DE THI HSG TOAN 9 HA NOI

Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô... vuông chung cạnh hoạc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

HÀ NỘI NĂM HỌC 2015 – 2016

––––––––– Môn thi: Toán – Lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 14/04/2016

Bài 1 (5 điểm)

1 Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn : a3b3 2c3 8d3

Chứng minh a b c d   3

2 Tìm các số nguyên tố x sao cho 2xx2 là số nguyên tố

Bài 2 (5 điểm)

1 Giải phương trình : 2x211x19 2x25x7 3 x2

2 Tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z) thỏa mãn : 2 2 2

3

1 1 1 1

3 17

x y z

   





  





   



Bài 3 (3 điểm)

1 Cho ba số x, y, z thỏa mãn:

3 0

2

x

 

;

3 0

2

y

 

;

3 0

2

z

 

và

3 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2

3 4 3 4 3 4

P

2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh :

2016 2016 2016

2015 2015 2015

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác đều ABC cạnh a Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (QB C, ) Trên tia đối của tia BA lấy điểm P sao cho CQ AP a.  2 Gọi M là giao điểm của AQ và CP

1 Chứng minh bốn điểm A, B, M, C cùng thuộc một đường tròn

2 Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của của M trên AB, BC, CA

a Xác định vị trí của Q để độ dài IK lớn nhất

b Chứng minh : MI2MJ2MK2 không đổi khi Q thay đổi trên cạnh BC

Bài 5 (1 điểm)

Cho bảng ô vuông kích thước 10 x 10 gồm 100 ô vuông kích thước 1 x 1 Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô

vuông chung cạnh hoạc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau Chứng minh trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần