Giáo trình cơ sở KT thủy khí

Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi là mặt kiểm tra; - Nghiên cứu tác dụng của lực lên các phân tố đó; - Sử dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý học với toàn bộ khối chất lỏng

Chất lu là môi trờng liên tục mà lực liên kết giữa các phần tử tạo thành nó rất yếu Chất lu có tính di động cao (chảy), nghĩa là có thể biến dạng dới những lực t-

Cơ sở lý luận của cơ lu chất là vật lý, cơ học lý thuyết, cơ học chất lỏng Đây

là môn khoa học cơ sở để nghiên cứu những môn chuyên môn:

- Xây dựng công trình thủy lợi: Thủy điện, thuỷ công, trạm bơm, kênh dẫn

- Xây dựng dân dụng: cầu cảng, cấp thoát nớc, cầu đờng

- Chế tạo máy thủy lực: bơm, tua-bin, động cơ thủy, truyền động thủy lực

1.3 Phơng pháp nghiên cứu

Trong nghiên cứu cơ học chất lỏng cần kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết và thực nghiệm

v Các nguyên lý cơ bản để giải bài toán về cơ học chất lỏng

- Bảo toàn khối lợng (bảo toàn liên tục);

- Bảo toàn động lợng và moment động lợng (nguyên lý cơ bản cơ học);

- Bảo toàn năng lợng (nguyên lý cơ bản vật lý)

v Các bớc tiến hành nh sau:

- Tách riêng bằng tởng tợng thể tích chứa chất lỏng đang xét Gọi là thể tích kiểm tra Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi là mặt kiểm tra;

- Nghiên cứu tác dụng của lực lên các phân tố đó;

- Sử dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý học với toàn bộ khối chất lỏng trong thể tích kiểm tra, coi nh toàn bộ khối chất lỏng đó là một

hệ thống vật chất do các phần tử chất lỏng tạo nên

Nhờ phơng pháp này ta lập đợc phơng trình vi phân của phần tử chất lỏng Nhng thờng trong thủy lực ta không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái

chuyển động của mỗi hạt chất lỏng (lu hạt) mà chỉ cần biết các trị số trung bình của một đại lợng nào đó ở trong một thể tích hay mặt cắt Sự phân tích thứ nguyên nhiều khi cũng giúp ta tìm đợc dạng gần đúng của các định luật Trong thủy lực, thực nghiệm đóng vai trò quan trọng Thí nghiệm đợc làm trên những vật nhỏ gọi là mô hình

v Có hai cách khảo sát chuyển động:

- Theo Euler: có vô số quan sát viên ở tại vô số điểm đặt tại dòng chảy Nh

vậy ta có u, p, phụ thuộc vào vị trí điểm cố định và thời gian t:

u = f 1 (x, y, z, t) ; p = f 2 (x, y, z, t)

- Theo Lagrand: có vô số quan sát viên di chuyển cùng vận tốc với 1 phần tử

chất lỏng :

+ ở thời điểm to : một phần tử chất lỏng A có tọa độ là (a, b, c)

+ Tại thời điểm t: phần tử đó có tọa độ là (x, y, z)

Ta có: x = f 1 (a, b, c, t) ; y = f 2 (a, b, c, t) ; z = f 3 (a, b, c, t)

Đây là dạng chuyển động của dòng chảy

1

−

=βTrong đó:

=

dt : lợng thay đổi nhiệt độ

Hệ số giãn nở vì nhiệt thay đổi khi áp suất thay đổi

3.3 Tính nhớt (ma sát trong)

Khi các phần tử chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tơng

đối, làm sinh ra lực ma sát trong Đây là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lợng khi chất lỏng chuyển động Đặc tính này gọi là tính nhớt

Lực nhớt sinh ra biến thành nhiệt năng không thu hồi lại đợc Các lực nhớt sinh ra có liên quan đến lực hút phân tử trong chất lỏng

Định luật Newton:

dn

du S

T =à , N ;

T : lực nhớt trong diện tích S của hai lớp chất lỏng;

S : diện tích tiếp xúc giữa hai lớp chất lỏng;

Chất lỏng thực có tất cả những tính chất nh trên

Chất lỏng lý tởng: bao gồm những tính chất sau:

- Không có tính nhớt: à = 0 ;

- Di động tuyệt đối ;

- Không chống đợc lực kéo và cắt ;

- Không nén đợc ;

Chất lỏng ở trạng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lý tởng

Để có kết quả tính toán chất lỏng lý tởng phù hợp chất lỏng thực, ngời ta dùng thực nghiệm để rút ra hệ số hiệu chỉnh

Ngoài ra trong một số vấn đề thủy lực, cha có phơng pháp lý luận giải quyết

đợc, mà phải dùng phơng pháp thực nghiệm

3.5 Lực tác dụng lên chất lỏng

Xét một thể tích chất lỏng, chứa trong mặt cong S, những lực tác dụng lên thể tích chất lỏng chia làm hai loại:

v Lực khối: là những lực tỷ lệ với khối lợng chất lỏng tác dụng lên mỗi phân

tử chất lỏng nh: lực quán tính, trọng lực, lực điện từ Thông thờng lực khối là trọng lực, trừ một số trờng hợp đặc biệt phải xét thêm lực quán tính

v Lực bề mặt: là lực từ ngoài tác dụng lên các phần tử chất lỏng qua mặt

tiếp xúc, tỷ lệ với diện tích mặt tiếp xúc nh: áp lực khí quyển tác dụng lên mặt tự do của chất lỏng, áp lực pittông lên chất lỏng chứa trong xy lanh

Chơng 2

Thuỷ tĩnh

2.1 Mục đích nghiên cứu

Thuỷ tĩnh học nghiên cứu qui luật cân bằng của chất lỏng trong trạng thái tĩnh

và ứng dụng các quy luật đó vào trong sản xuất Ví dụ: xác định áp lực nớc lên thành một bể chứa; tìm điều kiện cân bằng của xăng trong thùng chứa đặt trên một toa xe

