Chuyen de Gia tri tuyet doi

V.TTT-xuanvan2802@gmail.com-Bồi dưỡng học sinh giỏiNhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối Các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chơng trình THCS Chủ đề1 : Giải phơng trình và hệ

V.TTT-xuanvan2802@gmail.com-Bồi dưỡng học sinh giỏi

Nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối

Các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chơng trình

THCS

Chủ đề1 :

Giải phơng trình và hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

I Các kiến thức cần lu ý

1.1 A(x) nếu A(x)  0

)

( x

A = ( A(x) là biểu thức đại số)

-A(x) nếu A(x) < 0

1.2 Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a  0)

Nhị thức bậc nhất ax + b (a  0) sẽ:

+ Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của nhị thức

+ Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của nhị thức

Giả sử x0 là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó:

+ Nhị thức cùng dấu với a x > x0

+ Nhị thức trái dấu với a x < x0

1.3 Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

- Nếu  < 0, thì f(x) cùng dấu với a x

- Nếu   0 thì:

+ f(x) cùng dấu với a x nằm ngoài khoảng hai nghiệm

+ f(x) trái dấu với a x nằm trong khoảng hai nghiệm

Hay

- Nếu  < 0  a.f(x) > 0 x

- Nếu   0  f(x) có hai nghiệm x1  x2

nếu x1 < x < x2  a.f(x) < 0

nếu x  x1 hoặc x  x2  a.f(x) > 0

Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức âm) Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào định lí

về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai) Dấu của biểu thức thờng đợc viết trong bảng xét dấu.

II Các bài tập điển hình

2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) - x 3

Thật vậy:

+ Với ( x - 3)  0 hay x  3 thì x 3 = x - 3

+ Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì x 3 = -(x - 3) = 3 - x

ta xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng của biến x

+ Nếu x  3 thì A = 2(3x - 1) - x 3 = 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - 2 - x + 3 = 5x + 1

+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) - x 3 = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - 2 - 3 + x = 7x - 5

2.2 Rút gọn biểu thức B = x 1 - x 5

Thật vậy

Với x-1 0 hay x 1thì x 1=x-1

Với x-1<0 hay x<1thì x 1 = -(x-1)=1-x

Với x-50 hay x5 thì x 5 = x+5

Với x-5<0 hay x<5 thì x 5 =-(x-5) =5-x

áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu sau:

X 1 5

x-1 - 0 + +

x-5 - - 0 +

Từ bảng xét dấu ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng của biến x

Nếu x<1 thì B = x 1 - x 5 =1-x-( 5-x)=1-x-5+x = - 4

Nếu 1x<5 thì B = x 1 - x 5 =(x-1)-(5-x) =x-1-5+x=2x-6

Nếu x5 thì B = x 1 - x 5 =(x-1)-(x-5)=x-1-x+5 = 4

2.2 Rút gọn biểu thức B = /x2 - 4x + 3/-5

Thật vậy: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 – 4x + 3

 f(x) có ' = 4 -3 = 1 > 0

 x1 = 1; x2 = 3

Với 1 < x < 3  1.f(x) < 0  f(x) < 0

Với x  1 hoặc x  3  4f(x) > 0  f(x) > 0

Vậy ta xét hai trờng hợp ứng với ba khoảng của biến

Với 1 < x < 3 thì B = -(x2 - 4x + 3) - 5 = - x2 + 4x - 3 - 5= - x2 + 4x - 8

Với x  1 hoặc x  3 thì B = ( x2 - 4x + 3) - 5= x2 - 4x + 3 - 5= x2 - 4x - 2

2.3 Giải phơng trình x 1  x 2  3x 1

Thật vậy:

áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 trờng hợp ứng với 3 khoảng + Nếu x < 1 ta đợc phơng trình: 1 - x + 2 - x = 3x + 1

 3 - 2x = 3x + 1 5x = 2 x = 2/5 < 1 ( là nghiệm)

