CASIO NHỊ THỨC NEWTON – PHẦN 2

Để có kỹ năng “mới” thì phải có “công thức mới”, đương nhiên càng đơn giản, dễ hiểu và dễ áp dụng thì càng tốt.. Thực chất cũng không phải là công thức mới gì, chỉ khác là ta thực hành t

KỸ NĂNG CASIO VỀ NHỊ THỨC NEWTON - PHẦN 2

 Đặt vấn đề:

Bài toán độc lập sau đây ta sẽ không xét (ax p +bx q)n p q, ∈¥*

khi hỏi về hệ số của

m x

Chẳng hạn: Tìm hệ số của

14

x

trong khai triển nhị thức ( 2 )11

3x −2x

, khi đó ta đưa về

( 2 )11 11( )11

3x −2x =x 3x−2

và đi tìm hệ số của

3

x

trong khai triển ( )11

3x−2

và đáp số là

( )8

8 11 8

11 3 2 1140480

C − − =

và bài toán không có gì khó khăn

1

Kỹ năng tìm hệ số của lũy thừa x : m

Sau đây ta xét bài toán tìm hệ số

m x

trong khai triển

,

n p

q

b

Bài toán tìm hệ số của x m trong khai triển nhị thức là thường xuyên gặp, ta quy ước số

hạng không chứa x tương đương hệ số x 0 (Bài toán đã được trình bầy trong phần 1)

Để có kỹ năng “mới” thì phải có “công thức mới”, đương nhiên càng đơn giản, dễ hiểu và

dễ áp dụng thì càng tốt Trước hết ta xét vài ví dụ dễ và sau đó khái quảt hóa

Thực chất cũng không phải là công thức mới gì, chỉ khác là ta thực hành thi trắc nghiệm nên phải vận dụng khác đi, nếu như ta "tính bo" thì chậm! Ngoài ra các em học sinh chưa học tốt về nhị thức vẫn thực hiện "ngon lành", đặc niệt là các em ban xã hội!

1.1 Các ví dụ giải toán



Ví dụ 1:(Sưu tầm) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển biểu thức

( ) = − ÷

6

2

1

P x 2x

x

A. 240 B. 250 C. 260 D. 270

Hướng dẫn cách làm:

+ Xem như quy đồng mẫu thức trong ngoặc thì

6 3 2

x

(nhẩm nhưng không cần ghi)

+ Ta cần tìm số mũ 0, nên ta tính tỉ số

k n

× +

×

(có thể bấm máy)

 (Lấy lũy thừa n nhân với bậc 2 dưới mẫu + m) chia cho số mũ 3 nhân n

 Máy tính rút gọn bằng 2/3 thì ta đổi cho mẫu bằng 6 = n

6 4 2C × × −1

Trên đây ta trình bầy dài dòng, thực tế không cần ghi gì!



Ví dụ 2 : Hệ số của

31

x

trong khai triển

40

2

1

x x

 + 

là

Hướng dẫn cách làm:

(Dùng máy tính ghi

k n

):

2 40 31 37

× + =

×

(có mẫu là 40 và không cần đổi) Nhập máy nào! 40 37C bấm = cho ta 9880



Ví dụ 3 : Tìm hệ số của

3

x

trong khai triển:

9

2

1

2x

x

là:

Hướng dẫn cách làm:

(Dùng máy tính ghi

k n

):

2 9 3 7

× + =

×

(có mẫu là 9 và không cần đổi) Nhập máy nào!

7

9 7 2C ×



Ví dụ 4 : (Sưu tầm) Số hạng của x4 trong khai triển

8

3 1  

x x

 + 

là:

A.

5 4

8

C x

B

4 4 8

C x

C

5 4 8

C x

−

D

3 4 8

C x

−

Hướng dẫn cách làm:

(Dùng máy tính ghi

k n

):

1 8 4 3

× + =

×

(có mẫu là 8 và không cần đổi) + Đổi đơn giản là

C =C



Ví dụ 5: [ SỞ GD YÊN BÁI ] Hệ số của số hạng chứa

4

x

trong khai triển

12 3

3

x

x x

?

A 924 B

1 81

55 9

Hướng dẫn cách làm:

(Dùng máy tính ghi

k n

):

× + = →

×

(mẫu khác 12 và cần đổi cho mẫu = 12)

Nhập máy nào!

( )

8 4

1

3

C ×  −

 ÷

 

Bạn nào nhẩm tốt thì phần tính tỉ số theo kiểu trên: không cần dùng Casio + bút!

(Chiêu võ thứ tám)



Ví dụ 6: (Đề Tham khảo 2018)

Với n là số nguyên dương thỏa mãn

1 2

55

n n

C +C =

, số hạng không chứa x trong khai triển

biểu thức

3 2

2 n

x

x

 + 

bằng:

Hướng dẫn cách làm:

+ Máy tính hỗ trợ tìm n: XC1+ XC2 55−

Calc tìm được X = 10 = n.

+ Nói luôn đi: hai nhân 10 phần năm nhân 10 bằng hai phần năm và bằng bốn phần 10 + Ghi:

4 6

10 4 1C × ×2

(Hoặc ghi XC4 nhân 2 mũ 6)



Ví dụ 7: Số hạng không chứa x trong khai triển

10

2 1

1

x x

 + − 

là

A. 1951 B 1950 C 3150 D −360

Hướng dẫn cách làm:

Ta có thể nhẩm được công thức tính, nhưng ghi ra một tí vậy:

( )

10 10

10

10 0

k

k k

k

−

=

Tỉ lệ ngoặc sau (chỉ số i) là 1/3 nên ta nhân ngược trở về thì i = 1X, k = 3X, và do đó

Nhập:

( )

3

10 3 0

x

−

=

∑



Ví dụ 8 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

1 1

n x

x

 + + 

, biết n≥2

là số nguyên dương thỏa mãn

n

n n

A −C +− = − n

Hướng dẫn cách làm:

+ Máy tính hỗ trợ tìm n: MP2−(M +1) (C M − − +2) 14 14M

Calc tìm được n = 12 + Nói luôn đi: tách số 1 ra, tỉ lệ phía sau là 1/2, nên i = X, k = 2X.

+ Ghi:

( )

6

12 2 0

x

−

=

∑

MỘT ỨNG DỤNG TO LỚN nếu TA MỞ RỘNG THÊM!



Nhận xét 1:

Các ví dụ trên có các số mũ nguyên dương, và có dạng:

n p

q

b ax

x

+ Các số k, n trong tổ hợp cần tính thỏa mãn: k n (q n m p q) n X n

× +

+ ×

(cùng mẫu n)

+ Hệ số

m

x

là:

X n X nCX a b× −

Các biểu thức trên phù hợp với các em HS lớp 11, sau đây ta xét thêm các ví dụ mà công thức đúng cho cả lũy thừa hữu tỉ thuộc lớp 12, tức là có chứa căn thức !.



Ví dụ 9: ( THPT KIM LIÊN HÀ NỘI 2019) Số hạng không chứa x trong khai triển

7

3

4

1

x

x

bằng:

Hướng dẫn cách làm:

+ Nhẩm khi đổi căn thức ra lũy thừa hữu tỉ ta có các số (dưới mẫu trước) là 1/4 và 1/3

+ (Dùng máy tính

k n

):

3 4

7

4 3

+

=

 + 

và Ghi 7 3C bấm = cho ta 35

 Đối với các em lớp 11, ta thử đổi biến xem sao?

Đặt

4 3

12

3 4

;

y x

và ta có biểu thức

7 4

3

1

y y

 + 

Đến đây ta tính theo 6 ví

dụ đầu :

k

n

× +

×

và khi đó ta có 7 3C



Ví dụ 10: (Sưu tầm) biết n Î ¥ và Cnn +14

+ - Cnn + 3 = 7(n+3) Tìm hệ số của số hạng chứa x8

trong khai triển (x 3

1

+ x5 )n bằng:

Hướng dẫn cách làm:

+ Máy tính tìm n: (M +4) (C M + −1) (M +3)CM −7(M +3)

Calc tìm được n = 12.

+ Nhẩm khi đổi căn thức ra lũy thừa hữu tỉ ta có các số (dưới mẫu trước) là 3 và 5/2

+ (Dùng máy tính

k n

):

12 3

2

× + = →

 + 

và Ghi 12 8C bấm = cho ta 495



Nhận xét 2:

Để nhanh hơn, tức là tính k trực tiếp bằng cách không nhân n dưới mẫu Khi đó ta không

phải quy đồng cái gì: chẳng hạn đối với

n p

q

b ax

x

ta tính

nq m k

p q

+

= +

.

