b Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.. c Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –2.. Xác định hàm số y ax b , biết đồ thị
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ
I KHÁI NIỆM HÀM SỐ
1 Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta
luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của
x, x được gọi là biến số
Ta viết: y f x y( ), g x( ),
- Giá trị của ( ) f x tại x kí hiệu là 0 f x ( )0
- Tập xác định D của hàm số y f x là tập hợp các giá trị của x sao cho ( )( ) f x có nghĩa
- Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm
Trang 3a) y x3 2x2 x 1 b) 1
x y
x
Bài 5 Chứng tỏ rằng hàm số y f x( ) x2 4x 3 nghịch biến trong khoảng ( ;2)
và đồng biến trong khoảng (2; )
Bài 6 Chứng tỏ rằng hàm số y f x( ) x luôn luôn đồng biến 3
HD: Chứng tỏ hàm số luôn nghịch biến trên R (2) f f x( ) f(0)
Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2
Trang 4Hàm số bậc nhất y ax b xác định với mọi x thuộc R và có tính chất sau:
a) Đồng biến trên R nếu a 0 b) Nghịch biến trên R nếu a 0
3 Đồ thị
- Đồ thị của hàm số y ax b ( a 0) là một đường thẳng:
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
+ Song song với đường thẳng y ax nếu b 0; trùng với đường thẳng y ax nếu
Trang 54 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ( ) : d y ax b và ( ) :d y a x b ( a, a 0):
- Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b a( 0) với tia Ox:
+ 900 thì a > 0 + 900 thì a < 0
- Một số phương đường thẳng
+ Đường thẳng đi qua điểm M x y và có hệ số góc 0 0; 0 k : y k x x0 y0
+ Đường thẳng đi qua điểm A a; 0 và B 0;b với ab 0: x y 1
a b
Trang 6Bài 13 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Với các hàm số bậc nhất,
hãy cho biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến?
a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau: 0; 1; 3 2; 3 2
c) Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau: 0; 1; 5 2; 5 2
Bài 15 Cho các hàm số y x d( ),1 y 2x ( ),d2 y x 3 ( )d 3
a) Vẽ trên cùng một hệ trục các đồ thị ( ),( ),( )d1 d2 d 3
b) Đường thẳng ( )d cắt các đường thẳng 3 ( ),( )d1 d lần lượt tại A và B Tính toạ 2
độ các điểm A, B và diện tích tam giác OAB
Bài 16 Cho hàm số y (a 1)x a
a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua điểm ( 1;1)A với mọi giá trị của a b) Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 Vẽ đồ thị
hàm số trong trường hợp này
c) Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –2 Tính
khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đó
Trang 7Bài 20 Cho hàm số y mx 3 Xác định m trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 3x
b) Khi x 1 3 thì y 3
Bài 21 Xác định hàm số y ax b , biết đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –3
Bài 22 Cho đường thẳng y (a 1)x a
a) Xác định a để đường thẳng đi qua gốc toạ độ
b) Xác định a để đường thẳng song song với đường thẳng y 3 1 x 4
Bài 23 Xác định hàm số trong mỗi trường hợp sau, biết đồ thị của nó là đường thẳng đi
qua gốc toạ độ và:
a) Đi qua điểm (2; 4)A
b) Có hệ số góc a 2
Trang 8c) Song song với đường thẳng y 5x 1
Bài 24 Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ và:
a) đi qua điểm A(–3; 1)
b) có hệ số góc bằng –2
c) song song với đường thẳng y 2x 1
Bài 25 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm B(–1; –4) và:
a) có hệ số góc bằng 1
2 b) song song với đường thẳng y 3x 1
c) có hệ số góc bằng k cho trước
Bài 26 Cho hàm số y mx 3m 1
a) Định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ
b) Tìm toạ độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m
Bài 27 Cho 2 điểm A(1; –2), B(–4; 3)
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng AB
b) Lập phương trình đường thẳng AB
III HÀM SỐ BẬC HAI VÀ KIẾN THỨC BỔ SUNG
1 Hàm số bậc hai
a) Định nghĩa: Hàm số có dạng y ax2 a 0
b) Tính chất: Hàm số y ax2 a 0 xác định với mọi giá trị của x và:
Trang 9- Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0, đồng biến khi x 0
- Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0, nghịch biến khi x 0
c) Đồ thị của hàm số y ax2 a 0 : Đồ thị hàm số y ax2 a 0 là một parabol
có đỉnh là O 0; 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng
- Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
- Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2 Kiến thức bổ sung
a) Công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A và B với A x y và A; A B x y Khi đó: B; B
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức: AB x B x A 2 y B y A 2
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức:
b) Quan hệ giữa Parabol y ax2 a 0 và đường thẳng y mx n m 0
Cho parabol P :y ax2 a 0 và đường thẳng d y: mx n m 0 Khi đó:
- Tọa độ giao điểm của P và d là nghiệm của hệ phương trình:
2
y ax
y mx n
- Hoành độ giao điểm của P và d là nghiệm của phương trình: ax2 mx n (*)
- Số giao điểm của P và d là số nghiệm của phương trình (*):
+ Nếu (*) vô nghiệm thì P và d không có điểm chung
Trang 10+ Nếu (*) có nghiệm kép thì P và d tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
3 Bài tập chọn lọc
Bài 28 Cho hai hàm số y x và y 3x
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Đường thẳng song song với trục Ox , cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các
đường thẳng y x và y 3x lần lượt ở A và B Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB
Bài 29 Cho hàm số y 2x và 1
2
y x a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên
b) Qua điểm 0;2 vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng 1
2
y x và y 2x lần lượt tại A và B Chứng minh tam giác AOB là tam
giác vuông và tính diện tích của tam giác đó
Bài 30 Cho hàm số y x
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Vẽ đường thẳng y 2, cắt đồ thị hàm số y x ở A và B Tam giác OAB
là tam giác gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đó
Bài 31 Cho hàm số y m 4 x m 6 d
a) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến
Trang 11b) Tìm các giá trị của m , biết rằng đường thẳng d đi qua điểm A 1;2 Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng d luôn đi qua một điểm
Bài 33 Cho ba đường thẳng y x 1, y x 1 và y 1
a) Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm của đường thẳng y x 1 và y x 1 là A , giao điểm của
đường thẳng y 1 với hai đường thẳng y x 1 và y x 1 theo thứ tự
là B và C Tìm tọa độ các điểm ,A B C ,
c) Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC
Bài 34 Cho đường thẳng d :y 2x 3
a) Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục Ox , Oy ,
tính khoảng cách từ điểm O 0;0 đến đường thẳng d
b) Tính khoảng cách từ điểm C 0; 2 đến đường thẳng d
Trang 12Bài 35 Tìm giá trị của k để ba đường thẳng y 2x 7 d , 1 1 7 2
Bài 37 Xác định hàm số y ax b trong mỗi trường hợp sau:
a) Khi a 3, đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3
b) Khi a 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A 2; 3
c) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M 1;3 và N 2; 6
d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 7x và đi qua điểm 1; 7 7
Bài 38 Cho hàm số y m 3 x n m 3 d Tìm các giá trị của , m n để
đường thẳng d :
Trang 13a) Đi qua điểm A 1; 3 và B 2; 3
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 3 , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 3
c) Cắt đường thẳng 3y x 4 0
d) Song song với đường thẳng 2x 5y 1
e) Trùng với đường thẳng y 3x 7 0
Bài 39 Cho đường thẳng y 4x d
a) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d và có tung 1
độ gốc bằng 10 Tính khoảng cách giữa d và d 1
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d và cắt trục 2
Ox tại điểm có hoành độ bằng – 8
c) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d cắt trục 3
Ox tại A , cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8
Bài 40 Cho hàm số y 2x 2 d và 1 1 2 2
2
y x d a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm của đường thẳng d với trục Oy là A, giao điểm của đường 1
thẳng d với trục 2 Ox là B, còn giao điểm của đường thẳng d và 1 d là 2 C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm ,A B C ,
c) Tính diện tích tam giác ABC
Trang 14Bài 41 Cho các hàm số sau: y x 5 d , 1 1 2
4
y x d và y 4x d 3
a) Vẽ đồ thị cửa các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng 1 d và 2 d lần lượt là A 3
và B Tìm tọa độ các điểm ,A B
c) Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao?
d) Tính diện tích tam giác AOB
Bài 42 Cho hai đường thẳng y x 3 d và 1 y 3x 7 d 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm của đường thẳng d và 1 d với trục Oy lần lượt là A và 2 B Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB
c) Gọi J là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d Chứng minh tam giác 2
OIJ là tam giác vuông Tính diện tích của tam giác đó
Bài 43 Cho hai đường thẳng y k 3 x 3k 3 d và 1 y 2k 1 x k 5 d2
Tìm giá trị của k để:
a) d và 1 d cắt nhau 2
b) d và 1 d cắt nhau tại một điểm trên trục tung 2
c) d và 1 d song song với nhau 2
d) d và 1 d vuông góc với nhau 2
Trang 15y x trên cùng một mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng
Bài 45 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A 2;2 và đường thẳng
d y x
a) Chứng minh A d
b) Tìm các giá trị của a để parabol y ax đi qua d 2
c) Tìm đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d
d) Gọi A và B là giao điểm của P với đường thẳng tìm được trong câu c, và C
là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy Tìm tọa độ các điểm , B C và tính diện tích tam giác ABC
Bài 46 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol
2:
4
x
P y và đường thẳng :
d y mx n Tìm các giá trị của m và n biết đường thẳng d thỏa mãn
một trong các điều kiện sau:
a) Song song với đường thẳng y x và tiếp xúc với P
Trang 16b) Đi qua điểm 3
; 12
b) Trên P lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là – 2, 1 Viết phương trình đường thẳng MN
c) Xác định hàm số y ax b biết rằng đồ thị d của nó song song với đường
thẳng MN và chỉ cắt P tại 1 điểm
d) Lập phương trình đường thẳng d qua A 2; 2 và tiếp xúc với P
Bài 48 Cho hàm số y x và y2 x m ( m là tham số)
a) Tìm m sao cho đồ thị P của hàm số y x và đồ thị d của y2 x m có hai giao điểm phân biệt A và B
b) Tìm phương trình của đường thẳng d vuông góc với d và ' d tiếp xúc với '
Trang 17b) Tìm m sao cho d tiếp xúc với P (câu a) và tìm tọa độ tiếp điểm
c) Gọi B là giao điểm của d (câu b) với trục tung C là điểm đối xứng của A
qua trục tung Chứng tỏ rằng C nằm trên P và tam giác ABC vuông cân
Bài 50 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d1 :y x 1 và
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và 1 d bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép 2
toán
b) Tìm a trong hàm số y ax có đồ thị P qua A Khảo sát và vẽ đồ thị P 2
với a vừa tìm được
c) Tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với P tại A
Bài 51 Gọi P là đồ thị của hàm số y ax và điểm 2 A 2; 1 trong cùng hệ trục
a) Tìm a sao cho A thuộc P Vẽ P với a vừa tìm được
b) Gọi B là điểm thuộc P có hoành độ là 4 Viết phương trình đường thẳng
AB
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với P và song song với AB
Bài 52 Cho parabol 1 2
:4
P y x và đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B trên P
có hoành độ lần lượt là – 2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số trên
Trang 18b) Viết phương trình của d
c) Tìm điểm M x y trên cung AB của P (0; 0 2 x0 4) sao cho tam giác
b) Tìm m sao cho d tiếp xúc với P
c) Chứng tỏ rằng d luôn đi qua một điểm cố định A thuộc P
Bài 54 Trong cùng một hệ trục tọa độ có parabol 1 2
:4
P y x và đường thẳng d qua
điểm 3; 1
2
I có hệ số góc m
a) Vẽ P và viết phương trình của d
b) Tìm m sao cho d tiếp xúc với P
c) Tìm m sao cho d và P có hai điểm chung phân biệt
