Bat dang thuc tap 1 tranphuong

Đây là tập tài liệu rất quý của tác giả Trần Phương viết từ năm 1995 khi anh ấy mới bắt đầu "khởi nghiệp" viết sách về bất đẳng thức. Trong số rất nhiều sách bất đẳng thức, anh Trần Phương luôn có cách viết rất khoa học và súc tích cũng như lời giải rất hay!kynanglamtoan xin phép anh Phương gửi đến các bạn quyển sách quý này! Các bạn hãy cố gắng đọc và học để áp dụng các chiêu thức trong sách trình bày nhé!

Các Phương pháp

#

TRẦN PHƯƠNG

Sé tay Dai sé cde WM

CAC PHUGNG PHAP

VA KY THUAT CHUNG MINH

BAT DANG THUC

[ Vaso BAL DANG THỨC CHON LOC

[1130 BAT DANG THUG TRONG BO

ĐỂ, THỊ HƯYỂN SINH L.Ì15 KỸ THUẦT SỨ DUNG BẤT ĐẲNG

EHÚK`' COS |

NHÀ -XUẤT BẢN THÀNH PHỐ HỖ CHÍ MINH

CHU DAN MOT SO KY HIEU VA CHU VIET TAT

“ A+B A+B BC C+A

3 (8HHI2] : — Để số 8 câu WI phan 2

LOI NHA XUAT BAN

Trong chương trình toán học phố thông, bất đẳng thức

là phần gáy cho học sinh, ngay cả học sữnh khá à giỏi, nhiều

bói mi nhất Tuy nhiên, dây cũng là phán quyến rũ những

học xinh say mê uci toan học va mong gidi todn vi né doi hoi

phat dựng não, tim toi va sang tao

Đế tiúp cúc em học sinh làm quen rồi di đến thịch thú

các bái toán bắt đáng thức, tác giả Trần Phương viết cuốn

sách nhỏ này với mục đích cung cấp cho cúc em học sinh một

cai phương pháp ta kỳ thuật chứng mình bất đẳng thức

oO tập 1, cách phản loại phương pháp và kỹ thuật chủ”

yếu dựu trên 130 bài của Bộ đệ tuyển sinh(rới kiên một nửa

là cach giat hay khac voi cách giái của Bộ đề), sau đó bổ sung

1ã0 bài để kiúp cúc cm nắm sâu hơn vê kỹ năng vad phương?

pháp Với mục tiêu học sinh nấm chốc cách giải bài toán bất

dứng thức trong Bộ đề nên có một vài kỹ thuật đưa ra chỉ là

sự phán loại theo Bộ đề |

Trong tap I này, bất đẳng thức Côsi được viết khá kỹ

uới 1ỗ hỳ thuất Đặt biệt các học sinh giỏi cấp toàn quốc không

thé bó qua h$ thuật 15, mà nhờ đó có thé dé dang ching minh

O phan cuối cúa sách có giới thiệu 17 bất đắng thức -

của các nhà toán học trên thể giới, trong đó có bất đẳng thứu

Niuton-Mav Loranh Bat dang thie Niutun-Mac Loranh, trong

các tài liệu xuất bán hiện nay thường dựa vao dinh ly Lagrange

dé chung mừnh, tuy nhiên các bạn có thể chứng minh bat dang

thứu này bằng phương pháp bát dẳng thức Côsi (Trong tập 2

sè trình bay) |

Để sự: dụng tot cuon sach nay, cav em hoe sinh nên đục

ca phan bình luận mình hoa cho các kỳ thuật Con một số kà

thuật khác tác ta muốn danh cho các em học sinh tự rút rd

nhận xét vú hết luận Cùng cán nói thêm dễ các em học sinh

lưu š, sách còn cung‡ cđp lời ái đúng cho dé thi tuyén sinh

sO 33TIT 2

Vì sách được viết nhằm xoay quanh 130 dé bdt dang

thu trong Bộ dệ thị tuyến sinh nên chưa thế tung cấp ddy du

các phưưưy: pháp chứng: mình bát đẳng thức —

Nhà ®uốt bán TP Hồ Chí Minh trần trọng đới thiệu

cuon sách này và hy vong nó sẽ "úp ích cho các em học sinh

cuoi cấp 3 dang chudn bị thị áo đạt học Mongr nhận được ý

kien dong gop của các bạn dục,

| oe NHA XUAT BAN TP HO CHi MINH

§? ts KE THUAT SU DUNG BAT PASG THYC COS!

