Chuyên đề ôn thi vào 10: Hàm số và đồ thị ( mọi người xem và bổ sung nhé)

Xét phơng trình hoành độ giao điểm của hai hàm số trên là fx = gx *.. b Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m.. b Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điể

Chuyờn đ : Hàm s và đ th ề: Hàm số và đồ thị ố và đồ thị ồ thị ị Biên soạn: Cao Thế Anh - Nguyễn Du

I - Lý thuyết

1 Tập xác định của hàm số:

Đ/n: Cho hàm số y = f(x) Tập xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị của x để biểu thức

f(x) xác định (có nghĩa)

Ví dụ: - đối với hàm số bậc nhất y = ax + b ( a khác 0) và hàm số y = ax2 thì tập xác định của hàm số là R

- Đối với hàm y = f (x a ) thì TXĐ là x để f(x) khác 0 còn hàm y = f (x) thì TXĐ

là x để f(x)  0

2 Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A ( xA; yA) và B(xB; yB) là :

2

)

3 Quan hệ giữa một điểm và đồ thị:

Cho hàm số y = f(x) và A( xA; yA) khi đó

+/ Điểm A đợc gọi là thuộc đồ thị hàm số nếu yA = f(xA)

+/ Điểm A không thuộc đồ thị hàm số nếu yA  f(xA)

4 Quan hệ giữa đồ thị và đồ thị

Cho hai hàm số y = f(x) (1) và hàm số y = g(x) (2)

Xét phơng trình hoành độ giao điểm của hai hàm số trên là f(x) = g(x) (*) Khi đó:

+/ Nếu (*) có nghiệm thi hai đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau

+/ Nếu (*) vô nghiệm thì hai đồ thị hàm số không cắt nhau

+/ Nếu (*) vô số nghiệm thì hai đồ thị hàm số trùng nhau

Chẳng hạn:

a Xét hai đờng thẳng y = ax + b (d1) và đờng thẳng y = a’x + b’ (d2)

Phơng trình hoành độ giao điểm của hai đờng thẳng trên là: ax + b = a’x + b’ (*) Khi đó :

+/ Nếu (*) có nghiệm duy nhất thì hai đờng thẳng cắt nhau

+/ Nếu (*) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song

+/ Nếu (*) vô số nghiệm thì hai đờng thẳng song song

Nhận xét bổ sung:

a.1: Ta cũng có thể tìm tọa độ giao điểm hai đờng thẳng trên bằng cách giải hệ phơng trình: 











'

a y

b ax y

a.2: Khi bài toán chỉ cần tìm vị trị tơng đối của hai đờng thẳng ta chỉ cần xét những điều kiện sau:

- Nếu a a’ thì hai đờng thẳng cắt nhau và ngợc lại

- Nếu a = a’ và b b’ thì hai đờng thẳng song song và ngợc lại

- Nếu a = a’ và b = b’ thì hai đờng thẳng trùng nhau và ngợc lại

- Nếu a.a’ = -1 thì hai đờng thẳng vuông góc và ngợc lại Chú ý: Với đờng thẳng y =ax + b ta có a là hệ số góc và b là tung độ gốc;  là góc tao bởi

đờng thẳng với trục Ox (xem đ/n sgk toán 9 – tập 1 tg35).Khi đó: - Nếu a > 0 thì tg= a

- Nếu a < 0 thì tg(180 - ) = a

b Phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d): y = ax + b và parabol (P): y = mx2

là : mx2 = ax + b hay mx2 – ax – b = 0 (*) Khi đó:

- Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt P tại hai điểm phân biệt và ngợc lại

- Nếu (*) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P) và ngợc lại

- Nếu (*) vô nghiệm thì (d) không giao nhau với (P) hay (d) không cắt (P) và ngợc lại

5 Tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b luôn đi qua ( với a, b có chứa tham số)

Cách giải: Gọi điểm cố định cần tìm là (x0 ; y0) thay vào phơng trình đờng thẳng => y0 = ax0 + b biến đổi phơng trình này đa về phơng trình bậc nhất ẩn là tham số rồi cho tất cả các hệ số của phơng trình bằng 0 để tìm x0 và y0

II - Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1)

a) Điểm A có thuộc (D) hay không ?

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua A

c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với (D)

Bài 2: Cho hàm số : y = 2

2

1

x

1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số

2) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên

Bài 3 :Cho hàm số : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1)

a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 )

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Bài 4 : Cho hàm số :(P) : y = -12x2

a) Tìm x biết f(x) = - 8 ; -

8

1

; 0 ; 2 b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị (P) và có hoành

độ lần lợt là -2 và 1

Bài 5 : Vẽ đồ thị của hàm số : y =

2

2

x

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (2; 2) và (1 ;

-4 ) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị (P).

Bài 6 : Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( 3 ; 0) và đờng thẳng x – 2y = - 2

a) Vẽ đồ thị của đng thẳng Gọi giao điểm của đờng thẳng với trục tung và trục hoành là

B và E

b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng

x – 2y = -2

c) Tìm toạ độ giao điểm C của hai đờng thẳng đó Chứng minh rằng EO EA = EB EC

và tính diện tích của tứ giác OACB

Bài 7 Cho hàm số :

4

2

x

y  và y = - x – 1 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ

b) Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng

y = - x – 1 và cắt đồ thị hàm số

4

2

x

y  tại điểm có tung độ là 4

Bài 8: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3

3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5

Bài 9: Trong cùng một hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) : 2

4

1

x

y 

và đờng thẳng (D) :y mx 2m 1

a) Vẽ (P)

b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định

Bài 10: Cho hàm số y = ( m –2 ) x + m + 3

a) Tìm điều kiệm của m để hàm số luôn nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hành độ là 3

c) Tìm m để đồ thị các hàm số y = - x + 2 ; y = 2x –1và y = (m – 2 )x + m + 3 đồng quy

Bài 11 : Cho Parabol (P) có phơng trình y = ax2 Xác định a để (P) đi qua điểm A( -1; -2) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đờng trung trực của đoạn OA

Bài 12: Cho hàm số : y = ( 2m – 3)x2

1) Khi x < 0 tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1 , -1 ) Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc

Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) cú phương trỡnh

2

x y 2



 Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm I(0; - 2) và cú hệ số gúc k.

a) Viết phương trỡnh dường thẳng (d) Chứng minh rằng (d) luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A và B khi k thay đổi.

b) Gọi H, K theo thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của A, B lờn trục hoành Chứng minh rằng tam giỏc IHK vuụng tại I.

Bài 14: Cho (P) y = -2x 2 Chứng minh điểm E(m; m 2 + 1) khụng thuộc (P) với mọi giỏ trị của m.

Bài 15: Cho hàm số y  x

a.Tìm tập xác định của hàm số

b.Tính y biết: a) x=9 ; b) x= 2

2

1 

c Các điểm: A(16;4) và B(16;-4) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số? Tại sao?

Không vẽ đồ thị, hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đồ thị hàm số y=x-6

Bài 16: Cho Parabol y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m2+4

Chứng minh rằng Parabol và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Tìm toạ

độ giao điểm của chúng Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 17: Trên parabol 2

2

1

x

y  lấy hai điểm A và B Biết hoành độ của điểm A là xA=-2 và tung

độ của điểm B là yB=8 Viết phơng trình đờng thẳng AB

Bài 18:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

(P): y=x2

(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)

1 Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

2 Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x1, x2 Tìm a để x1 +x2 =6

( Hãy cố gắng vợt qua các em nhé !)