Sáng kiến kinh nghiệm 2019

TRƯỜNG THPT TÔ HIỆU – THƯỜNG TÍNSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI BỒI DƯỠNG KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TÁC GIẢ: NGUYỄN TRÊN KHÁNH

Trang 1

TRƯỜNG THPT TÔ HIỆU – THƯỜNG TÍN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI BỒI DƯỠNG KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM TRONG

GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TÁC GIẢ: NGUYỄN TRÊN KHÁNH

LĨNH VỰC: MÔN TOÁN CẤP HỌC: THPT

NĂM HỌC 2018 – 2019

Trang 2

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU

B THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

C NỘI DUNG

PHẦN HAI: SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH KHI GIẢI

TOÁN

10

C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Trang 3

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Môn Toán là môn học quan trọng trong trường phổ thông, có tiềm năng to lớn trong việc phát triển năng lực cho học sinh là rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và phẩm chất tư duy của học sinh Đồng thời nó cũng rèn luyện tín thông minh, sự sáng tạo, đức tính cần cù, kiên nhẫn, cẩn thận của người lao động

Trong chương trình Đại số và giải tích 11 phần giới hạn chỉ gồm một chương nhưng để hiểu đúng bản chất và làm được những bài toán về giới hạn không phải là điều đơn giản Hơn nữa, phần giới hạn lại là một trong những phần trừu tượng và tương đối khó đối với học sinh Để giúp học sinh học tốt môn Toán nói chung và học tốt phần giới hạn nói riêng thì việc hiểu đúng bản chất của bài toán và làm thành thạo các bài tập là điều rất cần thiết và bổ ích

Vì vậy, để giúp học sinh bồi dưỡng năng lực giải toán giới hạn mà tôi đã chọn viết đề tài: “Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh qua việc phân tích những sai lầm trong giải toán giới hạn” Với mong muốn học sinh sẽ tránh được những sai lầm phổ biến trong giải toán giới hạn và từ đó sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo giải các bài tập giới hạn để các em có thể học tập tốt và đạt kết quả cao

II Mục đích của đề tài:

- Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh tránh được những sai lầm đáng tiếc khi giải toán giới hạn, từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán giới hạn cho học sinh

- Mục tiêu của tôi đó là đem đề tài trao đổi với các đồng nghiệp nhằm mục đích nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân góp phần vào việc nâng cao năng lực giải toán của học sinh, giúp học sinh đạt kết quả cao trong học tập và thi cử

III Đối tượng nghiên cứu.

- Tìm hiểu, nghiên cứu phân phối chương trình, sách giáo khoa và thực tiễn dạy học

- Tính giới hạn, chứng minh giới hạn và các ứng dụng của giới hạn trong Đại số và giải tích 11

- Các bài tập trắc nghiệm khách quan trong sách giáo khoa, sách bài tập, các dạng bài tập trắc nghiệm khách quan trong đề thi THPT quốc gia 2017, đề thi THPT quốc gia 2018, đề minh họa 2018 và một số đề thi thử 2018

IV Giới hạn của đề tài.

- Đề tài chỉ tập trung vào vấn đề “giúp học sinh nhận biết các sai lầm thường gặp trong giải Toán giới hạn Từ đó giúp học sinh hạn chế tối đa các sai lầm này trong việc giải Toán giới hạn”

Trang 4

V Nhiệm vụ của đề tài.

- Kế hoạch giúp đỡ học sinh giải tập trắc nghiệm Toán được tốt hơn, hạn chế các sai lầm cơ bản không đáng có trong quá trình giải Toán giới hạn

- Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối

tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT

VI Phương pháp nghiên cứu.

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (việc dạy - học của giáo viên và học sinh)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

- Phương pháp thực nghiệm

VII Thời gian nghiên cứu.

- Thời gian: Năm học 2018 – 2019

Trang 5

B THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

I Khảo sát chất lượng trước khi thực hiện đề tài.

Thông qua bài khảo sát chất lượng bài kiểm tra 15 phút ở lớp 11A4, tôi thu được kết quả như sau:

II Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên.