Cần phân biệt trạng thái tĩnh tuyệt đối và tĩnh tơng đối Khi các phần tử chất lỏng không chuyển động so với hệ toạ độ gắn liền với quả đất thì chất lỏng ở trạng thái tĩnh tuyệt đối; lực khối tác dụng lên nó chỉ có trọng lực Khi các phần tử của chất lỏng chuyển động so với hệ trục toạ độ gắn liền với quả đất, nhng giữa chúng không có sự chuyển động tơng đối - tức là chất lỏng chuyển động thành một khối coi nh cứng - thì ta gọi trạng thái đó là tĩnh tơng đối; lực khối tác dụng lên chất lỏng, ngoài trọng lực còn có lực quán tính

Trong thuỷ tĩnh học ta có thể coi chất lỏng thực nh chất lỏng lý tởng, kết quả vẫn hoàn toàn chính xác vì lực nhớt không xuất hiện

2.2 áp suất thuỷ tĩnh - đơn vị đo áp suất

Do tác dụng của các lực ngoài (lực bề mặt và lực khối) nên trong nội bộ chất lỏng xuất hiện những ứng suất Ta gọi những ứng suất đó là áp suất thủy tĩnh

2.3 Hai đặc tính của áp suất thuỷ tĩnh

áp suất thủy tĩnh tại một điểm theo mọi phơng đều bằng nhau

Gọi X, Y, Z các là hình chiếu của gia tốc lực khối F lên các trục Ox, Oy, Oz





=Xét phân tố diện tích ∆ω, chịu tác dụng một lực ∆P,

áp suất tại một điểm sẽ bằng:

Δω ω

Viết phơng trình cân bằng đối với trục Ox

P x −(P n)x+F x =0

6,

cos)(

cos

S ABC = OBC =Khi dxdydz tiến về 0 ta có: p x =p n

1755 Nó biểu thị quan hệ giữa ngoại lực, (lực

khối và lực bề mặt) tác dụng vào một phần tử

chất lỏng với nội lực sinh ra trong đó, cụ thể

là áp suất thuỷ tĩnh p

Trong một môi trờng chất lỏng ở trạng

thái cân bằng ta xét một phần tử chất lỏng

hình hộp có cạnh là dx, dy, dz (hình 2.3)

Lực khối F tác dụng lên chất lỏng

trong hình hộp tỷ lệ với khối lợng m của nó m

= ρdxdydz Ta gọi X, Y, Z là hình chiếu của

Ta có : F x = ρdxdydzX, F y = ρdxdydzY, F z = ρdxdydzZ Lực bề mặt tác dụng lên

hình hộp gồm các lực do áp suất thuỷ tĩnh tạo nên trên 6 mặt

Ta xét các lực tác dụng lên khối chất lỏng hình hộp theo phơng Ox, lực bề

mặt tác dụng lên mặt trái và phải của khối chất lỏng là:

lực khối tác dụng khối chất lỏng là: F x = ρdxdydzX

Điều kiện để khối chất lỏng cân bằng là tổng các lực khối và lực bề mặt tác dụng lên nó phải bằng không

Viết điều kiện đó chiếu lên trục Ox:

X x

Y y

Z z

ρ



Phơng trình (2.7) biểu thị quy luật chung về sự phụ thuộc áp suất thủy tĩnh

đối với tọa độ:

∂

∂+

p dx x

p Zdz

Ydy Xdx

ρVì p = f(x, y, z) là hàm số của tọa độ, nên ta có:

∂

∂+

p dx x

p dp

Do đó:

(Xdx+Ydy+Zdz)− 1 dp=0

ρ Hay:

(Xdx Ydy Zdz)

Đó là phơng trình vi phân cơ bản của chất lỏng

2.5.2 áp dụng vào trờng hợp tĩnh tuyệt đối.

Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt

theo phơng thẳng đứng hớng lên trên, thì đối với lực

thể tích F tác dụng lên một đơn vị khối lợng của

p z

2.5.3 áp dụng vào trờng hợp tĩnh tơng đối

Trong trạng thái tĩnh tơng đối, chất lỏng cùng chuyển động liền một khối, giữa các phần tử chấ lỏng không có sự chuyển động tơng đối

Sau đây chúng ta chỉ nghiên cứu hai trờng hợp của trạng thái tính tơng đối(các trờng hợp khác có thể suy luận tơng tự nh hai trờng hợp này)

Trong khi nghiên cứu ta gắn liền hệ trục toạ độ vuông góc với bình chứa chất lỏng( hệ toạ độ không quán tính)

2.5.3.1 Chất lỏng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc không đổi.

Trờng hợp này thờng gặp ở các xe chở dầu, nớc Giả thiết rằng bình chứa đang chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a Chất lỏng chịu tác dụng của hai lực

khối: trọng lực G = mg và lực quán tính R = -ma, trong đó m là khối lợng của phần

tử chất lỏng (Nh vậy, mỗi phần tử sẽ chịu tác dụng của trọng lực đơn vị g và lực

quán tính đơn vị a) Với hệ tọa độ nh hình vẽ, hình chiếu F x , F y , F z của các lực khối là:

F x = - a ; F y = 0 ; F z = - g

Từ phơng trình (2.8), ta có thể viết:

)( adx gdz

dp=ρ − −Sau khi tích phân ta đợc:

C gz ax

p=ρ(− − )+Tại x = 0, z = H, có p = p 0 (p 0 là áp suất tại mặt thoáng)

Vậy hằng số tích phân sẽ là:

gH p

C = o +ρPhơng trình xác định áp suất thủy tĩnh tơng đối tại một điểm viết đợc dới dạng:

(H z) ax g

tốc độ góc, r là khoảng cách từ vị trí phần tử chất lỏng ta xét đến trục quay Theo tọa

độ nh trên hình vẽ, lấy m = 1, hình chiếu F x , F y , F z của các lực khối lên các trục là:

C gz r

Do đó:

o

p gz r

Nếu từ áp suất tuyệt đối ptuyệtđối ta bớt đi áp suất khí

quyển thì hiệu số đó gọi là áp suất d pd hoặc là áp suất tơng

b áp suất chân không lớn nhất: p ckmax = p a (p tuyệtđối = 0)

c Khi p 0 = p a thì p d = gh và áp suất d tại mặt thoáng : p d = 0

2.6 tính áP LựC thuỷ tĩnh

2.6.1 áp lực thuỷ tĩnh lên thành phẳng.

