Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2

Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2

+ a b a  b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.

+ a b a b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu

+ a  b a b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 0  hoặc a b 0 

+ Cho các số thực a ,a , ,a , thế thì hiển nhiên ta có 1 2 n

a a  a a  a  a+ Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có

b a  Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab.

3 Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức.

Cho tam thức bậc hai f(x) ax 2bx c với a 0 Khi đó ta viết được

2 2

2

bf(x) ax bx c a ax

Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi  b2 4ac 0

Tính chất 2: Nếu  b2 4ac 0 thì af(x)0

Tính chất 3: Nếu  b2 4ac 0 và đa thức có hai nghiệm x ; x x1 2  1x2 thì

+ af(x) 0 với mọi giá trị x1x x 2

+ af(x)>0 với mọi giá trị x x 1hoặc x x 2.

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 2 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương

đương để chứng minh bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳngthức xẩy ra Để ý một chút ta có 1 a b c

a b c a b c a b c

      , như vậy cần đánh

a b c   a b Dễ nhận thấy đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần

áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh Để chứng minh đượcbất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được a a c

Ví dụ 3 Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

Ví dụ 4 Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 5 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

b c  c a  a b 

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nhìn chiều bất đẳng thức ta

nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy Tuy nhiên để đánh giá được bất đẳng thứctheo Cauchy không hề đơn giản tí nào với những ai mới học bất đẳng thức

Chú ý đến giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác, nó có mối liên hệ nhưthế nào với a

b c , do b c a  nên ta thấy được 0 a 1

b c

 , với kết quả đó ta có thểkhử căn bằng đánh giá a a

b c  b c Đến đây thì bài toán đươc giải quyết triệt đểtương tự như ví dụ thứ nhất

c a  a b c  a b  a b c Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a b c 1

b c  c a  a b Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 6 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a b 1 a 1 b 1



Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được bài toán cần chứng minh

Ví dụ 7 Cho a ; a ; ; a ; b ; b ; ; b là các số thực dương Kí hiệu 1 2 n 1 2 n

Lần lượt cho i bằng các giá trị 1, 2,, n rồi cộng các theo vế lại với nhau ta được

   Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 8 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

abc

a b abc b c abc c a abc 

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c  Quan sát bất đẳngthức ta nhận thấy cần phải thay đại lượng ở các mẫu bên vế trái bởi các đại lượngnhỏ hơn sao cho khi biểu thức thu được vẫn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải Điều đó cónghĩa là cần tìm vế phải cho bất đẳng thức a3b3abc ? , để ý trong vế trái củabất đẳng thức ta không đánh giá được gì từ tích abc, cho nên ta tập trung đánh giá

a b Trong vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có chứa tích abc ở mẫunên khi đánh giá mẫu vế trái ta cũng cần làm xuất hiện tích abc ở các phân thức,như vậy khi đánh giá a3b3 cần làm xuất hiện tích ab, điều này gợi ý cho ta đánhgiá rất đẹp a3b3ab a b   Nếu chứng minh được bất đẳng thức đó thì ta thu

được kết quả là a3b3 ab a b   khi đó ta suy ra được đánh giá

thức phụ đó Đầu tiên là do yêu cầu làm xuất hiện tích ab, kế đến là cần phải làm cho hai vế đồng bậc 3 và cuối cùng là chú ý khi a b thì hai vế của bất đẳng thức

đó bằng nhau Khi phân tích bài toán ta cần chú ý đến các yếu tố như đẳng thức xẩy ra ở đâu, tính đồng bậc của bất đẳng thức, chọn chiều đánh giá như thế nào cho hợp lí, Tuy nhiên khi tiến hành các bước phân tích mà giả thiết càng gần với kết luận thì cơ hội càng lớn.