MH: Xác định hệ số của

8

x

trong các khai triển sau:

8 3

2

x

= − ÷

 Thì nhẩm k = (8+8)/4 = 4 và nhập 8C4 ×(-5)4×24 bấm = là được (nhanh nhất rồi!)

Đến đây mời các bạn luyện tập các bài sau!.

1.2 Luyện tập:

Câu 1: (Sưu tầm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton

21

2

2

, 0

x

bằng:

A

7 7

21

2 C

−

8 8 21

2 C

7 7 21

2 C

8 8 21

2 C

−

Câu 2: Tìm hệ số độc lập với x trong khai triển:

2 3 15

x

+

A.

10 10

153

C

9 9

153

C

12 10

153

C

11 11

153

C

Câu 3: Số hạng không chứa x trong khai triển

10

1  

x x

 − 

là:

A

4

10

C

B

5 10

C

C.

5 10

C

−

D

4 10

C

−

Câu 4: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ 2019) Tìm số hạng không

chứa x trong khai triển

18

4 2

x x

 + 

với x≠0

A.

9 9

18

2 C

B

11 7 18

2 C

C

8 8 18

2 C

D

8 10 18

2 C

Câu 5: (Sưu tầm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton

( ) 4

1

n

x

 +  >

, biết

2 1 44

n n

C − =C

A 165 B 238 C. 485 D 525

Câu 6: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:

3 17 4

3 2

1 ( ) ( = + ) ( > 0)

x

Câu 7: Tìm hệ số của số hạng chứa

26

x

trong khai triển nhị thức Newton của

7 4 1

 + 

n x x

, biết

2 +1 + 2 +1 + + 2n+1 = 2 − 1

.

Câu 8: Xác định hệ số của

8

x

trong các khai triển sau:

8 3 2 ( )= −5 

x

Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 1 3 2 ( 1) n 2621439

Số hạng không chứa x trong

khai triển của biểu thức

2 1 n

x x

 + 

bằng

A 43758 B 31824 C 18564 D 1

Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018)

Với n là số tự nhiên thỏa mãn

n

C − nA

− + =

, hệ số của số hạng chứa

4

x

trong khai triển nhị thức

Niu-tơn của

3

x x

 − 

( với x≠0

) bằng

0 2 1 2 2 2 2n n 14348907

C + C + C + + C =

Hệ số của

số hạng chứa

10

x

trong khai triển của biểu thức

2 3

1 n

x x

 − 

  (x≠ 0)

bằng

A. −1365

.

khai triển

( ) ( )

0

n k k

k n k

−

=

3

x

trong khai triển

đó là

A

3

60x

3

160x

−

2 Một số kỹ năng khác:

Trong phần trước chúng ta đã xét các toán liên quan đến tìm hệ số của x m trong khai triển nhị thức Niu tơn dạng (ax p +bx q)n p q, ∈¤

(*) Trong phần này ta xét thêm một số kỹ năng khác đưa về tích hay tổng của (*),

2.1 Ví dụ:



Ví dụ 11: Cho

C +C + +C = n∈¥

Tìm hệ số của

19

x

trong khai triển

( ) (9 )

2x−1 x+2 n

Hướng dẫn:

Nhập

0

2048

M

x

MCX

=

−

∑

dùng CALC với M = 11 , X = 0 kết quả bằng 0, ta có M = n = 11 Như vậy ta có khai triển ( ) (9 )11

2x−1 x+2

Lấy 19 – 11 = 8 do đó :

Nhập

9

8

x

=

∑

bấm = ta được 8960



Ví dụ 12: Cho biểu thức ( ) 1

x+ =a x +a x− − + +a x + +a x a n+ ∈¥

Biết a n−9 >a n−8

và a n−9 >a n−10

Giá trị của n bằng:

A 13 B 14 C 12 D. 15

Hướng dẫn:

k k

k n

a =C

do đó vào MODE 7 nhập vào hai hàm:

F X =XC × − XC × G X = XC × −XC ×

start 10, end 15, step 1

X = 13 ta được cả hai hàm đều dương



Ví dụ 13: Cho đa thức: P x( ) = +(x 1)8+ +(x 1)9 + +(x 1)10 + +(x 1)11+ +(x 1)12

Khai triển và rút gọn ta được P(x) =

a +a x a x+ + +a x

Tìm hệ số a8

A. 715 B 720 C 700 D 730

Hướng dẫn:

Nhập vào công thức:

4 0

(8 X)

x

CX

= +

∑

bấm = ta có kết quả 715.