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Nhiều học sinh lặp lại các lỗi sai cơ bản

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức tới các em Hơn nữa vì điều kiện cơ sở vật chất, môi trường giáo dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn Toán học trong đời sống

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp, rút kinh nghiệm những sai lầm cho học sinh ngay sau khi phát hiện

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán

Trang 6

C NỘI DUNG PHẦN MỘT: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Giới hạn của dãy số.

1 Các định nghĩa.

Định nghĩa 1:

Ta nói dãy số  u có giới hạn là số 0 khi n n dần tới dương vô cực, nếu

n

u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn u n 0

   hay u  khi n 0 n  .

Ta nói dãy số  u có giới hạn là là số n a (hay u n dần tới a) khi n  

Kí hiệu: limn u n a

   hay u n  a khi n  .

+ Ta nói dãy số  u có giới hạn n  khi n   nếu u có thể lớn hơn n

một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: limu  hay n u   khi n n  

+ Ta nói dãy số  u có giới hạn n   khi n   nếu limu n 

Kí hiệu: limu   hay n u    khi n n  .

2 Một vài giới hạn đặc biệt.

1

n n  ; lim 1k 0

n n  với k là số nguyên dương;

n q

   nếu q  ;1

Nếu u n c (c là hằng số) thì limn u n c

limn  k với k là số nguyên dương;

lim n

q  nếu q 1.

3 Các định lí.

Định lí 1:

a) Nếu limu n a và limv n b thì:

lim u n v n  a b;

lim u v n n a b ;

lim n

n

v b nếu b 0.

Trang 7

b) Nếu u  với mọi n 0 n và limu n a thì a 0 và lim u n  a.

Định lí 2:

a) Nếu limu n a và limv  thì lim n n 0

n

u

v  .

b) Nếu limu n  a 0,limv n 0 và v  với mọi n 0 n thì lim n

n

u

v .

c) Nếu limu  và lim n v n  a 0 thì limu v  n n

II Giới hạn của hàm số.

Định nghĩa 1: (Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm)

Cho khoảng  chứa điểm x và hàm số 0 yf x  xác định trên  hoặc trên \ x 0 Ta nói hàm số yf x  có giới hạn là số L khi x dần tới x0

nếu với dãy số  x bất kì, n x n \ x0 và x n  x0, ta có f x n  L

0

lim

x x f x L

  hay f x   L khi x x0

Định nghĩa 2: (Giới hạn của hàm số tại vô cực)

Cho khoảng hàm số y f x  xác định trên khoảng a  Ta nói hàm; 

số yf x  có giới hạn là số L khi x   nếu với dãy số  x bất kì, n n

x a và x   , ta có n f x n  L

Kí hiệu: lim  

x f x L

   hay f x   L khi x   Các giới hạn lim  

x f x L

x f x

 

lim

x f x

Định nghĩa 3: (Giới hạn một bên)

+ Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng x b Số 0;  L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số yf x  khi x x0 nếu với dãy số  x bất n

kì, x0 x n b và x n  x0, ta có f x n  L

0

lim

x x f x L



+ Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a x Số ; 0 L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số yf x  khi x n  x0 nếu với dãy số  x bất n

kì, a x n x0 và x n  x0, ta có f x n  L

0

lim

x x f x L



Trang 8

2 Một vài giới hạn đặc biệt.

lim k

x x

   với k nguyên dương;

lim k

x x

lim k

x x

Định lí 1:

0

lim

x x f x L

  và x xlim 0g x  M Khi đó:

   

0

lim

x x f x g x L M

   

0

x x f x g x L M

 

0

lim

x x

b) Nếu f x  và   0  

0

lim

x x f x L

0

lim

x x f x L

Định lí 2:

 

0

lim

x x f x L

x x f x x x f x L

Định lí 3:

0

lim

x x f x

 

0

1

x x f x 

III Hàm số liên tục.

