b´e ho.na δ

2) Chu tuyˆe´n L cu’a c´ac h`ınh tr`on n`ay lˆa.pth`anh tˆa.p ho p d´ong Γ ⊂ D Do d´o chuˆo˜i du.o c x´et P

h˜u.u ha.n Khi ζ ∈ L v`a z ∈ S0 th`ı |ζ − z| > δ

2 Do d´o

uk (ζ) (ζ − z) m+1 dζ

2π

ZL

n+pP

k=n+1

uk (ζ)