Bài 55 Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol 1 2
:4
Trang 19b) Bằng phép toán,tìm tọa độ giao điểm của P và d
c) Tìm tọa độ của điểm thuộc P sao cho tại đó đường tiếp tuyến của P song song với d
Bài 56 Cho họ đường thẳng có phương trình mx 2m 1 y 3 0(1)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A 2;1
b) Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định với mọi
m Tìm tọa độ của điểm đó
Bài 57 Cho parabol 1 2
:2
P y x
a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1, đường thẳng này gọi là d
b) Biện luận theo m số giao điểm của P và d
c) Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với P Tìm tọa độ tiếp điểm
d) Trong trường hợp d cắt P tại hai điểm phân biết A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
e) Tìm trên P các điểm mà đường thẳng d không đi qua với mọi m
Bài 58 Cho parabol P :y ax và hai điểm 2 A 2; 5 và B 3;5
a) Viết phương trình đường thẳng AB Xác định a để đường thẳng AB tiếp xúc với P Tìm tọa độ tiếp điểm
Trang 20b) Khảo sát và vẽ đồ thị P với a vừa tìm được
c) Một đường thẳng d di động luôn vuông góc với AB và cắt P tại hai điểm
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M I ,
c) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn luôn cắt P tại hai điểm phân biệt
,
A B với mọi m 0
d) Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông
e) Chứng minh rằng độ dài đoạn AB 4 với mọi m 0
Bài 60 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho parabol 1 2
Trang 21Bài 61 Cho hàm số y 2x có đồ thị P 2
a) Vẽ đồ thị P
b) Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc
với nhau và cùng tiếp xúc với P
Bài 62 Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol P :y ax (2 a 0) và đường thẳng
:
d y kx b
a) Tìm k và b cho biết d đi qua hai điểm A 1; 0 và B 0; 1
b) Tìm a biết rằng P tiếp xúc với d vừa tìm được ở câu a
c) Vẽ d và P vừa tìm được ở câu a và b
d) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm ' 3; 1
2
C và có hệ số góc m
- Viết phương trình đường thẳng d '
- Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng d tiếp xúc với P (ở câu b) '
và vuông góc với nhau
Bài 63 Cho hàm số y x có đồ thị P trong mặt phẳng tọa độ Oxy 2
a) Vẽ P
b) Gọi A và B là hai điểm nằm trên P lần lượt có hoành độ là – 1 và 2 Chứng
minh rằng tam giác OABvuông
Trang 22c) Viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với P
d) Cho đường thẳng d' :y mx 1 (với m là tham số)
- Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi ' m
- Tìm m sao cho d cắt đồ thị P tại hai điểm có hoành độ ' x x thỏa mãn 1, 2
11
x x Vẽ d với ' m vừa tìm được
Bài 64 Cho hàm số y 2x có đồ thị là parabol P 2
a) Vẽ P
b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng
vuông góc và cùng tiếp xúc với P
Bài 65 Cho parabol 1 2
:2
P y x và đường thẳng d có phương trình 1
2
y mx
a) Chứng minh rằng với mọi m , d luôn đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh rằng với mọi m , d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt M N ,c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN
Bài 66 Cho hàm số y mx 2m 1 (1) (m 0)
a) Xác định m để đồ thì hàm số đi qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị d vừa tìm được 1
b) Tính theo m tọa độ các giao điểm ,A B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với các
trục Ox và Oy Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đvdt)