Định nghĩa 1: (Hàm số liên tục tại một điểm)

Cho khoảng hàm số y f x  xác định trên khoảng  và x  Hàm0

số y f x  được gọi là liên tục tại x nếu 0    

lim

x x f x f x

Hàm số y f x  không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại điểm đó.0

Định nghĩa 2: (Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn)

Hàm số yf x  được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

Hàm số y f x  được gọi là liên tục trên đoạn a b nếu nó liên tục trên; 

khoảng a b và ;  lim    , lim    

x a f x f a x b f x f b

Định lí 1:

Trang 9

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Đinh lí 2:

Giả sử yf x  và y g x   là hai hàm số liên tục tại điểm x Khi đó:0

a) Các hàm số yf x  g x y ; f x  g x y ; f x g x    liên tục tại x 0

 

f x y

g x

 liên tục tại x nếu 0 g x   0 0

Đinh lí 3:

Giả sử hàm số y f x  liên tục trên đoạna b;  và f a f b  , thì tồn    0 tại ít nhất một điểm ca b;  sao cho f c    0

Khi tiếp xúc với các bài toán tính giới hạn với những đại lượng vô cùng

bé, vô cùng lớn thì học sinh thường hay mắc phải những sai lầm Các sai lầm này xuất phát từ việc không nắm vững các quy tắc, vận dụng các định lí về giới hạn chưa hợp lí, đặc biệt là thường vi phạm điều kiện của định lí Các bài tập sau sẽ chứng minh điều đó

Trang 10

PHẦN HAI: SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH

KHI GIẢI TOÁN GIỚI HẠN

Ví dụ 1: Tính giới hạn: lim 12 21 21

L

+ Lời giải sai lầm:

0 0 0 0

L

+ Phân tích sai lầm:

Định lí về các phép toán của giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng Lời giải trên của học sinh đã áp dụng cho giới hạn của một tổng vô hạn các

số hạng nên dẫn tới sai lầm

+ Lời giải đúng:

1

n   n k  n với k 1,2, ,n

n   n   n    n n  n 

1

1 1

n

Ví dụ 2: Tính giới hạn: L lim1 2 3 2 n

n

2

1 2 3

lim

0 0 0 0 0

n L

n



Trang 11

Học sinh đã sử dụng định lí giới hạn của một tổng hữu hạn bằng tổng các giới hạn vô hạn Định lí chỉ đúng với hữu hạn số hạng

2

1 2 3

2 1

1 1

n





Nhận xét: Giới hạn của tổng vô hạn các số hạng có giới hạn bằng 0 thì chưa

chắc bằng 0

Định lí về các phép toán của giới hạn chỉ đúng với hữu hạn số hạng

Ví dụ 3: Tính giới hạn: lim 2 1

1

x

x x

  



Ta có:

1 1 1

1

x



Lời giải tren đã chia cả tử và mẫu số của phân thức cho 2 1

1

x x



 cho x để

khử dạng 

 nhưng sai lầm xuất hiện khi viết 2

2

1

x

chỉ viết được khi x 0

2

2 2

2

1 1 1

1 1

x

x x

  







Trang 12

Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim 2 3 

2

3 3

3

1

x

x x x



 + Phân tích sai lầm:

Học sinh đã sai lầm khi viết: x2 x 3 x2 x2 3

được khi x 0

Vì x 0 nên:

2

3

1

2

x

x x x



Ví dụ 5: Cho hàm số  

1

1 1

x

khi x











Tính lim1  

x f x

1

x

x x







Lời giải trên chỉ xét với x 1, tức là chỉ xét giới hạn phải khi x 1

 , chưa đủ điều kiện để kết luận tồn tại lim1  

x f x

Trang 13

 

1

x

f x



x f x x f x

x f x

Ví dụ 6: Tìm hệ số a để hàm số  

ax khi x

f x

khi x







liên tục trên  + Lời giải sai lầm:

 

2

f x

x f x x f x

x f x

Vậy hàm số f x không liên tục trên   

Học sinh đã không hiểu yêu cầu cầu của đề bài là xác định a để hàm số

 

f x liên tục trên , chỉ xét hai giới hạn trái và giới hạn phải rồi kết luận ngay bất chấp a là tham số