2.6.1.1 Trị số áp lực thuỷ tĩnh P.

Trờng hợp thành rắn là mặt phẳng, thì những áp suất tác dụng lên thành rắn

đều song song với nhau, do đó chúng có một áp lực tổng hợp P duy nhất Ta nghiên

cứu trị số của P và điểm đặt

Cần xác định áp lực P của chất lỏng tác dụng lên một diện tích phẳng ω có hình dạng bất kỳ đặt nghiêng đối với mặt thoáng một góc α áp lực dP tác dụng lên

một vi phân diện tích dω, mà trọng tâm của nó đặt ở độ sâu h tính bằng:

ω ω

ωαγωω

αγωω

bằng moment tĩnh của diện tích ω đối

với trục Oz

Gọi z c là tung độ của trọng tâm C của

diện tích đó, gọi h c là độ sâu của trọng

vậy: áp suất thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng, ngập

trong chất lỏng bằng tích số của áp suất tuyệt đối tại trọng tâm diện tích phẳng đó với diện tích ấy

Nếu p 0 = p a , áp lực d tác dụng lên diện tích phẳng nói trên bằng:

áp lực d thủy tĩnh tác dụng lên đáy phẳng của bình chứa là trờng hợp riêng của lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng Nếu diện tích đáy ω và độ sâu h của đáy giữ

không đổi thì áp lực chất lỏng lên đáy bình bằng P=γh cω không phụ thuộc hình dạng bình

Pz

M = =γ ω (i) Tổng số moment đối với trục Oz của áp lực lên các diện tích vi phân bằng:

ω ω

là moment quán tính của diện tích ωđối với trục Oz

Theo cơ học lý thuyết, có thể biểu thị moment quán tính của diện tích đối với trục Oz bằng moment quán tính của diện tích ấy đối với trục nào đó song song với

Oz và đi qua trọng tâm C của diện tích nh sau:

2

c o

I = +ω(I0 mômen quán tính của diện tích ωđối với trục ngang đi qua trọng tâm C của nó).Cân bằng (i) (ii) ta đợc:

C

z C

z D

z

I h

I z

z

I z z

ω0+

M pydω γhydω γ α zydω γ αI zy

ω ω

Xét trờng hợp thành cong S, một mặt tiếp xúc không khí một mặt tiếp xúc

n-ớc (Nếu hai mặt tiếp xúc chất lỏng thì ta tính từng mặt rồi tổng hợp lại)

Hình 2.7

Xét một phân tố diện tích dS chịu áp lực dP (hình 2.7), sau đó tính cho toàn

diện tích S Vì dS vô cùng bé nên coi là phẳng, do đó ta có:

dP = γ hdS trong đó h là độ sâu trọng tâm dS.

Chiếu dP lên 3 trục:

dP x = dPcos(dp, Ox) = γ hdScos(dp, Ox)

dP y = dPcos(dp, Oy) = γ hdScos(dp, Oy)

dP z = dPcos(dp, Oz) = γ hdScos(dp, Oz) Tích phân các phơng trình trên ta có:

∫ là thể tích của hình trụ có đáy dới là thành cong S và đáy

trên là hình chiếu S z của thành cong lên mặt thoáng, mặt xung quanh là mặt chiếu.Hình trụ đó gọi là vật áp lực, thành phần thẳng đứng P z của áp lực thuỷ tĩnh lên thành cong đi qua trọng tâm của vật áp lực; về trị số, nó bằng chính trọng lợng của vật áp lực

- Nếu mặt thành cong bị chất lỏng đẩy lên thì chiều của P z hớng lên.

- Nếu mặt thành cong bị chất lỏng đẩy xuống thì chiều của P z hớng xuống.

2.6.2.3 Điểm đặt của áp lực thuỷ tĩnh P lên thành cong.

Những công thức trên cho ta tìm ba thành phần P x ,P y ,P z của áp lực P lên

thành cong, mặt khác ta đã biết:

2 2 2

z y

P

với P sẽ đi qua giao điểm của P x , P y , P z và lập với hệ trục toạ độ Oxyz các góc xác

định bởi các cosin định hớng sau:

( )

P

P x

P

tgα =

Ta nghiên cứu thêm vật áp lực và phơng của P z :

Vật áp lực là thể tích giới hạn bởi thành cong mà ta xét, bốn mặt bên thẳng

đứng, tì lên mép thành cong và kéo dài đến khi cắt mặt tự do hoặc một phần kéo dài của mặt tự do của chất lỏng Trọng lợng của vật áp lực biểu thị thành phần thẳng

đứng P z của vật áp lực P Trong trờng hợp mặt cong là mặt trụ có đờng sinh nằm

ngang, vật áp lực thờng biểu thị bởi mặt cắt thẳng đứng của thể tích nói trên và là diện tích giới hạn bởi đờng cong chịu lực, hai đờng cong thẳng đứng đi qua hai đầu

đờng cong và gặp mặt tự do hoặc phần kéo dài của mặt tự do Sau đây là ba trờng hợp vật áp lực:

a) Vật áp lực có chất lỏng ngay trên mặt cong (hình 2.8): có thể chất lỏng chiếm

toàn thể vật áp lực hoặc chỉ chiếm một phần của vật áp lực, trong cả hai trờng hợp này P z đều hớng xuống dới Ta quy ớc khi P z hớng xuống dới, vật áp lực mang dấu (+)

Hình 2.8

b) Vật áp lực không có chất lỏng ở ngay trên mặt cong (hình 2.9): có thể chất lỏng

hoàn toàn không có trong vật áp lực hoặc có thể chiếm một phần vật áp lực, trong cả hai trờng hợp này, P z đều hớng lên trên Ta quy ớc khi P z hớng lên trên, vật áp lực mang dấu (-)

ta có thể phân toàn bộ đờng cong phức tạp thành nhiều đoạn đơn giản để ta trở về hai trờng hợp đơn giản nói trên