{ - BAT DANG THUC COSI

Max(xix; ¬ Xx, ) =(~) xay ra? x, = X, =.= x, = h

1.6 Hé quad 2: Néu xx, x, = P const thi

Dạng 2 và dạng 3 khi đạt cạnh đạng 1 có vẻ tấm thường nhưng lại giúp nhận dạng khi sử dụng BĐT Casi Dac biét

có thể sử dụng BDT Côsi từ TB nhân sang TH cộng ngay |

cả khí không cơ cân thức —~ | |

Vi du CMR lGabta - bo < (a + br Va b 2 0

(CỒN) „ 4ah + (A ~ by †

- Giải - !Gabla-by- Aidaby.ta - bì &4 [— —

IJ - CÁC Ki THUAT SỬ DUNG

1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

1 CMR : ({a" + b2) (b* +07) tc? + a*) > 8a b°c? Wa, b, c

Gidi :—

Sai lam thường gặp

Sử- dụng ; Vx, y thi x° - Qxy + y? = (x - y)* 2 0

'@Chỉ nhân các vế của các 'BDT cùng chiều (kết quả được

BDT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm

e Nơi chung ta it gặp các bài toán sử dụng ngay BDT

_| Côsi như bài toán trên mà thường phải biến đổi bài toán đến

tỉnh huống thích hợp rồi mới sử dụng BDT Cési | |

1.2 CMR (va + Vby 2 6tab ta + bì” Va b > 9

=(ly,| + Iy;|?” = ly, + y,)”

1.4 CMR.: (1 + a+ ba +b + ab) > 9ab Va, b > 0

1.8 CMR : 1975'"’Ya + 1995'°Vb > 3970°”’Vab va, b > 0

Ap dung BDT Casi cho 3970 sé trong dé gém :

a+tb+te,3

1.12 CMR - (1 + ga | 2 tl tani + bul tec

> (1 + Vabe)* 2 dVabre Va b c vO

1.13 Cho a,, a a, 2 0 CMR :

A, + ta

J 7 n

n5

> (1+ Wa, a„) "= 2) Ya, a,

Trong đánh giá từ TB cộng sang TB nhân cơ một kĩ thuật

nhỏ hay được sử dụng Do là kí thuật tách nghịch đảo,

2.4 ad OMR - log, in + l) > lov Ane | jin + 2) V2 < ñn iT) Zz

by CMR: log a >logta + x) Va x € R thaa l © a-~x <a xiải

b› low a + log ta ~ x) 2 »ilog _ a loga - x =9 (Ì!

log ta + xì + log ta - x) = log ta” — x) < log ae = 32 t9)

“+b~ a=b)r +2ab 1= l) 2 (Cosi) — : 2

bo amb a~b

bia — bj) Giai

— + — +- > 3 £ fe —

b(a—b) (Nab bab) anh, TỦ

4 2.9 CMR : a+ —————~ —— > 3VWVa >b>z 0(VĐÐ Nam Tư 79!

| a-b a~b py (Cosy TÍ 2 hạn

VT =b == + + ——y > 4 i 2h 1 2 2 b(a—b)* 3-23 b(a-hị = 32

3 > : _ 2a” + 1 {8 7 5

VT = a, + la, - a) + la, ~ ay) + + lạ ¡ — an) †

+ " eee ce ame eee fo ae -.—_—

a (a, a (a, - a,)" (An a)

Binh luận : Kĩ thuật tách nghịch đảo là kì thuật tách

phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TB nhân thì

các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hàng số

ot {a + Ly + (ib "1, |

30 Via Dib — tH < 30 to a an = 15 la + bi

16

30V(a +1)(b—-1) + 4V(b + 1y(e - 1) + 1994NV(¢+1)(a-1) <

< 1012a + 17b + 999c - 3.2 CMR : Yab + Ýcd < V(a + c)\(b + đ) v a, ` c d> 0

3ã[mu]CMR Vaja,a + Vo,b, b, < Va, tb (ath) (a,+b,)

