TÀI LIỆU BDHSG PHẦN bđt và cực TRỊ đại số QUA đề các TỈNH

Chứng minh bất đẳng thức:... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3+ y3.

Trang 1

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3(a + x)(b + y)(c + z)

b) Từ đó suy ra : 3333 33 33 2 33

a) Cho 2 số dương a và b Chứng minh rằng :

1 1 1 1

4

a b  a b b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn

1 1 1

2010

xyz 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : 2 2

x 2y 3xy y 1 

b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện:

2013 2013 2 1006 1006

x y  x y

Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:

3 2

b c c a a b     

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 3

a) Chứng minh rằngxy y 4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

xy y



Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn

2

1 2 x1 2 y1 2 z  Chứng minh rằng

1 64

xyz 

thức:Q m n mn   1.

Trang 2

Bài 9: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2017 – 2018)

a) Với

4 0

3

x

< <

, chứng minh rằng 2( )

1

b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn

4

3 sao cho a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

3

Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2017 – 2018)

Với a, b, c là cỏc số thực dương, chứng minh rằng:

a) 2

a b  a b ;

a b  b c  c a 

Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x + y + z = 2

1 1 1

2 9xyz 21

x y z

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Với a, b, c là 3 số dương thỏa món điều kiện a  b c ab bc ca   6abc0.

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

P

Cho , ,a b c là cỏc số thực dương thỏa món ab bc ca   Chứng minh rằng1

2 1 2 1 2 1 2

a b  b c  c a   Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Tỡm x, y để biểu thức F đạt giỏ trị nhỏ nhất: F 5x22y2 2xy 4x2y3

Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y= x +1

x2+x+1 b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6

Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.

Trang 3

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

4

1 1 1

1    

ca a

bc c

ab

Cho ba số dương a b, và c thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng:

a  b  b  c  c  a  

Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh

2

ab a   bc b   ca c  

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz  

Chứng minh rằng:

2

1 1   1 1

xyz

Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c  4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b b c c a abc3  3  3  2  ab3bc3ca3bca2.

Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)

a)Tìm x y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1

b)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc Chứng minh rằng:

c)Cho ba số thực    , , 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M

y z z x x y

   Với mọi x, y, z > 0

Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1

Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) +

4

x y  8

Cho 3 số x, y ,z>0 thỏa điều kiện x+ y+ z=1 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= x

x+1 +

y y+1 +

z z+1

Trang 4

Cho x, y, z là ba số dương Chứng minh rằng:

2

x yz y xz z xy xy yz zx

Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018)

a)Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c2 2 22 ab + bc + ca  và p, q, r

là ba số thỏa mãn p + q + r = 0 Chứng minh rằng: apq + bqr + crp  0

b)Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M =    2 2 4

a + b + 1 a + b +

a + b

Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3

Chứng minh rằng a b31  b c31 c a315

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y 1  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  2x  x 2y 1   y 2x 1   2y

Bài 28: ( HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho c¸c sè x,y,z tho¶ m·nx+y+z =1

T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc : M =

x xy y  y yz z  z zx x

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3

3

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)

a) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.

 2

2 2 a b



 b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.

4

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:

3 4

b c a a b b c c a

Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho 3 số dương a b c, , Chứng minh bất đẳng thức:

Trang 5

Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)

3

Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009)

C¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n: x4 + y4 + z4 = 3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :

P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x)

Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1

Chøng minh r»ng                   

1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4

Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+ y+ z=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

(x2+y2) ( x + y )+

y4

(y2+z2) ( y + z )+

z4

(z2+x2) ( z + x )

Cho a,b   thỏa mãn:

9 (2 )(1 )

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16a4 4 1b4

Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2

A

xy y x x y

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 ab  6 bc  2 ac  7 abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C

Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M

Trang 6

Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a2b2c2  3

3 6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yz xz   3

Chứng minh bất đẳng thức

x   y   z  

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng:

1

a  b c  b  c a  c  a b 

Bài 44: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho hai sè a, b tho¶ m·n a1; b , t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng: 4

   

Bài 45: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho m là số cố định, x và y là các số thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P x y  x my 

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)

a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

4

1

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2011 y2011 z2011 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Mx2 y2 z2