Ví dụ đoạn BDE phân thành hai đoạn BD và DE; vật áp lực đối với BD là hình BDdb theo quy ớc nói trên mang dấu (+), còn vật áp lực ứng với DE là hình DEbd mang dấu (-), tổng số đại số của hai diện

tích BDdb và DEbd cho ta diện tích BDE

với dấu (+) Ta cũng chia đờng cong ECA

thành hai đoạn EC và CA rồi cũng tìm vật

áp lực ứng với từng đoạn, kèm theo dấu

t-ơng ứng, sau cùng cộng đại số những diện

tích của vật áp lực thì tìm đợc diện tích

ACEb với dấu (-)

Nguyên tắc dùng vật áp lực nói trên

để tìm phơng hớng cho thành phần Pz áp

tác dụng vào mặt cong lớn hơn số không: P d > 0

Ta gọi chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển

động phụ thuộc thời gian, tức là:

Ta gọi chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động

không phụ thuộc thời gian, tức là:

1.2 Hai phơng pháp nghiên cứu chuyển động của chất lỏng

1.2.1 Phơng pháp Lagơrăng.

Theo phơng pháp này, ngời ta nghiên cứu sự chuyển động của từng phần

tử chất lỏng, xác định quỹ đạo, lu tốc, gia tốc

Thí dụ ta theo dõi phần tử A, trong hệ quy chiếu là hệ tọa độ Đềcác:

Thực chất của phơng pháp này là dùng cơ học chất điểm để nghiên cứu sự chuyển động của chất điểm trong môi trờng liên tục Việc vận dụng phơng pháp này phức tạp vì vậy chỉ dùng trong một số trờng hợp đặc biệt, thí dụ nh khi nghiên cứu

sự truyền sóng

1.2.2 Phơng pháp Ơle.

Theo phơng pháp này, ngời ta nghiên cứu những yếu tố thủy lực của các phần

tử chất lỏng tại từng điểm cố định của không gian

Thí dụ: ta chọn một điểm cố định trong không gian có toạ độ x, y, z

- ở thời điểm t 1 có phần tử A đi qua điểm ấy với u A , p A , ρA

- ở thời điểm t 2 có phần tử B đi qua điểm ấy với u B , p B , ρB

Từ đó ta có thể xác định:

Hình 1

u = f 1 (x, y, z, t)

p = f 2 (x, y, z, t)

ρ = f 3 (x, y, z, t)

trong đó : x, y, z, t gọi là những biến số Ơle

Trong trờng hợp chuyển động ổn định, các yếu tố chuyển động chỉ là hàm số của tọa độ :

Đờng dòng là đờng cong tại một thời điểm

cho trớc, đi qua các phần tử chất lỏng có vectơ lu

tốc là những tiếp tuyến của đờng ấy

Có thể vẽ đờng dòng trong môi trờng chất

lỏng nh sau: tại một thời điểm t phần tử M có tốc

độ u, cũng ở thời điểm đó, phần tử chất lỏng M 1

ở sát cạnh phần tử M và nằm trên véctơ u, có tốc

độ u 1, tơng tự cũng ở thời điểm trên ta cũng có

M 2 và u 2 M i và u i Đờng cong C đi qua các

điểm M 1 , M 2 M i lấy tốc độ u 1 , u 2 u i làm

tiếp tuyến chính là một đờng dòng ở thời điểm t (Hình 1)

Do vận tốc có thể thay đổi đối với thời gian, nên khái niệm đờng dòng có liên quan chặt chẽ đến thời gian, ứng với những thời điểm khác nhau ta có những đờng dòng khác nhau

Theo định nghĩa về đờng dòng ta thấy hai đờng dòng không thể giao nhau hoặc tiếp xúc nhau Trong chuyển động ổn định, vì các yếu tố chuyển động không thay đổi theo thời gian nên đờng dòng đồng thời lại là quỹ đạo của những phần tử chất lỏng trên đờng dòng ấy

1.3.2 Dòng nguyên tố và dòng chảy

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đờng cong kín giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ dω, tất cả các đờng dòng đi qua các điểm trên đ-ờng cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ống dòng(Hình 2) Khối lợng chất lỏng chuyển động ở trong không gian giới hạn bởi ống dòng gọi dòng nguyên

tố (Hình 3)

Hình 2 Hình 3

Nghiên cứu tính chất động học và động lực học của chất lỏng chuyển động, ta

có thể dùng hai mẫu chuyển động nh sau:

a/ Môi trờng chất lỏng chuyển động coi nh tập hợp vô số dòng nguyên tố; nghiên cứu theo mẫu này, ta dễ dàng đi đến công thức tính toán cho dòng chảy có kích thớc hữu hạn Đó là bài toán một thứ nguyên (còn gọi là bài toán một chiều) và cũng là phơng pháp thờng dùng để suy ra những công thức tính toán

b/ Môi trờng chất lỏng chuyển động coi nh là tập hợp vô số phần tử chất lỏng Nghiên cứu mẫu này, ta thờng đi đến những phơng trình vi phân, nhng khó tích phân để đi đến những công thức tính toán cho dòng chảy thực tế, có kích thớc

cụ thể Đó là bài toán ba chiều Phơng pháp này có ý nghĩa rất lớn về mặt lý thuyết cũng nh về phơng pháp nghiên cứu

1.3.3 Những yếu tố thuỷ lực của dòng chảy

a/ Mặt cắt ớt: ω

Mặt cắt thẳng góc với tất cả các đờng dòng

gọi là mặt cắt ớt hay mặt ớt; mặt cắt ớt có thể là

phẳng khi các đờng dòng là những đờng thẳng song

song, và có thể cong khi các đờng dòng không song

song (Hình 4)

Trên mặt cắt ớt của toàn dòng chảy, vận tốc

của các điểm không bằng nhau (vì các dòng nguyên

Lu lợng thể tích là thể tích chất lỏng đi qua một mặt cắt ớt nào đó trong một

đơn vị thời gian

Nếu diện tích phẳng dω lại là mặt cắt ớt của một dòng nguyên tố thì rõ ràng

l-u tốc điểm u trên mặt cắt ớt phải thẳng góc với mặt đó Vậy lu lợng nguyên tố dQ

ω

ud dQ

e/ Lu tốc trung bình :