+ byl — ab 1

(a + by — ab) - a)

1 3.8.[ 1461]: CMR: -3 < ; ~ <

2 (1 + a*y(1 + b*) Giai

(a )( ) | <- «>| (a +b) (1 - ab)| < caer) (2) (1 +a°*)(1 +b’) 2

b(1 — Cc) > 4

1 c(l — a) > a

Cách 1 : Không mất tính tổng quát giả sử a = maxí(a, b, c)

—c(l-a) < cl~c) < | ——3— | = 4" BĐT cll ~a) >1 sai

Cách 2 : Giả sử cả 3 BĐT đều đúng Khi đó

= Alog,Vab < Alog, * So “ | 2 2 — - (đpem)

8 bạc» 0- 7

3.14 Cho athte = 1 CMR O < sb + be + ca - abe <3

(VD Toán Quốc tế 84 - Bài ! : CHLB Đức) Giải

Theo (gt) > a, b, c € [0, 1] do dd

ab + be + ca - 2abc > 3 Ÿ(ab)(be)(a) — 2abe

= B(abe)*? - 2abe > (abe)! - 2abc = abe > 0

Ta sé ching minh :

(a+b-e)(b+c-a)(eđầ+a-b) « abc V a, b, e € [0, 1]

Nếu có 2 thừa số ở VT « 0 ví dụ |

a+b~=ec = 0 b+c—a « 0

Nếu có đúng 1 thừa số ở VT «< 0 — (đpcm)

Giả sử cả 3 thừa số ở VT đều > 0 Khi đó

— 2b <0 Vô lý

VT = V¥(a+b-c)(b+e-a) Ý(b+c~a)(c+a~h) V¥(c+a—b)(at+b-e) <

< (at+b-c) + (b+e-a) (b+c-a) +(c+a-b) (c+a~—b) + (a+b—c)

4 Ký thuật nhân thêm hằng số

Ti Maxf =

22

abVe—Z = (e-2)2 < eo 2 2) +2 _ abe 2 _92

bcÝa — = vã (a—3)3 < 1 “ 25

+

caVồ~4 = JEVồ-®4 “Sử OOO Loe

Su ra :f= abÝc-2 + beVa-3 + caVb—4 < 1 + 1 1

e~2=2 e=4 Dấu bang ++ja~3=3e/a=6 ,

< 1 (4 ty - sal se + y|? - sa +y)”

Bình luậu: : Dé sk dung BDT Cé Si tx TB nhân sang

TB cộng ta cần chú ý : Chỉ số căn là bao nhiêu thi số các

số hạng ở trong căn là bấy nhiêu Nếu số các số hạng nhỏ

hơn chỉ số 2šn thì phải nhân thêm (hằng số) đế số các số

a? +b? = (a +b)(a’ + b* ~ ab) # (a +b)(2ab — ab) = (a + b)ab

+ jb? +c? = (b +c)(b* +7 — be) » (b +c)(2be — be) = (b + c)be

cẰ+a”=(e +a)(c* + a* — ca) > (c +a)(2ca — ca) = (c + a)jca

9(a2 + b + cỔ) œ> (na - bình + (b + e)be + (e + a)ca

«+ 2(a +b + e3) 2 at (b+ c) + b*(c + a) + c?(a + b)

> a?.2Vbc +bỶ 2jca +c?.2Vab = 2(a?Vbe + b2Vca +c2Vab)

Suy ra a2 + b + cj » abe + b*V¥ca + c*Vab

A B ` Cc A

*®tg,2 tgz †tg2 tg2 †+tg„y tự? = 1 Mạt khác

3( 3 v5) > Ye peg wees

Hoe §sed ee Sed Suh

B B C A

ws + trổ > teat ga ttes tes ttes tes = 1

‘5.6 (108.11) Cho AABC CMR a) (p - a)(p - b)(p - e) < gabe

pr

¥p(p—a)(p—b)(p—c) 6) § = (p-a)r, = (p-b)rp = (p-V)r,

Theo 94III.1 thì BĐT cuối đúng —> (1) ding (dpem)