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

4x+3 A





Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012)

Cho a > 0, b > 0 và a + b ¿1 Tìm GTNN của biểu thức A = a

2 +b2+ 1

a2+ 1

b2

Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)

Trang 7

Cho , , a b c  thỏa mãn 0 a b c    Chứng minh rằng: 3 2 2 2

3

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Cho a b c , , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho { a+2b+3c≥10 a, b,c>0 , chứng minh rằng : a+b +c + 4 a 3 + 8 b 9 + 1 c ≥ 13 2

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc    3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a ab b  b bc c  c ca a

Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho , , a b c là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a b c   Chứng1

minh rằng

2 2 2 1

2

a b c 

Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

a b c b c a       c a b     a b c 

Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện: x y 6  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P 3x 2y

Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

Trang 8

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2

3

ab bc ca

4

Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho ba số dương x, y,zthỏa mãn điều kiện: xy yz zx  673

1

x  yz  y  zx  z  xy x y z 

Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè x, y, z cã tæng lµ mét sè kh«ng ©m th×

3 3 3

x  y  z  3xyz.

b) Cho m, n lµ c¸c sè tháa m·n ®iÒu kiÖn

1 mn 2

 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

2 2 2 2



Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670 Chøng minh r»ng

1

x  yz  y  zx z  xy x y z 

Cho a,b,c là các số thực dương CMR: 3 2 3 2a 3 2 6

 

Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn x y z   3

Chứng minh rằng

4

xyz

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x2+ y2+ z2=3

Trang 9

Chứng minh rằng

x

3

√yz+

y

3

√xz+

z

3

√xy≥xy+ yz+xz

Cho các số thực phân biệt a,b,c Chứng minh rằng

(a2+b2+c2) ((a−b)1 2+

1 (b−c )2+

1 (c−a )2)≥9

2 .

Chứng minh rằng a b c 32a b 32b c 32c a 9

a ab b bc c ca

  với a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

1

a  b  c 

8

a  b  c   a  b  c 

.

Cho a b ,  0 thỏa mãn a b 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

M

Cho ba số thực dương thỏa mãn x y z 2 xyz   

Chứng minh rằng: x y z 6 2 xy       yz  zx

Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng:

a3

b +

b3

c +

c3

a≥ab+bc +ca

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0

b c a c b a     

Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3+ y3

Trang 10

Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn

2

1 a 1 b 1 c       Tìm giá trị lớn nhất của Q=abc

Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng 2

b c  c a  a b  .

Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)

Chøng minh r»ng:

21 ( a + 1

b ) + 3 ( b + 1

a )  80 víi a  3, b  3 DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ?

Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a , b là hai số dương thỏa mãn a + b = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

      

Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho x + y = 2 CMR :x5 + y5 ≥ 2

Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0

1

a b c

 



 

Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a  R thỏa mãn a5 – a3 + a = 2 Chứng minh rằng : 3 < a6 < 4

Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn: a2b2  b2c2  c2a2  2011

1 2011

b c c a a b     

Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3

B

xy

x y

Trang 11

Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn 2 a b c a2 b2 6.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4

.

P

a b c b a c c a b

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn : 0a b c, , 2 và a b c   5 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng

2 2

2

y yz xz yz x z



Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x y z   1 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:      

3 3

2

x y P

x yz y xz z xy



Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện

2y

1 x 1 y    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy2

Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của

P =

cab  a bc  b ca

Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)

a3 b3 c3 a b c b c a c a b     

Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng2

3 3 3

a b c a b c b c a c a b    

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Trang 12

3

2

  

      với mọi , ,a b c 0

Cho a, b, c là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P



Cho , , , a b c d là các số thực thỏa mãn điều kiện:

2012

abc bcd cda dab a b c d        Chứng minh rằng:

a21 b21 c21 d212012

Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho , ,a b c là các số dương Chứng minh rằng

b c c  a a  b

b)

a b c

Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)

Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18

Tìm những giá trị của a và b để :

a) M đạt giá trị lớn nhất

b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

3 3

(m n) A







Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng \f(x,y+1 + \f(y,z+1 + \f(z,x+1 ≥ \ f(3,2

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	367,71 KB