Lu tốc trung bình của dòng chảy tại mặt cắt là

tỷ số lu lợng Q đối với diện tích ω của mặt cắt ớt đó,

Nh vậy lu lợng bằng thể tích hình trụ có đáy là mặt cắt ớt, có chiều cao bằng lu tốc trung bình mặt cắt ớt

2 PHƯƠNG TRìNH LIÊN TụC CủA DòNG CHảY ổN ĐịNH

2.1 Phơng trình liên tục của dòng nguyên tố và của toàn dòng chảy.

Chất lỏng chuyển động một cách liên tục, nghĩa là trong môi trờng chất lỏng chuyển động không hình thành những vùng không gian trống không, không chứa chất lỏng Tính chất liên tục đó có thể biểu thị bởi biểu thức toán học gọi là phơng trình liên tục

Trên một dòng nguyên tố ta lấy hai mặt cắt AA và BB có diện tích tơng ứng là

1

ω

d và dω2 với lu tốc tơng ứng u 1 và u 2

Sau thời gian dt, thể tích chất lỏng ở trong dòng nguyên tố giới hạn bởi hai

mặt cắt AA và BB có vị trí mới là thể tích của dòng giới hạn bởi hai mặt cắt A'A' và B'B' Ngoài ra trong chuyển động ổn định, hình dạng của dòng nguyên tố không

thay đổi theo thời gian, đồng thời chất lỏng không xuyên qua ống dòng mà đi ra hay

đi vào dòng nguyên tố

Trong dòng nguyên tố không có chỗ trống, đối với chất lỏng không nén đợc thì thể tích chất lỏng trong đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt ớt AA và

ω ω

2.2 Phơng trình vi phân liên tục của dòng chảy ổn định.

Trong không gian chứa đầy chất lỏng

không nén đợc đang chuyển động, ta lấy

một hình hộp ABCDEFGH có vị trí cố

định, các cạnh của hình hộp là dx, dy, dz

Trọng tâm của hình hộp đó là A, có tọa độ

là x, y, z ; lu tốc tại A ở thời điểm t là u, có

hình chiếu u x , u y , u z; khối lợng riêng chất

lỏng là ρ = const Ta xác định khối lợng

chất lỏng chuyển động đi vào và đi ra đối

với hình hộp đó trong thời gian dt

Hình 9

Với những mặt ADHE và BCGF, vận tốc theo trục x là:

2

dx x

u

∂+

Trong thời gian dt, khối lợng chất lỏng chảy vào mặt ADHE là:

dydzdt

dx x

u dydzdt

dx x

u u dydzdt

dx x

chịu một sự biến đổi dM bằng tổng số các độ chênh khối lợng theo các phơng:

u dxdydzdt x

∂

∂+

u x

∂

∂+

∂

∂

z

u y

u x

Phơng trình vi phân liên tục này cũng nh phơng trình liên tục viết cho dòng nguyên tố là một phơng trình động học, vì vậy nó đúng cho cả chất lỏng lý tởng và chất lỏng thực

Phơng trình liên tục thể hiện: thể tích của chất lỏng không nén đợc chảy vào hình hộp trong thời gian dt bằng thể tích chất lỏng chảy ra khỏi hình hộp Phơng

trình đó cũng có nghĩa là khối lợng chất lỏng vào hình hộp bằng khối lợng chất lỏng chảy ra khỏi hình hộp, tức là khối lợng chất lỏng ở trong hình hộp là hằng số, do đó phơng trình liên tục là biểu thức của một trong những quy luật vật lý quan trọng nhất, đó là định luật bảo toàn khối lợng

3 PHƯƠNG TRìNH năng lợng BECNUlY CủA DòNG CHấT LỏNG CHảY ổN

ĐịNH

3.1 Phơng trình Becnuly của dòng chất lỏng lý tởng chảy ổn định

3.1.1 Phơng trình vi phân chuyển động của một đơn vị khối lợng chất lỏng.

Ta lấy trong môi trờng chất lỏng chuyển động một khối chất lỏng hình hộp

ABCDEFGH vô cùng nhỏ, có cạnh song song với những trục tọa độ và dài dx, dy, và

dz khối lợng riêng ρ Hình hộp đó chịu tác dụng của những lực sau đây:

a/ Lực khối lợng F (thể tích) gọi là lực khối lợng của chất lỏng, nó có hình

chiếu là X, Y, Z Khối lợng của hình hộp chất lỏng là m = ρdxdydz Nh vậy hình

chiếu lên trục tọa độ Ox là lực khối lợng là Xρdxdydz

b/ Lực bề mặt tức áp lực thủy động tác dụng lên những mặt của hình hộp và tỷ

lệ với diện tích những mặt đó Gọi p là động áp suất tại trọng tâm M của hình hộp,

tọa độ M là x, y, z Vậy theo phơng Ox áp suất thủy động tại những mặt trái và phải

của hình hộp là:

2

dx x

p p

p p

∂

∂+Hình chiếu lên trục Ox của tổng hợp những lực bề mặt đó là:

dxdydz x

p dydz

dx x

p p dydz

dx x

p p

Vậy ta có:

dt

du dxdydz dxdydz

x

p dxdydz

1

(3-15’)Tơng tự đối với các trục Oy, Oz ta đợc hệ:

p F

dt

du y

p F

dt

du x

p F

z z

y y

x x

ρρρ

11





=

−ρ

U d gradp

1

(3-17)Trong đó : F s là hình chiếu của lực khối lợng F lên tiếp tuyến của đờng dòng

Phơng trình Ơle nói trên dùng cho cả chất lỏng và chất khí Đối với chất lỏng thì ρ là hằng số, đối với chất khí thì ρ có thể biến đổi Phơng trình Ơle đó dùng cho cả chuyển động ổn định và không ổn định

Nếu chất lỏng ở trạng thái tĩnh, vế bên phải hệ phơng trình Ơle sẽ bằng không

và những phơng trình ấy có dạng của phơng trình Ơle ta đã chứng minh trong phần thủy tĩnh học mà ta gọi là phơng trình vi phân cân bằng của Ơle

Nếu phần tử chất lỏng chuyển động thẳng, thí dụ theo phơng x tức là u= u x , u y

= u z = 0 thì trên mặt thẳng góc với phơng chảy, áp lực phân bố theo quy luật thủy

