TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA ĐỀ CÁC TỈNH

Chứng minh rằng:... Từ đó ta áp dụng BĐT Cô-Si như sau:... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3(a + x)(b + y)(c + z)

b) Từ đó suy ra : 3 33333 3 3 2 33

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)

a) Cho 2 số dương a và b Chứng minh rằng :

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : 2 2

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện:

2013 2013 2 1006 1006

x y  x y

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:

32

b c c a a b     

Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 3

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn

xyz 

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2n2 5 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q m n mn     1

Bài 9: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2017 – 2018)

a) Với

40

Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2017 – 2018)

Với a, b, c là cỏc số thực dương, chứng minh rằng:

Bài 11: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x + y + z = 2

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Với a, b, c là 3 số dương thỏa món điều kiện a  b c ab bc ca   6abc0.

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Bài 13: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2019 – 2020)

Cho , ,a b c là cỏc số thực dương thỏa món ab bc ca   Chứng minh rằng1

a b  b c  c a   Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Tỡm x, y để biểu thức F đạt giỏ trị nhỏ nhất: F 5x22y2 2xy 4x2y3

Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

x2+x+1 b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6

Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

4

111

1    

ca a

bc c

ab

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số dương a b, và c thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng:

a  b  b  c  c  a  

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh

2

ab a   bc b   ca c  

Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z  xyz

a)P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1

Ta đưa về PT bậc 2 với ẩn x : 3x2 – 2x.(y + 1) + 11y2 + 6y – 1 – P = 0 (1)

Để tồn tại nghiệm x thì PT (1) phải có:   ' 32 y2  16 y   4 3 p  0

2

2 Từ đó ta áp dụng BĐT Cô-Si như sau:

 

 4P = ( 3 -

b c a



) + ( 3 -

c a b



) + (3 -

a b c

.2

Từ hai trường hợp, ta có được: apq + bqr + crp  0

b)Ta có a, b > 0 và a.b = 1; mà a + b2 22ab 2

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

Biến đổi biểu thức P và chú ý đến x y 1  ta được

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z =

1

3.

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1b2 2b nên:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)

Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)

Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau:

Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1b2 2b nên:



Tương tự ta có:

b 

Vậy: MinP 2 17 Đạt được khi a = 1 và

12

a

a a

Chia cả hai vế cho abc > 0

Vậy GTNN của C là 7 khi a = 2; b = 1; c = 1

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)

Vậy M3, dấu đẳng thức có khi a = b = c = 1.

Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019)

268

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z    1

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Với x là số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Bài 44: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)

, DÊu b»ng x¶y ra t¹i a=1; b=4, KL ……

Bài 45: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)

y m m x m

y m m x m

2

12 365( )

125

t 

Khi đó min

365

Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)

Tìmgiá trị nhỏ nhất của 2

4x+3 A

Vậy Amin  1 khi x = -2

Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012)

16 a2≥

1

2 , b

2+ 1

Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho { a+2b+3c≥10 a,b,c>0 , chứng minh rằng : a+b +c + 4 a3 +8 b9 +1c≥132

Sử dụng bất đăng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

2; c=2 )

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc    3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33.

Dấu “=” xảy ra khi a b c  1

Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)

P là biểu thức đối xứng nên ta có thể dự đoán minP = m khi a = b = c =

5

3

Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)

Ta có , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)

Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên ta có

Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)

Ta có: ( a  b )2  0 nên a b   2 ab với a, b dương

Nên 2 P  38  P  19 vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4

Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Bài toán được phát biểu lại

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn:

Mặt khác ta có

2 2

3 673332

Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Áp dụng BĐT ab

2 22

a  b

ĐK: 9 –x20



Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=> √ 2x2+3 xy+2 y2 ≥ √ 2 7 (x + y) dấu “=” xảy ra khi x = y

Tương tự: √ 2 y2+ 3 yz+2 z2 ≥ √ 2 7 (y + z) dấu “=” xảy ra khi y = z

√ 2z2+3 zx+2 x2 ≥ √ 2 7 (z + x) dấu “=” xảy ra khi z = x

2 4 4

Kết luận: min

17P

4

, đạt đợc khi

 bx ay 2 0

(luôn đúng)Dấu “=” xảy ra 

x y z VT

bc+ ab a+c +

a+b+c

2 ) = a+b+ c

6Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

 

1

Nên A≥x √3x+ y √3 y+z √3 z

Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : 3√ x2;3√ y2; √3 z2

Dãy 2 : 3√ x; √3y;3√ z ( x3√ x + y3√ y +z3√ z ) (3√ x2+3√ y2+ √3 z2) ≥( x+ y +z )2≥3 ( xy + yz+xz ) (*)

Dấu “=” xảy ra khi { x 2 = y 2 = z 2 =1 ¿ { 3 √ x= 3 √ y= 3 √ z ¿¿¿¿

z y+x +1 ) =3 ( x xy +xz+ x2 +

y2

xy + yz+ y +

z2yz+ xz+z ) = B B≥ 3( x + y +z )

2

2( xy + yz+xz)+x + y +z ≥

3 (x + y +z )22( xy + yz+xz )+x2+ y2+ z2=

b+c b−c.

c +a c−a+

c +a c−a.

a+b a−b=−1

Khi đó ( a−b a+b +

b+c b−c +

c+a

c −a )2≥0

⇔ ( a−b a+b )2+ ( b−c b+c )2+ ( c−a c+a )2≥−2 a+b

a−b.

b+c b−c+

b+c b−c.

c +a c−a+

c +a c−a.

a+b a−b=2

b c−a+

b c−a.

c a−b+

c a−b.

a b−c=−1

Khi đó ( b−c a +

b c−a +

c a−b )2≥0

⇔ ( b−c a )2+ ( c−a b )2+ ( a−b c )2≥−2 a

b−c.

b c−a+

b c−a.

c a−b+

c a−b.

a b−c=2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(a2+b2+c2) ((a−b)1 2+

1(b−c )2+

1(c−a )2)

Dấu “=” xảy ra

b+c b−c +

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Trước hết ta chứng minh với a 0 thì  2  2  

1 (*)

a  b  a  b a Thật vậy:

2(2)  ( a  b )  ( a  b )   2 ( a   b 1)( a   b 2)  0 (do a  b  2)

Từ (1) và (2) suy ra M 1

Dấu ‘=’ xãy ra khi a b   1

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 1 khi a b   1

Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)

Biến đổi giả thiết của bài toán ta được

Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)

abc + a2 + b2 + c2 + 1 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ 0

 abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0

Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)

Vì a,b,c có vai trò như nhau và 1  a b c , ,  2 nên giả sử 2 ≥ a ≥b ≥ c ≥ 1

Dấu “=”xảy ra khi a=2, b=c=1 hoặc a=b=2, c=1 và các hoán vị của nó