6.2 115V.a Cho AABC CMR : 4rr, < cŸ

Ta sé ching minh : dtABC

Thật vậy ta co

MN MQ _ AM BM_ 1 /AM+BM)2_ 1 (AB

BC ` AH AB’ AB < Ap ( 2 ) “am (5

6.4: 101V.B6 dé ca Cho AABC có diện tích bằng 1 Lấy các

điểm K, L M € BC, CA, AB CMR : trong các AALM, BMK,

1 CKL luôn có Ít nhất 1 A có diện tích < 4

Giải -

Gọi diện tích các AABC,

ALM, BMK, CKL lần lượt là

S, S,, 5„, 8,

Gia ai trong các AALM,

BMK, CKU không cớ A nào có

‘Th thay (1) va (2) mau thuẫn nhau Vậy điều giả sử là sai Vậy

J trong các AAML, BMK, CKL luôn có it adit IA co diện tích < 1

- Cho AABC- có điện tích S cố : |

1 CMR : < sứ, +, + Tg + tẩy + Bi +r)

II

35

«>8 =< g trữ, try tr) + tty + tele + rr]

66 tho ABC 6 Đo 4 | CMR t, ‘ez A +t B + ty CS SR" go eR 48

¬ ae r r (ona tp b pc

sẽ + [BRGinA + sinB + ‘sinQ)?? < am ~ sin + sinB + sinŒ'< cm : |

ee Bất ‹ đẳng thức cuối luôn đúng (xem them ` Phương pháp 6:

Ấp dụng BDT Jensen

| Binh luge : Diện Tình tam giác la Thiếu cầu nối các - mối

quan h hệ giữa các yal? tố trong tam giác -

| Bat đẳng thức này chứng minh rất dế nhưng nó có ý ý nghĩa

rất lớn trong vai trò nhận dạng và đưa các bài toán xa lạ trở

thành bài toán quen biết

Các ví dụ: sau đây sẽ mỉnh chúng diéu do

stormed r0-of se tpty tga] > 8,

Tr gHA BC FF >HB,.CA SHC, AB — 29

** Gt(HBC) * dt(HCAy * aHAB) 77> ©

—IdKHBC)+dt/HCA)+dt,HAB)] [ arate + dt(HCA) "0nAE))>!

"Điều này đúng theo BDT (*) — (đpcm)

— (atb Fe) (= + b + =) 2 9 Dung theo BDT “® |

b+e cta ©’ atb ©" 2-

7.7 CMR : bic + ota tatb? 5

V8, b,c>Ð ~

“ = + (bee) +(e + coz) » Foro te

wea(14 Sc) +b(1+c bz) te(1 +255) > ga tbto

7.8 CMR : log,,, a + log., ,b? + log,,,c° 5 3 Va, b,c > 2°

Gidi : Vib, c > 2 >be > 2.max(b, c) 2 bte

Ina ~*~ Ina? 2ina

= Inge +c) 7 in(bo) ~ Inb + Inc

Từ đó ta có : loBp, a + log , ,b° + log, z

co ¬ %ð

(Ö đây ta y ta sử ung d bài 7.6 : "` gy yin ate y, 2 > 0)

log,c loga logb 1 “g

7.9 CMR : 2( + + ) = ve, bc > 1

\b+e cta a+b'- a+btc

es kh TC Dịch ‘Nant ae “oy

Giai

_ loge ‘loge logb

=6, te) + & +a) + (a + Đl[y+e † =1 1 sau] 2 9

_Theo BDT Co Si ta cé :

| Íb+e + (c +a) + (a +b) > sexoctie iy

x loge loga tee 3 log C- loga Togp

tbe của - “a+b.” Vara *c)(e +a)(a + b) (b

log.c loga log.b |

[b+e) + (e+a) + (8*Ð)lÍ ae 5 + = tig ; 2 9NIogb = 9

— (dpem)

_—on

Mat khác dé dang ta chứng minh được

cosAcosB + cosBcoaC + cosCcosA < (cos2A + cos2B + cos’)