Đó là đặc tính của dòng chảy có các đờng dòng thẳng, song song Dòng chảy

đổi dần cũng coi nh có đặc tính này

3.1.2 Phơng trình Becnuly suy ra từ phơng trình vi phân chuyển động.

Đối với chất lỏng không nén đợc ta có thể xác định các yếu tố chuyển động p,

u x , u y , u z , bằng các phơng trình vi phân chuyển động Ơle (3-16) Kết hợp với phơng

trình liên tục (3-13) Nhng việc giải hệ phơng trình đó rất phức tạp

Để giải các bài toán kỹ thuật thông tờng liên quan đến dòng chảy ổn định, chất lỏng không nén đợc, lực khối tác dụng là trọng lực, ta có thể suy ra từ hệ phơng trình vi phân chuyển động Ơle một phơng trình đơn giản hơn, gọi là phơng trình Becnuly, hay còn gọi là phơng trình năng lợng, dùng tơng đối thuận tiện trong các bài toán kỹ thuật

Ta nhân lần lợt hai vế của hệ phơng trình (3-16) với dx,dy,dz và cộng lại, sẽ

∂

∂+

∂

∂

−+

z

p dy y

p dx x

p Zdz

Ydy Xdx

ρ

1

dz dt

du dy dt

du dx dt

p dy y

p dx x

p dp

∂

∂+

∂

∂+

+

2

2

u d du u du u du

ρ

02

gdz

Các phơng trình vi phân chuyển động Ơle, phơng trình (3-18) và (3-19) đều tính cho một đơn vị khối lợng chất lỏng; vì vậy, nếu ta chia phơng trình (3-19) cho gia tốc g, ta sẽ đợc phơng trình tính cho một đơn vị trọng lợng chất lỏng:

02

g

u d dp dz

Tích phân phơng trình (3-19’) ta sẽ đợc:

const g

u p

để giải các bài toán kỹ thuậ có liên quan đến chuyển động ổn định, chất lỏng lý ởng(hoặc chất khí không bị nén), lực khối là trọng lực

t-Phơng trình Becnuly còn gọi là là phơng trình năng lợng vì nó là một dạng của

định luật bảo toàn năng lợng

3.1.3 Phơng trình Becnuly suy ra từ định luật động năng:

Sự biến thiên động năng của một khối

l-ợng nhất định khi nó di động trên một

quảng đờng, bằng công của các lực tác

dụng lên khối lợng đó, cũng trên quảng

đờng đó

Trong dòng chảy ổn định của chất

lỏng lý tởng(Hình 10), tại thời điểm t ta

xét một đoạn dòng nguyên tố giới hạn

bởi mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích mặt

cắt ớt tơng ứng ∆ω1 và ∆ω2

Hình 10

Ta cũng chọn trục chuẩn nằm ngang Ox; nh vậy mặt cắt 1-1 có trọng tâm ở độ

cao z 1 đối với trục chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p 1 lu tốc là u 1; mặt cắt

2-2 có trọng tâm ở độ cao z 2 đối với trục chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là

p 2 lu tốc là u 2

Sau một thời gian vô cùng nhỏ ∆t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ớt 1-1 đã

di động đợc một quãng đến vị trí 1'- 1', độ dài ∆s1 của quãng đờng đó bằng:

1

s

∆ = u1∆t

Cũng trong thời gian vô cùng nhỏ ∆t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ớt

2-2 đã di động đợc một quãng đến vị trí 2-2'-2-2', độ dài ∆s2 của quãng đờng đó bằng:

t u

Trong thời gian ∆t, sự biến thiên động năng ∆Eđ của đoạn dòng nguyên tố

đang xét bằng hiệu số động năng của khu c và a, vì động năng của khu b không đổi:

22

22

12

1 1

2 2 2

u u t dQ g

u t dQ

u t dQ u

m u

m

Ta tính đến công của lực ngoài tác dụng lên khối lợng của đoạn dòng nguyên

tố đang xét Các lực ngoài gồm trọng lực và áp lực thủy động

Công sinh ra bởi trọng lực, theo cách phân tích các hiện tợng ở trên, chính bằng công của trọng lợng khối chất lỏng khu a di chuyển đến khu c, tức từ cao độ z 1

đến cao độ z 2, tức là:

t dQ z z t gdQ z

z g m z g m z

áp lực thủy động tác dụng lên đoạn dòng nguyên tố đang xét gồm lực:

1 1

1= p∆ω

P , hớng thẳng góc vào mặt cắt ớt 1-1

2 2

t dQ p t u

p s p

z t dQ u

u t dQ

2 1

2 2

2

p p z z g

g

u p z g

u p z

22

2 2 2 2

2 1 1

u p

2

2

3.2 Phơng trình Becnuly của dòng chất lỏng thực chảy ổn định.

3.2.1 Phơng trình Becnuly của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn

định.

Chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển động thì sinh ra sức ma sát trong, làm cản trở chuyển động Muốn khắc phục sức cản đó, chất lỏng phải tiêu hao một phần cơ năng biến thành nhiệt năng mất đi không lấy lại đợc Vì vậy năng lợng của chất lỏng thực giảm dọc theo dòng chảy, tức là:

const g

u p

2

2γ

Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì:

g

u p z g

u p z

22

2 2 2 2

2 1 1

u p z g

u p

22

2 2 2 2

2 1 1

3.2.2 Phơng trình Becnuly của toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn định.

Trong thực tế các đờng dòng đều có kích thớc nhất định vì vậy không thể dùng phơng trình Becnuly cho dòng nguyên tố để giả quyết các bài toán kỹ thuật cliên quan đến dòng chảy thực tế Ta biết rằng dòng có kích thớc hữu hạn có thể coi

nh tổng hợp của vô số dòng nguyên tố, nhng trong một mặt cắt các yếu tố chuyển

động p, u tại các điểm phân bố khác nhau và thờng ta không biết quy luật phân bố

đó Cho nên giá trị của z,

g

u p

2,

2

γ và h' w trong các dòng nhuyên tố tại cùng một mặt cắt ngang toàn dòng chảy không giống nhau Ta không thể lấy năng lợng đơn vị e và

tổn thất năng lợng h' w của một dòng nguyên tố bất kì để đại diện cho các đại lợng

t-ơng đt-ơng của tất cả các dòng nguyên tố khác, mà phải tìm giá trị trung bình của e và của h' w đại diện đợc cho toàn dòng chảy Muốn thế, phải mở rộng phơng trình Becnuly cho toàn dòng chảy Vấn đề này cố thể giải quyết theo nhiều phơng pháp khác nhau, nhng đứng về quan điểm năng lợng ta có thể vận dụng nguyên lý bảo toàn năng lợng nh sau: Viết phơng trình thể hiện sự bảo toàn năng lợng giữa hai mặt cắt của dòng chảy, cụ thể là tính năng lợng chứa trong chất lỏng chảy qua hai mặt cắt trong một đơn vị thời gian, tức là tính cơ năng trong lu lợng qua hai mặt cắt của dòng chảy; sau đó chia cơ năng trong lu lợng đó cho trọng lợng của lu lợng ta sẽ đ-

ợc năng lợng đơn vị trung bình qua hai mặt cắt đang xét

Giả thiết toàn dòng chảy thực là dòng chảy ổn định, gồm vô số dòng nguyên

tố Trên toàn dòng chảy tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tíchω1 và ω2, ta lấy một dòng nguyên tố tùy ý và viết phơng trình Becnuly ncủa dòng nguyên tố chất lỏng thực theo (3-21)

Ta gọi lu lợng dòng nguyên tố là dQ, trọng lợng tơng ứng sẽ là γdQ Viết biểu thức năng lợng của toàn dòng, muốn vậy phải nhân các số hạng của phơng trình Becnuly (3-21) cho γdQ, sau đó tích phân đối với toàn mặt cắt ω1 và ω2:

2

2 1 1

1

ω ω

ω ω

ω

γγ

γγγ

γ

u dQ

p z dQ g

u dQ

ω

p z Q dQ

p z dQ p

Xét tích phân thứ hai: ở đây ta dùng khái niệm lu tốc trung bình v để tính tích

phân này Lu tốc điểm u của mỗi phần tử chất lỏng trên mặt cắt ớt, so với lu tốc

γ

ω ω

ω

d u v g

d g

u dQ

ω ω

d u u

v u v v g

u 3 là một đại lợng vô cùng nhỏ bậc cao bên cạnh những đại lợng vô cùng

bé bậc thấp hơn nên có thể bỏ đi không tính toán

ω ω

ω

ωω

ωω

ω ω

d u v g

y d v g

y d u v v g

y ydQ

g

322

32

∫

ωω

γωω

2 3

12

32

d u v

g d

u v v

v

d u

∫ ∆+

Ta có:

g

v Q v

g

dQ g

u

22

2

2 3

Từ (3-26) ta thấy đợc rằng hệ số α bao giờ cũng lớn hơn 1 Hệ số α thờng gọi

là hệ số sửa chữa động năng hoặc là hệ số cột nớc lu tốc, còn gọi là hệ số Cô-ri-ô-lit

Khi nớc chảy trong kênh, ống, máng v.v thờng α có thể lấy trong khoảng 1,05

đến 1,1

Xét tích phân thứ ba: gọi h w là tổn thất năng lợng trung bình của một đơn vị trọng lợng hoặc nói gọn là tổn thất cột nớc trong đoạn dòng chảy, ta có:

v Q

p z Q g

v Q

p z

γγ

αγγ

2 2 2 2

2

2 1 1 1

Viết phơng trình cho một đơn vị trọng lợng, tức là chia các số hạng cho γQ,

ta đợc:

w h g

v p

z g

v p

22

2 2 2 2 2

2 1 1 1 1

αγ

α

Đây là phơng trình Becnuly của toàn dòng chảy ổn định của chất lỏng thực, là một trong những phơng trình cơ bản và quan trọng nhất của thủy lực học Muốn vận dụng đúng phơng trình, cần nắm vững những điểm sau:

a/ Phơng trình Becnuly của toàn dòng chảy ổn định phải thỏa mãn 5 điều kiện sau:

ở trên một dòng nguyên tố Khi ta chọn điểm, tất nhiên, nên chọn sao cho phơng trình đơn giản nhất

c/ Ta có thể dùng áp suất d thay cho áp suất tuyệt đối

d/ Trong tính toán thờng ta lấy α =1 α2, nhng thực tế hai trị số này khác nhau

3.3 Phơng trình biến thiên động lợng đối với dòng chảy ổn định.

3.3.1.Phơng trình động lợng của dòng nguyên tố.

Định luật động lợng trong cơ học lý thuyết phát biểu nh sau: Đạo hàm của

động lợng của một vật thể đối với thời gian bằng hợp lực những ngoại lực tác dụng vào vật thể :

dt

u m d dt

K

hay:

( )m u F dt d

Trong phơng trình động lợng chỉ có ngoại lực mà không có nội lực, và chỉ có

động lợng do ngoại lực sinh ra; nên khi vận dụng định luật động lợng cho chất lỏng chuyển động, ta chỉ cần tìm những số liệu về tình hình dòng chảy ở mặt biên giới

mà không đòi hỏi phải biết tình trạng dòng chảy ở trong nội bộ dòng; đó là một điều

rất thuận tiện Đối với các trờng hợp cần dùng đến phơng trình động lợng, thông ờng ta không cần xét toàn bộ dòng chảy nh suốt cả bề dài dòng chảy trong ống, sông, kênh, mà chỉ cần xét một đoạn nhất định của dòng chảy Khi ấy, toàn bộ bề mặt giới hạn thể tích chất lỏng trong đoạn lòng dẫn đó bao gồm mặt vòng quanh và hai mặt cắt ngang ở hai đầu đó đợc gọi là mặt kiểm tra (Hình 11a) Mặt kín này có

th-thể tùy ý định, thờng lấy gồm hai mặt cắt ớt và mặt bên của đoạn dòng chảy

Ta tìm công thức biểu thị định luật động lợng trong toàn dòng chất lỏng chảy

∆F x: là hình chiếu lên phơng Ox của tổng hợp những ngoại lực tác dụng lên

đoạn dòng nguyên tố đang xét

(u x ) 1 và (u x ) 2 là hình chiếu lên phơng Ox của các lu tốc tại hai mặt cắt A1-A1 và A2 của dòng nguyên tố