Ví dụ 14: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018)

Với n là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt

n

n

S

Tính limS n

3 2

1 3

Hướng dẫn:

Theo quy tắc tìm giới hạn thông thường, nhập:

3

1 3

M

x= XC

∑

CALC nhập M = 400 ta có 1,49998 vậy chọn B



Ví dụ 15: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Với n∈¥,n≥2

và thỏa

mãn

5

n

C + C + C + + C =

2

4 !

n n

P

n

+ +

=

−

A

61 90

59 90

29 45

53 90

Hướng dẫn:

Ở đây ta có thể đồng thời tìm n và tính P, nhập:

2

M

x

=

−

∑

CALC nhập M = 4 bấm = liên tục khi A = 0 thì đọc kết quả ở B Đs M = 10



Ví dụ 16: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Tính tổng

( ) ( )0 2 1 2 ( )n 2

P= C + C + ×××+ C

theo n

A

n n

C

2

n

C

n n

C

2 2

n n

C

Hướng dẫn:

Cách 1:

Theo PP loại trừ: loại ngay A, D Khi n lớn thì trong P có ( )2 2

n

C

nên loại B

Cách 2:

Sử dụng Casio nhập

( )

( )

3

2 0

3

x

CX

=

∑

bấm = ta có kết quả 20 vậy tương ứng

3 6

C

Ví dụ 17: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tính tổng

( 1 )2 ( 2 )2 ( 2017)2 ( 2018)2

A

2018 4036

1

2018

B

2018 4036

1 2018

C

1009 2018

2018 2019

D

2018 4036

2018 2019

Hướng dẫn:

Nếu dùng tự luận và biến đổi thì gần một trang, nếu để nguyên và nhập máy thì máy báo lỗi vì tổ hợp quá lớn!

Công thức không phụ thuộc n thì ta cho n nhỏ, chẳng hạn n = 10 Nhập:

10

2 1

10 11

x

X

CX X

=

∑

bấm = ta có 167960 Bấm Ans/20C10 ta có

10 11 , chọn D



Ví dụ 18:( THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018 )

Hệ số của số hạng chứa

7

x

x − x+

bằng

Hướng dẫn:

Vì bài toán hỏi m = 7 > n = 6 nên ta phân tích nhân tử là

( 2 )6 ( ) (6 )6

x − x+ = −x x−

do đó ta nhập công thức:

5

5 1

x

=

∑

bấm = cho ta kết quả −5418

 Trong phần 3 ta sẽ áp dụng công thức tổng quát đối với tam thức bậc hai.



Ví dụ 19:(THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Với

*

n∈¥

1

3C n+ −3A n =52 n−1

Trong khai triển biểu thức ( x3+2y2)n

, gọi T k là

hệ số của số hạng mà tổng số mũ của x và y bằng 34 Tính T k là

Hướng dẫn:

+ Tìm n:

3!

Shift Solve 10 = ta có n = 13 + Tìm hệ số: Vì yêu cầu tổng số mũ bằng 34 nên cho y = x = 0.01 gán vào A

Vào Mode 7 ghi

( ) 68( ( ) ( )3 13 2 )

start 1, end 12, step 1

Với X = 5 ta có F(X) = 41184 Chọn D



Ví dụ 20: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho số nguyên dương n thỏa mãn

C +C + +L C − =

S = C − C + + −L n C

Hướng dẫn:

Ở đây ta vừa tìm n vừa tính S, ta nhập:

CALC nhập M = 1 bấm = liên tục khi A = 0 bấm = và đọc kết quả (M = 5, S = 5)

Dưới đây là các bài mời các bạn luyện tập.

2.2 Luyện tập:

Câu 1: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

n

− −

A n=101

Câu 2:Trong khai triển nhị thức

21 3

3

+

, tìm hệ số của số hạng có số mũ của a và

b bằng nhau?

1+ +x 2 1+x +3 1+x + + 20 1+x = +a a x a x+ + + a x

Tìm 15

a

?

A. 400995 B.15610 C. 5507725 D 1855

Câu 4: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa

9

x

trong khai triển nhị thức Newton ( ) ( )11

1 2+ x 3+x

Câu 5: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa

5

x

trong khai

1 x x+ + +x

Câu 6: Cho khai triển: ( 2 3)5 2 15

1 + + +x x x = +a a x a x+ + + a x

Tính a10?

CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG!

HẸN GẶP LẠI TRONG BÀI VIẾT SAU!