CASIO NHỊ THỨC NEWTON – PHẦN 3 Đặt vấn đề: Hai phần trước chúng ta đã sử dụng Casio hỗ trợ hiệu quả nhất để giải quyết các bài toán tìm hệ số x m của nhị thức và bài toán liên quan tổng
Trang 1CASIO NHỊ THỨC NEWTON – PHẦN 3
Đặt vấn đề:
Hai phần trước chúng ta đã sử dụng Casio hỗ trợ hiệu quả nhất để giải quyết các bài
toán tìm hệ số x m của nhị thức và bài toán liên quan tổng hay tích các nhị thức, sau đây
ta xem xét bài toán tìm hệ số x m của "tam thức bậc p - q ":
Bài toán 3 Tìm hệ số của
m
x
trong khai triển (c+b x p +a x q) (n, ,p q∈¥*,p q< )
Trong khuôn khổ thi THPTQG ta thường xét abc≠0, ,p q∈{1;2;3}
Trước hết ta nhắc lại ví dụ trong phần 2 và cách giải - sẽ vận dụng nhiều:
Ví dụ 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018)
Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 1 3 2 ( 1) n 2621439
C + C + + +n C =
Số hạng không chứa
x
trong khai triển của biểu thức
2 1 n
x x
+
bằng
A 43758 B 31824 C 18564 D 1
Lời giải
+ Tìm n:
1
M
x
=
∑
Calc với M = 18 kết quả 0 nên n = 18
+ Chỉ số tổ hợp:
18 0
6 3
l = + =
do đó bấm 18 6C ta được 18564
Ví dụ 2: ( THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018 )
Với n là số tự nhiên thỏa mãn
6 2
4 454
n
C − nA
− + =
, hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
3
x x
−
( với x≠0
) bằng
Lời giải
+ Tìm n: (M −4) (C M − +6) M MP× 2 454−
Calc với M = 8 kết quả 0 nên n = 8
+ Chỉ số tổ hợp:
8 4
3 4
l = + =
do đó bấm ( )3 5
8 3C × − ×1 2
ta được −1792
Trang 2
Trở về bài toán trên ta đưa ra định hướng giải và kỹ thuật bấm máy tính nhanh nhất đối với từng bài mà không đưa ra công thức tổng quát, mặc dù ta vẫn tìm được công thức đối với từng loại tùy thuộc cặp (p; q) Sau đây ta xét ví dụ rồi nêu tóm lược các bước làm
1 Các ví dụ:
Ví dụ 3: Hệ số của
7
x
trong khai triển (2− +x 3x2)n
là bao nhiêu, biết n là số tự nhiên thỏa mãn
0 1 2 29
C +C +C =
A. −53173
B.−38053
C −53172
Lời giải
Ta có:
0 1 2 29
2
n n
56 0
n n
8
7 7
n
n n
= −
Khi đó:
7 0
k
=
7
k
( )
7
7
0 0
k
i
k
k i
C C − − x+ −
= =
Hệ số của
7
x
có k thỏa mãn: i+ −14 2k =7⇔ 2k = +7 i
Vậy hệ số của
7
x
là:
4 1 3 3 5 3 2 2 6 5 7 7
7 42 3 7 52 3 7 62.3 7 7
Như thế: thi trắc nghiệm mà chúng ta giải tự luận là chưa đáp ứng nhu cầu và chưa tận dụng được máy tính Casio Bây giờ chúng ta cũng khai triển ví dụ 3 theo tự luận nhưng hình thức khác.
7 0
k
k
−
=
Trang 3Ta cần tìm hệ số
0
x
trong khai triển quen thuộc
2 3
k
x x
, gọi l là chỉ số tổ hợp thì 0
2 2
k
l= + = ⇒ =X k X
Ta có điều kiện: 0 2≤ X ≤ ⇒ ≤ ≤7 0 X 3
Lời giải của chúng ta như sau:
+ Nhập: 1+MC1+MC2 29−
dùng Calc ta tìm được M = n = 7
+ Làm nháp:
x
và cần tìm hệ số
0
x
trong ngoặc
l= +k = ⇒ =X k X
Ta có điều kiện: 0 2≤ X ≤ ⇒ ≤ ≤7 0 X 3
+ Nhập:
3
7 2 0
x
X
−
=
−
∑
bấm = ta được −38053
Ví dụ 4: ( THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018 )
Cho khai triển ( 2)9 18 17 16
3−2x x+ =a x +a x +a x + + a
Giá trị a15 bằng
A 218700 B 489888 C. −804816
D −174960
Lời giải
15
a
là hệ số của
3
x
, ta có
x
+ = − + + ÷
−
tìm hs
6
x−
trong ngoặc 6
2
k
l= − = ⇒ =X k X +
Ta có điều kiện: 0 2≤ X + ≤ ⇒ ≤ ≤6 9 0 X 1
+ Nhập
1
0
x
=
∑
bấm = được 804816
−
Ví dụ 5: ( Sưu tầm ) Hệ số của
8
x
trong khai triển ( 2)8
1 x x+ −
thành đa thức là
A.256 B −128
Lời giải
Trang 4+ Biến đổi
x
tìm hệ số
0
x
trong ngoặc
0
2 2
k
l= + = ⇒ =X k X
Ta có điều kiện: 0 2≤ X ≤ ⇒ ≤ ≤8 0 X 4
+ Nhập
( ) 4
0
1
x
C X XCX
=
∑
bấm = ta được −125
Ví dụ 6: ( THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 2017-2018 ) Cho khai triển
1−3x+2x = +a a x a x+ + + a x
Tìm a2.