Hàm số f x liên tục trên khoảng    ;2 và 2; 

Xét tính liên tục tại x 2

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình 4sin2x2sinx 1 m0  1 có nghiệm + Lời giải sai lầm:

Đặt: sinx t t,   1;1

Khi đó, phương trình  1 trở thành: f t  4t22t 1 m0  * Phương trình  * có nghiệm  f 1 1  f 0

5   1  0

m

Vậy với 1m5 thì phương trình  1 có nghiệm

Học sinh đã sai khi sử dụng định lí sau:

Định lí: Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b và ;  f a f b     0 thì phương trình f x  có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng   0 a b ; 

Trang 14

Học sinh đã nhầm tưởng đây là điều kiện cần và đủ, thực chất đây chỉ là điều kiện đủ để phương trình f x  có nghiệm.  0

Phương trình  1 có nghiệm  phương trình  * có nghiệm thuộc 1;1

 *  4t22t 1m t,   1;1

Đặt g t  4t2 2t 1

  ,  1;1

   

t g t m t g t

Ta có:  

2

g t  t  t  t  

Mà   1 t 1 suy ra 5   5

   thì phương trình  1 có nghiệm

Ví dụ 8: Tìm giới hạn: lim 11 1

Học sinh đã mắc sai lầm do chưa hiểu rõ định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm

Hàm số f x   1 x  x 1 có tập xác định là D  1 nên suy ra không có dãy số  x với n x nD\ 1  Vậy giới hạn không tồn tại

Ví dụ 9: Tìm giới hạn:

1

lim

1

x

x x





Ta có:

1

lim

x

x x





Học sinh đã nhầm lần giữa 1 và 1

1





 

1

lim 1 0

x x



   và x  1 0 với mọi x 1

Trang 15

lim

1

x

x x





Ví dụ 10: (sai lầm về hình thức)

Xét tính liên tục của hàm số  

2

0

x

khi x







trên  + Lời giải sai lầm:

0

x  suy ra  

2

x

f x x

x

  là hàm số liên tục

0

x  suy ra f x  là hàm hằng nên liên tục.  1

 

f x

 liên tục trên 

Học sinh sai lầm vì lầm tưởng là hàm phân thức, hàm đa thức,… xác định tại đâu thì liên tục tại đó

2

x

2

x

x f x x f x

   nên f x không liên tục tại   x 0

Do đó hàm số không liên tục trên 

Ví dụ 11: (sai lầm về hình thức)

Tính giới hạn:

2 1

lim

1

x



x

Học sinh sai lầm ở chỗ khi thay x 1 vào biểu thức rồi mà vẫn viết giới hạn của biểu thức đó khi x dần tới 1

1

x



Trang 16

PHẦN BA: MỘT SỐ BÀI TẬP Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:

1

 



2 lim1 2 3 2

2

n n



3

lim

n

x

  



5

0

lim

x



0

lim

x



Bài tập 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của hàm số.

   

2 2

f x







Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

sin x m sinx m  1 0

Trang 17

C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

I Kết quả.

Áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 11A4 tôi đã thu được kết quả như sau:

Xếp loại Số học sinhTrước khi thực hiện đề tàiTỉ lệ % Số học sinhSau khi thực hiện đề tàiTỉ lệ %

Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú và chăm học hơn với môn Toán học, không bị áp lực phải ngồi học trong các giờ Toán học, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong học tập của các em, các em đã tránh lặp lại các sai lầm cơ bản trong quá trình giải toán giới hạn

II Kết luận.

Qua thời gian nghiên cứu đề tài và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra được một số ý kiến sau:

 Giáo viên:

Cần phải tạo cho học sinh tâm lý hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của các em, khắc phục tâm lý ngại,

sợ khi tiếp cận nội dung môn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học

Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri thức của học sinh, giúp cá em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình huống đa dạng

Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng giải Toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách của các em

Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp

Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các

em không cảm thấy áp lực trong học tập Khi phát hiện các lỗi sai trong

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	769,5 KB