—> 3(cosAcosB + cosBcosC “+ cosCcosA) <

9 Ki thugt đánh giá mẫu số _

a+b? +abc © b> +c>+abe c? +a> + abe

`

4

b4 +e! +d*+abed = Ped(bterd) Fabel ™ bed(atb ord)

le td + a‘ + abed * cda(etd+a) + abcd _ edA(a+b +e+d) 1

9.4 Cho a,, Ay, a, > 0 (n 2 3) CMR

Chú ý : - KĨ thuật sử dụng Cô ‘Si dé đánh giá mẫu số rất -

nghệ thuật và hoàn toàn khác hẳn với các kí thuật ở 9.1, 9.2 -

“tê rên nÊnI „P+e+1 _

ay a 9.6 CMR - — + + - =

(1-a,)(1-a,) l-a,) < 1-

Néu a, = 1 — (3) đúng Nếu a, # 11 - ai > @ Do dé

(3) > (a, + ta, +1) - a) a) <b

cv `( face nth +c —a,) tung —a)

Cộng các vế của (1), (2), (n) và chú ý sịt + tan = 1 —> @pem)

10 Kỹ thuật - đổi biến số

Muc dich : Nhằm chuyển bài toán: từ tình thế khó biến đổi đại số (với các biến cũ) sang trạng thái dễ biến đổi Đại số hơn

(với các biến mới)

ee bee cta arb? 5 Va, b © >

+z—x bte=x>0 z+x

Giải : Đặt lc+a=y>0 — Khi đó

atb=z>0

ytz—-x ztx-y 4 (2 KX, ,;Z VY

(1) 2x + + oe > 3>( (% +) (5 z) +(17) >6

Theo BDT Co Si VT > „17+ Vers Vit

b+2c+3d c+2d+3a d+2a+3b at2b+3c° 3

Va,b,c,d>0 ‘(Du bi quéc té 93 - Mỹ) |

Bạn đọc tự giải a

Chú ý : Nếu giải bằng BCS thi dễ dàng hơn

11 Kỹ thuật kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng

11.1 Cho a, b, c d > 0, Tim giá trị nhỏ nhất của

Nhiều học sinh mắc sai lầm khi biến đổi Š thành tổng 4

cặp phân số nghịch đảo và áp dụng BDT Cô Si cho ting Cặp :

Suyraat+b+ctd = 3at+tbt+tcetd) +at+bt+c+d=0

V6 ly vi a, b, ce, d > O SỐ

Lời giải đúng : Để tìm Min § ta cần chú ý S là một biểu

thức đối xứng với a, b, c, d do đớ Min (Max) (nếu cơ) thường

đạt được khi a = b=c= d,

Vậy đảo lại ta cho trước a = b = c = d để dự đoán Min

S la bang g†?12= rồi sau đó dánh giá các BĐT có điều

kiện dấu bằng là tập con của điều kiện a = b=ec= d

> s:4Y@® +c+đ)(c+d+a)(d +a +b)(a+b+e) x

* Œœ+c+d)( +d +a)(d +a +b)(a+b+e) 3

— 8, > W424 Tử đó § = S2 +8, > ptl2=5 = 185

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d > Min ^ = 183

Vay Max S = 2V3 dat duge khi a = b= c= d=

| m Min § = ( + 2p) ( + 3g) (1 tga) Ym be:

Sa lầm thường gap :

MEE Ea

Suy ra Min §= 8a

a = đb "-

8 _ Rõ ràng 5 = sys - b= ca +b te, = 8 ath te)

Sai lầm thường gap: Theo BDT Cé Si ta có

11.3 : Cho ‘

D4

(atbtc) +1 | (b+etd) +1 | (ctd+a) +1) (dtatb) +1

Các ví dụ sau đây chúng tôi cung cấp lời giải mà không bình ˆ

luận Bạn dọc hãy suy ngẫm vì sao dẫn đến những lời giải này

: @ +b + cy” (atbt+ ce)? (atb+tc)’

7 4 _ L8: - Cho ` Ía,b,e >0 a+b+c=l CMR : 2 b +3 tab tbe l1 1.2.2 >öi

x - Bạn đọc tự giải

56°