+ Nếu 1  x < 2 ta đợc phơng trình: x -1 + ( 2 - x) = 3x + 1

 x = 0  [1, 2] ( không là nghiệm)

+ Nếu x  2 ta đựoc phơng trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1 x = - 4 < 2 ( không là nghiệm) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2/5

2.4 Giải phơng trình x  2  1  5

Thật vậy:

áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

5 1

2  

























) 2 ( 5 1 2

) 1 ( 5 1 2

x x

Giải 1:

































) ' 2 ( 6 2

) ' 1 ( 6 2 6

2 5

1 2

x

x x

x

Giải 1': x  2  6  x  8  x  8 ( là nghiệm)

Giải 2': x  2   6  x   4  x không có giá trị

Giải 2: x  2  1   5  x  2   4 ( không có nghĩa)

Vậy phơng trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8

2.5 Giải hệ phơng trình 















3 2 1

y y x y x

Thật vậy:

Phơng trình thứ nhất đa đến tập hợp hai phơng trình:

















1

1

y

x

y

x

hay 













) 2 ( 1

) 1 ( 1

x y

x y

Việc phân tích phơng trình thứ hai đa đến tập hợp 4 phơng trình theo các khoảng xác định Theo dạng của phơng trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là x 1 3 và y 2  3, từ đó - 2  x 

4 và -1  y  5

Với - 2  x  1 ta có:

Với -1  y  2, 1 - x + 2 - y = 3 hay là x + y = 0 (I)

Với 2  y  5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II)

Với 1  x  4 ta có :

Với -1  y  2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)

Với 2  y  5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)

Giải 8 hệ phơng trình bậc nhất:

Hệ (1; I) 2

1

; 2 1 0 1





















y x y

x

y

x

, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định

Hệ (1; II) 











4 1

x y y x

không có nghiệm

Hệ (1; III) 











2 1

y x y x

không có nghiệm

Hệ (1; IV) 2

5

; 2 7 6 1





















y x y x y x

đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định

Hệ (2; I) 2

1

; 2 1 0

1























y x y x

y x

đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định

Hệ (2; II) 











4 1

x y y x

không có nghiệm

Hệ (2; III) 











2 1

y x y x

không có nghiệm

Hệ (2; IV) 2

7

; 2 5 6 1





















y x y x y x

, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định

Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:

x1 = 1/2; y1 = -1/2 x2 = 7/2; y2 = 5/2

x3 = -1/2; y3 = 1/2 x4 = 5/2; y4 = 7/2

Chủ đề 2 :

Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

I Các kiến thức cần lu ý 1.1 Các phép biến đổi bất đẳng thức

a  b  a + c  b + c

a  b  a.c  b.c ( c > 0 )

a  b  a.c  b.c ( c < 0 )

1.2 Các dạng cơ bản của bất phơng trình

+Dạng 1: f(x) a  -a  f(x)  a a: số thực không âm

f(x): hàm số một đối số

+Dạng 2: f ( x)  a  f(x)  a hoặc f(x)  -a a: số thực không âm

f(x):hàm số một đối số

+Dạng 3: f ( x)  g(x)  











) ( )

(

) ( ) (

x g x

f

x g x f

f(x), g(x): hàm số một đối số

+Dạng 4: f ( x)  g(x)  -g(x)  f(x)  g(x)

f(x), g(x): hàm số một đối số

+Dạng 5: f ( x)  g ( x)  [f(x)]2 = [g(x)]2

f(x), g(x): hàm số một đối số

II Bài tập điển hình

2.1 Giải bất phơng trình: 2x 5  7

Thật vậy: 2x 5  7  -7  2x - 5  7  -2  2x  12  -1  x  6

2.2 Giải bất phơng trình: 3x 5  10

Thật vậy:

3x 5  10  











































3 5

5 5

3

15 3

10 5

3

10 5 3

x

x x

x x

x

Vậy x  5 hoặc x 

-3 5

2.3 Giải bất phơng trình: 2 2 2 1





 x x

Thật vậy:

1 2

2

2





 x

x   1 x2  2x 2  1  x2-2x-21 và x2-2x-2-1

Từ 2 2 2 1 2 2 3 0













x

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai  -1  x  3

Từ 2 2 2 1 2 2 1 0















x

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai 

















2 1

2 1

x x

Kết hợp lại ta đợc các nghiệm của hệ là:

 1x1 2 ; 1  2 x 3

2.4 Giải bất phơng trình:

1

2





x

x

2

 Thật vậy: TXĐ: x  1

Cách 1:

1

2





x

x

2































2 1 2

2 1 2

x x x x

+ Với 2

1

2







x

x

1

4 0 2 1

2























x x

x x

x

+ Với 2

1

2









x

x

1

3 0 2 1

2





















x x

x x

x

Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1  x  4; 0 < x < 1

Cách 2:

Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

0 1 2 2

1 2 2 2

1

2 2

1

2

































x x

x x

x

x x

x

áp dụng định lí và dấu của nhị thức, ta xét 3 trờng hợp:

+ Nếu x  -2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0  x > 4 > -2 ( không là nghiệm)

2

+ Nếu -2  x < 1 thì x + 2 - 2(1 - x) > 0  3x > 0  x > 0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1

+ Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0  x < 4

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4

Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1  x  4; 0 < x < 1

Cách 3 :

Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

1 2 2 2

1

2 2

1

2





















x

x x

x

 (x + 2)2 > 4(x - 1)2

 x2 4x + 4 > 4(x2 - 2x + 1) 3x2 - 12x < 0 3x( x - 4) < 0 0 < x < 4

Kết hợp với TXĐ  1 < x < 4; 0 < x < 1

Chủ đề 3 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

I Các kiến thức cần lu ý:

Cho A, B là các biểu thức đại số

1.1 |A|  0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )

1.2 |A + B|  |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.3 |A - B|  |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.4 |A - B|  |A| - |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.5 ||A| - |B||  |A + B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.5 ||A| - |B||  |A - B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

II Các bài tập điển hình 2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4

Thật vậy:

Ta có: |3x - 1|  0 x

 2|3x - 1|- 4  -4 x

 GTNN của B = -4 3x - 1 = 0

 x = 1/3

2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 6

3

x  với x  Z

Thật vậy:

Xét |x| > 3  C > 0 |x| > 3

Xét |x| < 3 thì do x  Z  |x| = { 0; 1; 2}

Nếu |x| = 0  C = -2

Nếu |x| = 1  C = -3

Nếu |x| = 2  C = -6

 GTNN của C = -6  |x| = 2  x =  2

2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3|

Thật vậy:

Cách 1: áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và lập bảng ( chủ đề I), ta có:

* Xét x < 2 thì D = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x

Do x < 2 nên -2x > -4  D > 1 (1)

* Xét 2  x  3 thì D = x - 2 + 3 - x = 1 (2)

* Xét x > 3 thì D = x - 2 + x - 3 = 2x - 5

Do x > 3 nên 2x > 6  D > 1 (3)

So sánh (1), (2), (3) ta đợc minD = 1  2  x  3

Cách 2:

Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x| |x - 2 + 3 - x| = 1

Do đó minD = 1  (x - 2)(3 - x)  0  2  x  3

Cách 3:

Ta có: D = |x - 2| + |x - 3| | (x - 2) - (x - 3)| |x - 2 + 3 - x| = 1

Do đó minD = 1  (x - 2)(3 - x)  0  2  x  3

2.4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5||

Thật vậy:

Cách 1:

Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5||  |(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4

Do đó max E = 4  (x - 1)(x + 5)  0  5  x hoặc x 1

Cách 2:

Ta có:

E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | 5 - x||  |x -1 +5 - x| = 4

Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x)  0  5  x hoặc x 1

4