A2-Phơng trình (3- 30) biểu thị rằng: trong một đơn vị thời gian, hình chiếu lên phơng Ox của xung lợng của hợp lực các ngoại lực tác dụng vào đoạn dòng nguyên

tố bằng hình chiếu lên phơng Ox của độ biến thiên động lợng của dòng nguyên tố

trong thời gian đó

3.3.2 Phơng trình động lợng cho toàn dòng chảy.

Tích phân phơng trình (3-30') cho cả mặt cắt ớt ω và gọi F x là hình chiếu lên trục Ox của ngoại lực tác động vào toàn dòng ta có:

v d v d u v d

u

Nh ta đã biết khi tích phân phơng trình Becnuly cho toàn dòng:

∫ ∆+

Ta có thể viết:

vQ v

v

d u vQ

udQ ∫

∫

=

Hệ số α0 là tỷ số giữa động lợng thực của đoạn dòng chảy và động lợng của

đoạn dòng đó tính theo lu tốc trung bình mặt cắt Từ (3-34) ta thấy α0 > 1; thờng

trong dòng chảy trong ống, trong kênh α0 = 1,02 đến 1,05 Hệ số α0 gọi là hệ số

sửa chữa động lợng hoặc hệ số Businetscơ

Công thức trên phát biểu nh sau: trong dòng chảy ổn định, sự biến thiên của

động lợng của đoạn dòng chảy trong đơn vị thời gian bằng hợp lực các ngoại lực (lực khối và lực mặt) tác dụng vào đoạn dòng trong đơn vị thời gian ấy

Chú ý:

 Dòng chảy phải là ổn định: tại những mặt cắt A1-A1 và A2-A2 giới hạn

đoạn dòng đang xét, dòng chảy phải là đổi dần vì có nh thế mặt cắt ớt mới coi đợc là gần phẳng do đó những lu tốc trung bình mặt cắt (thẳng góc với mặt cắt ớt) mới xác

định hoàn toàn cả về trị số và phơng hớng Vì là dòng chảy đổi dần tại những mặt cắt A1-A1 và A2-A2 nên áp lực phân bố trên những mặt cắt đó tuân theo quy luật

phân bố áp lực thủy tĩnh

 Phơng trình (3-37) có thể giải thích nh sau: trong khoảng thời gian dt,

khối chất lỏng giới hạn bởi những mặt cắt A1-A1 và A2-A2 đã di chuyển đợc một

đoạn, ở vị trí mới khối chất lỏng đó giới hạn bởi hai mặt cắt B1'-B1' và B2'-B2' Vậy

sự biến thiên của động lợng (có thể dơng hoặc âm) trong thời gian dt đó bằng hiệu

số động lợng của đoạn dòng chảy khi ở vị trí A1-A2 và B1'-B2' Theo hình ta thấy:

2 ' 1 ' 1 1 2

1 − =K− −K −

' 2 2 2 ' 1 ' 2 '

1 − =K − −K −

1 01 2

02 1

1 2 1 2 1 ' 2 '

K

K=  −  =  −  =ρ α  −ρ α 

Nh vậy, trong dòng ổn định, sự biến thiên động lợng của chất lỏng đi qua mặt

kiểm tra trong một đơn vị thời gian bằng hợp lực của tất cả các ngoại lực (lực khối

và lực mặt) tác dụng lên chất lỏng giới hạn ở bên trong mặt kiểm tra

Theo cách nói ở trên, ta không xét đến sự biến thiên động lợng của chất lỏng trong đoạn dòng chảy giới hạn bởi mặt kiểm tra, mà nói đến sự biến thiên động lợng của chất lỏng đi qua mặt kiểm tra

Để đặt dấu cho đúng, có thể theo qui ớc sau:

 Ta coi động lợng của khối chất lỏng mang dấu dơng (+) nếu chất lỏng đi ra

khỏi mặt kiểm tra, mang dấu âm (-) nếu đi vào trong mặt kiểm tra

 Dấu của cos tùy theo trị số góc α lập nên bởi vectơ tốc độ v và chiều dơng

của trục tọa độ, α có thể nhỏ hơn

2

π hoặc lớn hơn

2

π .

 Dấu của số hạng biểu thị xung lực sẽ tùy theo phơng của vectơ lực là dơng

hay âm đối với trục tọa độ

3.3.3 ứng dụng phơng trình động lợng

Phơng trình động lợng đợc ứng dụng rất rộng rãi trong thuỷ khí động lực học nói chung và thuỷ lực học nói riêng, ví dụ:

- tính lực đẩy của một động cơ phản lực hoặc của một tên lửa;

- tính các cánh quạt cảu máy bay hay chân vịt tàu thuỷ;

- tính lực tác dụng lên cánh tuabin, cánh quạt;

- nghiên cứu hiện tợng va đập thuỷ lực trong ống;

- nghiên cứu dòng chảy biến đổi đột ngột…

Dới đây ta vận dụng phơng trình động lợng vào một số trờng hợp hay gặp:a/ Tính phản lực của một dòng tia chất lỏng:

Xét một bình chứa lớn có một lỗ ở thành Chất lỏng thoát ra khỏi lỗ và tạo nên một dòng tia Ta giả thiết tia chảy ngang (Hình 12) Gọi Q là lu lợng qua lỗ, v là vận

tốc trung bình của tia tại mặt cắt ωc Chiếu lên trục ngang, ta có:

2

v v

v Q

F=ρ =ρωc =ρωcTrong đóFlà hình chiếu của các áp lực

do bên ngoài tác dụng lên mặt kiểm tra (mặt

bao bởi nét chấm chấm), tức là do thành bình

tác dụng lên mặt đó

Ngợc lại, bình chứa chịu tác dụng một

lực đẩy R ngợc chiều với F và gọi là phản

b/ Lực do chất lỏng tác dụng lên một đoạn ống cong

Trên hình (Hình 13) của một đoạn dòng chảy cong, ta có:

Tại mặt cắt A 1 :