Ví dụ 9 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

2

a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3

Phân tích: Ý tưởng tương tự như ví dụ trên, ở đây ta chú ý đến dấu đẳng thức xẩy

ra khi a b c 1   , như vậy ta cần có các đánh giá sao cho đảm bảo có đẳng thứcxẩy ra Nhận thấy a2b2 2ab; b21 2b nên a22b23 2 ab b 1    

Khi đó ta có đánh giá 2 12 1 1

2 ab b 1

a 2b 3    Áp dụng tương tự ta được bất đẳngthức

Cách 1: Do abc 1 , nên tồn tại các số dương x, y, z để a x; b y; c z

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Ví dụ 10 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Cách 1: Do abc 1 , nên tồn tại các số dương x, y, z để a x; b y; c z

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1   

Nhận xét: Các bất đẳng thức trong ví dụ 8, 9 và 10 cho thấy kỹ thuật đánh giá ở

mẫu được sử dụng như thế nào trong chứng minh bất đẳng thức, thực chất của việc đánh giá này là thay thế các mẫu bởi các đại lượng khác sao cho các đánh giá cùng chiều và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra Điều quan trọng là biết cách chọn các đánh giá phù hợp sao cho càng chặt càng tốt.

Ví dụ 11 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 Chứng minh rằng:

đơn giản ta có thể đặt x3 ab; y3 bc; z3 ca hoặc x3 1; y3 1; z3 1

   và chú ý đếngiả thiết abc 1 dẫn đến được xyz 1 , lúc này ta được bất đẳng thức như ví dụ 9

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1  

Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức khó, khi tôi phân tích để tìm lời

giải thì các câu hỏi được đặt ra như biến đổi các biểu thức như thế nào để bài toán đơn giản hơn, sử dụng giả thiết như thế nào đây, thay vì đánh giá cả tử và mẫu ta

có quy vế đánh giá mẫu được không Sau các bước biến đổi như trên thì bài toán nhìn có vẻ dễ hơn đôi chút và nếu tận dụng tốt các lợi thế này thì công việc còn lại

sẽ không gây được khó khăn nữa

ta cần một đánh giá kiểu ab c 1 ?   Giả thiết có gợi cho ta điều gì? Nên nhớ là khia; b; c [0; 1] ta thường thu được các bất đẳng thức dạng 1 a 1 b     0 hay

1 ab a b   , đến đây ta cộng vào hai vế với c thì được ab c 1 a b c     Lúc này

ta có đánh giá tốt cho việc chứng minh bất đẳng thức là a a

b b ; c c

ab c 1 a b c bc a 1 a b c         Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

ac b 1 ab c 1 bc a 1        Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Ví dụ 13 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1   Chứng minh

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đẳng thức không xẩy ra tại

a b c  mà xẩy ra tại a 1; b c 0   và các hoán vị Trong trường hợp này để dễ có

những đánh giá hợp lí ta có thể sắp thứ tự các biến Vì đẳng thức xẩy ra tại

a 1; b c 0   nên không mất tính tổng quát ta sắp thứ tự các biến bằng cách chọn

a là số lớn nhất Khi đó ta mạnh dạn có các đánh giá kiểu như 1 b 2 1; 1 c 2 1 màvẫn bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, các đánh giá này dẫn tới

1 a



 Để ý đến a là sốlớn nhất nên ta có 2 2

  Kết quả là sau một số bước đánh giá như trên

ta thu được đại lượng 2 2 2

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b c 0   và các hoán vị

Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm ra cách chứng minh bất đẳng thức trên chính là

giá đó đòi hỏi phải có sự suy luận một cách lôgic.

Ví dụ 14 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 3

1 bc 1 ca 1 ab      Chứng minh rằng: a b c 3

1 x 1 y 1 z     4Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi a 3; b c 0   và các hoán vị

2 Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 15 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Hay a b b c c a    

1abc



Suy ra a b c b c a 1

b  c a c a  c  Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 16 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a b c 3   Chứng minh rằng:

a  ab b  b  bc c  c  ca a 3

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1   Quan sát kĩ bất

đẳng thức ta có nhận định là cần phải có một đánh giá kiểu a2 ab b 2 k a b  2 đểkhi khử căn ta thu được a b Vấn đề là cần xác định giá trị của k để đánh giá trên

là đúng, nhớ là đẳng thức xảy ra tại a b c  nên ta xác định được k 1

này ta chọn cách bình phương hai vế vì việc xét dấu rất khó khăn Khi bình phươnghai vế ta thu được kết quả là:

ab c a b c    a c b c   ab c a b c   ab c a b c  

Bất đẳng thức sẽ được giải quyết nếu như ta khẳng định được ab 0 Chú ýđến vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức thì việc giả sử ab 0 là hoàn toàn thựchiện được Bây giờ ta cần trình bày lại lời giải nữa là xong

Lời giải

Trong ba số a, b, c có ít nhất hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a, b Khi đó ta được a  b a b

Như vậy ta chỉ cần chứng minh c  a b c  b c  c a

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi a, b, c cùng dấu

Ví dụ 18 Cho a, b là các số thực không âm Chứng minh rằng:

Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức là      

đánh giá được a2 b2 a2b2 thì bài toán được chứng minh

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 20 Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì Chứng minh rằng:

3

3 abc a b  b c  c a  a b c

Phân tích: Nhận định đầu tiên khi tìm hiểu bất đẳng thức trên là tìm cách phá giá

trị tuyệt đối Quan sát kĩ ta thấy không thể bình phương cũng không thể xét dấu cácđại lượng để phá giá trị tuyệt đối được Trong trường hợp này ta thử nghĩ đến cáchsắp thứ tự các biến để phá giá trị tuyệt đối xem có thể chứng minh được hay không.Chẳng hạn ta chọn a b c  , khi đó ta phá được các giá trị tuyệt đối và bất đẳngthức được viết lại thành 3 abc a b 3c 03     , nhận thấy a b 0; 3 abc 3c 0  3   nênbất đẳng thức thu được hoàn toàn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 22 Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì Chứng minh rằng:

vế trái của bất đẳng chứa đại lượng a b 2b c 2c a 2 mà bên vế phải lại làtích các đại lượng a b; b c; c a   , từ chiều của bất đẳng thức cần chứng minh tanghĩ đến đánh giá a b 2b c 2c a 2 33a b b c c a       2

một đánh giá kiểu 2 a b c    3 a b b c c a3         là hoàn thành chứng minh bấtđẳng thức Chú ý đến dấu giá trị tuyệt đối và các biến không âm ta có được cácđánh giá đúng là a b a b ; b c  b c ; c a  c a , đến đây thì các yêu cầu đểchứng minh bài toán đã được xử lí, việc trình bày lời giải hoàn toàn đơn giản

Vậy Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 23 Cho n số thực x ; x ; ;x (với 1 2 n n 3 ) Chứng minh rằng:

Để ý là trong hai số thực x, y bất kì ta luôn có

Min{x,y} x,y Max{x,y}  và Max{x,y} x y x y

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x1x2  x n

3 Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai.

Ví dụ 24 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2 a 2b 4b  2 4ab 0

Chứng minh rằng: 0 a 2b 1  

Phân tích: Để ý rằng bất phương trình bậc hai 2

At Bt C  0 t  t t với A 0,trong đó t ; t1 2 là các nghiệm của tam thức At2Bt C Phân tích bất đẳng thức giảthiết ta thu được a 2b 2 a 2b   , ta xem vế trái là đa thức biến 0 a 2b , khi đó

ta có lời giải sau

Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 25 Cho a, b là các số thực bất kì Chứng minh rằng:

 

a b 2 a 2 b 4ab a 4ab

Phân tích: Bất đẳng thức có hai biến và biến a có bậc cao nhất là 2, do đó ta biến

đổi bất đẳng thức theo hướng xuất hiện một tam thức bậc hai có biến là a như sau

Ví dụ 26 Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn b c d  Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh bằng kĩ thuật biến đổi tương

đương Ở đây ta sử dụng tư tưởng của tam thức bậc hai để chứng minh Để ý ta viếtlại được bất đẳng thức như sau f(a) a 2 b c d e  a b     2c2d2e2, đến đây tacần phải chứng minh được  b c d e   4 b   2  2c2d2e2 0 Việc này hoàn

toàn thực hiện được nhờ phép biến đổi tương đương hoặc bất đẳng thứcBunhiacpoxki.