A 18302258. B 16269122. C 8132544. D 8136578.
Lời giải
2
a
là hệ số của
2
x
:
x
−
tìm hệ số
2015
x−
trong ngoặc,
2015
2
k
l= − = ⇒ =X k X +
, 0≤ ≤X 1
1
2 2
0
x
−
=
∑
bấm = được 18302258
Ví dụ 7: ( Tạp chí THTT ) Hệ số của
4
x
trong khai triển ( 2)10
1+2x+3x
thành đa thức là
A.8088 B.8085 C.8076 D.8028
Lời giải
+ Biến đổi
x
tìm hệ số
6
x−
trong ngoặc
6
2
k
l= − = ⇒ =X k X +
Ta có điều kiện: 0 2≤ X + ≤ ⇒ ≤ ≤6 10 0 X 2
Trang 5
( ) ( )
2
10 2 6
0
x
− −
=
∑
bấm = ta được 8085
Ví dụ 8: ( THPT Triệu Sơn 1-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018 )
n
, với n≥2
và a0, a1, a2, , a 2n là
các hệ số Biết rằng
3 4
14 41
a = a
, khi đó tổng S a= + + + +0 a1 a2 K a 2n bằng
A
10
3
S =
11
3
S=
12
3
S =
13
3
S =
Lời giải
Nhận xét nếu cho x = 1 trong khai triển thì ta có S Các hệ số a = b = c = 1 nên không nhập vào công thức cho phức tạp Quan sát đáp án ta dùng CALC để thử:
1
0
2
0
14 41
x
x
=
=
−
∑
∑
CALC nhập M = 10, nên chọn A
Ví dụ 9: ( THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018 )
Hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển ( 2 )6
2 3
x − x+
bằng
A −6432
Hướng dẫn (Đã giải theo cách phân tích)
Ta có
2
x
tìm hs
1
x
trong ngoặc 1
2
k
l= + = ⇒ =X k X −
Ta có điều kiện: 0≤ ≤X 2X − ≤ ⇒ ≤ ≤1 6 1 X 3
3
1
x
=
∑
bấm = ta được −5418
Ví dụ 10: ( Sưu tầm ) Cho
1 2 n 255, *
C +C + +C = n∈¥
Tìm hệ số của
14
x
trong khai triển f x( ) = + +(1 x 3x2)n
Trang 6
A.20484 B 48184 C 37908 D.20218.
Lời giải
+ Tìm n: Ghi
1
255
M
x
MCX
=
−
∑
CALC nhập X = 1, M = 8 ta có kết quả 0 Vậy n = 8
+ Tìm hệ số:
1 x 3x x 1 3x
x
tìm hệ số
6
x
trong ngoặc
6
2
k
l= + = ⇒ =X k X −
Ta có điều kiện: 0≤ ≤X 2X − ≤ ⇒ ≤ ≤6 8 6 X 7
7
6
x
=
∑
bấm = ta có 37908.
2 Phương pháp: Tìm hệ số của
m
x
trong khai triển (c bx+ p +a x q)n,a c b ≠0
Bài toán "tam thức bậc p - q" như trên ta cũng gặp tương đối nhiều Chúng ta khai triển theo phương pháp tự luận, một bước:
+ Nháp:
p
c
c b x a x x b a x
x
−
hệ số cần tìm của
m pn
x −
trong ngoặc + Chỉ số
pk m pn
l pk ql pn m q
, đến đây ta chọn l theo biến X thích hợp sao cho vế phải chia hết cho p.
Giới hạn biến X theo bất đẳng thức: 0 l k n≤ ≤ ≤
.
+ Nhập công thức tính vào máy tính Casio
Ví dụ 11: ( Sưu tầm ) Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển: ( 3)10
1 3 + x+ 2x
A 21130 B 6160 C 16758 D 17550
Hướng dẫn:
+ Biến đổi
1 3x 2x x 3 2x
x
, hệ số cần tìm của
6
x− trong ngoặc + Chỉ số
6
3
k
− = ⇒ = +
, với 0 3≤ X + ≤ ⇒ ≤ ≤6 10 0 X 1
+ Bấm
1
10 3 6
0
x
− +
=
∑
bấm = ta có 17550
Trang 7Ví dụ 12: Hệ số của
5
x
trong khai triển ( ) ( 3)10
f x = + +x x
thành đa thức là
Hướng dẫn:
+ Biến đổi
x
, hệ số cần tìm của
5
x−
trong ngoặc + Chỉ số
5
3
k
− = ⇒ = +
, với 0 3≤ X + ≤ ⇒ ≤ ≤5 10 0 X 1
+ Bấm
1
0
x
=
∑
bấm = ta có 1332
Ví dụ 13: ( THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018 )
Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển ( ) ( 3)10
1 3 2
f x = − +x x
thành đa thức
A 204120 B −262440
C −4320
Lời giải
+ Biến đổi
x
, hệ số cần tìm của
3
x− trong ngoặc + Chỉ số
3
3
k
− = ⇒ = +
, với 0 3≤ X + ≤ ⇒ ≤ ≤3 10 0 X 2
+ Nhập
2
7 3 0
x
−
=
∑
bấm = ta có −62640
Ví dụ 1 4: ( Sưu tầm ) Tìm hệ số của
3
x
sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức
đồng dạng của
9 2 1
2
x x x
, x≠0
A −2940
Lời giải
+ Biến đổi
2
, hệ số cần tìm của
6
x−
trong ngoặc
Trang 8+ Chỉ số
3
k
− = ⇒ = +
, với 0 2≤ X ≤3X + ≤ ⇒ ≤ ≤3 9 0 X 2
2
0
x
−
=
∑
bấm = ta có −2940
3 Luyện tập:
Câu 1: (Sưu tầm) Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển ( 2 )10
3x −2x−2
Đs : 768000
Câu 2: Hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển ( 2 )10
là:
Câu 3: Hệ số của
7
x
trong khai triển (2 − +x 3x2)n
là bao nhiêu, biết n là
số tự nhiên thỏa mãn
0 1 2 29
A. −53173
B −38053
C −53172
. D.−38052
.
Câu 4: Xác định hệ số của
8
x
trong các khai triển sau:
2 10 ( ) (1 = + + 2 )
Tìm a15
Đs : 3549312
Câu 6: Tìm số hạng chứa
13
x
trong khai triển thành các đa thức của ( 2 3)10
x x+ +x
là:
A
13
135x
13
210x
13
45x
Câu 7: Xác định hệ số của x4 trong khai triển sau: f x( ) (3= x2+2x+1)10
Câu 8: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức
( 2) 1
− +
n
x x x
với n là số nguyên dương thoả mãn
1
+ =
C n A
A. −98
D 96
Câu 9: Số hạng chứa
8
x
trong khai triển ( 3 2 )8
1
là
Trang 9A
8
168x
8
238x
Câu 10:Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
1 1
n
x x
+ +
biết n≥2 là số nguyên dương thỏa mãn
2 2
1 14 14
n
n n
A 73789 B 73788 C 72864 D 56232
ĐỂ KẾT THÚC MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO THÊM 3 BÀI SAU
Bài 1: Tìm hệ số
6
x
sau khai triển ( 2 )10
3x −2x−2
HƯỚNG DẪN
Viết lại:
10 0
k
k k k
−
=
Ta tìm hệ số
4
x−
trong ngoặc Chi số
4
2
k
l = − = ⇒ =X k X +
Bấm
3
0
x
=
∑
= Đáp số 768000
Bài 2: Tìm hệ số
10
x
sau khai triển ( 5 3 )20
HƯỚNG DẪN
Viết lại:
3
2
x
Ta tìm hệ số
50
x−
trong ngoặc
Chi số
5
k
l = − = X − ⇒ =k X
Điều kiện 0 3≤ X − ≤10 5X ≤20⇒ =X 4
Nên có một cặp (k; l) = (20; 2).
4 ×20 20 20 2C × C × −1 ×2
Bấm = ta có đáp số: 49807360
Trang 10Bài 3: Tìm hệ số
193
x
sau khai triển
100 2
2
x
− −
HƯỚNG DẪN
Viết lại
1
− − = − + −
Ta tìm hệ số
293
x
trong ngoặc
Chi số
293
4
k
l = + = ⇒ =X k X −
Điều kiện
Bấm = ta có 19800
CHÚC CÁC BẠN VUI VẺ!
THÀNH CÔNG TRONG CUỘC SỐNG!