Do đó ta được f(a) a 2 b c d e  a b     2c2d2e2 0

Hay bất đẳng thức được chứng minh

a b a b  a b  a a  a b b  b

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 30 Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a d b c   Chứng minh rằng: Nếutồn tại số thực m sao cho 2m ad bc thì với mọi x R ta luôn có:

x a x b x c x d           m2  0

Phân tích: Quan sát biểu thức bên vế trái ta nhận thấy ngay đây là đa thức bậc 4,

với phép đặt biến phụ y  x 2 a d x x   2 b c x  , khi đó vế trái trở thành đa thứcbậc hai, bây giờ ta cần chứng minh được biệt thức  âm, cần chú ý đến giả thiết2m ad bc vì chắc chắn phải cần đến nó mới có thể chứng minh được

Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 31 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a b c 1   Chứng minh rằng:

3a 4b 5c  244 ab bc ca   

Phân tích: Bất đẳng thức có bậc hai đối với mỗi biến, nên ta nghĩ đến việc đưa về

tam thức bậc hai Bất đẳng thức có ba biến nhưng có thêm điều kiện a b c 1   cho

nên ta có thể chuyển bất đẳng thức thành bất đẳng thức chỉ có hai biến Đến đây tachọn một biến làm biến chính, còn lại ta xem như là tham số và sử dụng tính chấttam thức bậc hai là một ý tưởng không tồi chút nào

Do đó suy ra f(a) 0 hay 48a216 3b 4 a 45b    2 54b 25 0 

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b 1; c 1

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy, bất đẳng thức có tính đối xứng với

hai biến a, b và là có bậc hai đối với mỗi biến do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến

sử dụng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh Trước hết ta viết lại bất đẳngthức

b2 3b 3 a  23b2 5b 3 a 3b   2 3b 1 0  Xem vế trái là một tam thức bậc hai biến a khi đó, để ý đến b2 3b 3 0  ta cần chứng minh được biệt thức  0

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

b2 3b 3 a  23b2 5b 3 a 3b   2 3b 1 0 Xét tam thức bậc hai

vế trái của bất đẳng thức có đại lượng 1 a a  2 1 b b  2 rất cồng kềnh khi biếnđổi, do đó ta cần thay đại lượng đó bằng một đại lượng bé hơn, chú ý đến dấu đẳngthức xẩy ra ta có hai ý tưởng là

 2  2  2  2 2  2

2 1 a a  1 b b 1 c c     1 a b 1 c c  Bây giờ ta cần chứng minh 3 1 a b  2 2 1 c c  2 2 1 abc a b c   2 2 2 , viếtthành f(c)3 a b c 2 2 2 3 2ab 3a b c 1 3a b  2 2   2 2 0 Công việc cuối cùng là chứngminh  3 2ab 3a b  2 22 4 3 a b  2 2 1 3a b 2 2  thì bài toán xem như được chứng0minh Ở đây nếu như ta không chứng minh được biệt thức  0 thì ý tưởng trênhoàn toàn phá sản Cũng may trong bài toán này ta thu được  3 1 ab  4 Đến0đây chỉ cần trình bày lại lời giải nữa là xong

Lời giải

Ta có 2 1 a a   2 1 b b  2  1 a b2 2 a b 21 a  2 1 b 2 1 a b2 2

Do đó ta được bất đẳng thức