Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4

Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4

Chủ đề 4 CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TỒNG, TÍCH CỦA DÃY SỐ - PHƯƠNG

PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1 Một số kiến thức cần nhớ

a) Phương pháp làm trội, làm giảm

Giả sử cần chứng minh A B, khi đó ta cần làm trội biểu thức A thành

A M rồi chứng minh M B Cũng có thể làm giảm B thành M B rồi chứng minh

A M

Phương pháp làm trội, làm giảm thường được áp dụng cho bất đẳng thức vềtổng hoặc tích của một dãy số Khi đó dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa một

vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

+ Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tổng của dãy số là:

Giả sử ta cần chứng minh A x 1 A x 2 A x 3  A x  n M, khi đó tathực hiện làm trội A x i B y i 1   B y i để thu được

 1  2  3  n  n  1

A x A x A x  A x B y  B ySau đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức B y n  B y 1 M

+ Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tích của dãy số là:

Giả sử ta cần chứng minh A x A x A x A x     1 2 3  n M, khi đó ta thựchiện làm trội    

 

i 1 i

- Ta cần áp dụng làm trội, làm giảm sao cho bất đẳng thức cuối cùng cần chứng minh phải càng đơn giản càng tốt

- Thông thường ta tìm quy luật viết các số hạng của dãy rồi đưa ra cách viết tổng quát, từ đó ta mới làm trội cho số hạng tổng quát và áp dụng cho các số hạng

cụ thể

b) Phương pháp quy nạp toán học

+ Nội dung của phương pháp quy nạp

Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đúng nếuthỏa mãn hai điều kiện sau:

- Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n

- Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k k N  suy ra được bất đẳng thức đúng với n k 1 

+ Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A n  B n  với n n , n N 0  , ta tiến hành các bước như sau:

- Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n 0

- Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n k k n , k N   0  

- Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1  và kết luận bất đẳng thức đúng với n n 0

Phân tích và lời giải

Nhận thấy tổng trên có n số hạng, do đó ta làm trội bằng cách thay mẫu

n k với k 1, 2, 3, ,n 1  bằng n n Tức là ta có:

1 1 1

n k  n n 2n, với k 1, 2, 3, ,n 1 Khi đó ta được: 1 1 1 1 1 n 1

n 1 n 2    2n  2n  2n 2n 2Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2 Với mọi số tự nhiên n 1 Chứng minh rằng:

  , do đó áp dụng tưtưởng như ví dụ trên ta làm trội bằng cách thay mỗi số hạng bằng số hạng lớn nhất.Tức là ta được

2n 1 Để chứng minh cáctổng trên đều lớn hơn 2

2n 1 ta chỉ cần chứng minh được 1 1

2n 1 k 2n 1 k     ,trong đó k nhận các giá trị từ 1; 2; ; n Thật vậy:

Nhận xét: Bất đẳng thức bên trái là một bất đẳng thức khó, sử dụng cách làm như

bất đẳng thức bên phải không đem lại hiệu quả, cho nên ta phải tìm một phương án khác Điểm quan trọng để tìm ra lời giải cho bài toán này chính là phát hiện các tổng bằng nhau n1  3n1  n2 3n  2n2n2 2 2 n1 và ý tưởng

ghép các cặp 1 1 ; 1 1 ; ; 1 1

một tử số là 2 2 n1 và bước tiếp theo chính là đánh giá mẫu về cùng 2n1.

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n2 ta có:

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, nên bổ đề được chứng minh

Viết lại biểu thức P và áp dụng bổ đề ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét: Ý tưởng của bài toán trên cũng là ghép theo cặp, với bất đẳng thức bên

trái ta thấy không có vấn đề gì lớn cả Tuy nhiên với bất đẳng thức bên phía phải, sẽ thực sự gây ra nhiều khó khăn nếu không phát hiện ra bổ đề: Với

Phân tích và lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh là một bất đẳng thức kép nên ta chia thànhhai bất đẳng thức để chứng minh Nhận thấy tổng trên có 2n 1 phân số nên nếuchia theo nhóm tương tự như ví dụ trên không đem lại hiệu quả vì khi quy đồng theonhóm thì các tử số không bằng nhau Để tiện cho việc tìm lời giải ta đặt:

2



  Quan sát yêu cầu bài toán, ta thấy có thể làm trội bằng cách chia biểu thứcthành nhiều nhóm, rồi làm trội từng nhóm

, tacần kiểm tra xem tổng các phân số có phải là 2n  1 không?

Ta có 1 2 4 8 2n 1 2n 1

       , điều này có nghĩa là ta nhóm vừa đủ, và có tất

cả n nhóm như vậy, khi này ta có thể giải được như sau:

Làm trội biểu thức bằng cách thay các phân số trong mỗi ngoặc bằng phân

số lớn nhất trong mỗi nhóm ta được

Kết hợp hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 5 Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, ta luôn có:

Phân tích và lời giải

Để chứng minh bất đẳng thức trên ta cần làm trội mỗi phân số bằng các thaymẫu số bằng một số nhỏ hơn Để ý đến đánh giá k2 k k 1   , khi đó ta thu đượccác đánh giá có dạng

 Bây giờ ta cầnkiểm tra xem 1 1 1 1 1 1 1 2

 có đúng không Dễ thấy bất đẳngthức trên đúng, do đó ta trình bày lại lời giải như sau:

2 33

n 1 nn

 

 

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: 12 12 12

1

2  3   n Suy ra 12 12 12

     Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét: Bất đẳng thức tổng quát của ví dụ trên là:

2014.2015 2014 20152015

Ví dụ 7 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Phân tích và lời giải

Dễ thấy vì n là số nguyên dương nên ta có: 2 2 2 2 2  

1 2  3   n 1 

Bây giờ ta chứng minh 12 12 12 12 5

3

1 2  3   n  . Thực hiện ý tưởng làm trội như các ví dụ trên với đánh giá 12 1 1

ta chọn được a 2, b 1  Tức là ta được 12 42 24 1 1

22k 1 2k 1

Phân tích: Để ý ta thấy với mọi k N * ta luôn có k k 3 k k k 1 k 1      , khi đó

2.3.43

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Nhận xét: Bài toán tổng quát là với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

Ta cần chứng minh: 1 1 1 1

65 5.6.7 6.7.8   2014.2015.2016

Và 1 1 1 1

4.5.6 5.6.7  2013.2014.2015 40+ Chứng minh: 1 1 1 1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 10 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 , ta luôn có:

 22

5 13 25    n  n 1  20

Phân tích và lời giải

Để ý ta thấy các mẫu số được viết dưới dạng k2k 1 2, ta cần một đánhgiá kiểu k2k 1 2 ? Trước hết ta thử với bất đẳng thức Cauchy, khi đó ta được

Đến đây hoặc ta vẫn sử dụng các đánh giá đó nhưng với k nhận giá trị lớn

hơn 1 hoặc ta tìm một đánh giá khác Chú ý một tí ta nhận thấy 9 1 1

205 4 , do đó tacần làm trội từ k 2, 3, 4, , n  và khi đó ta thu được kết quả là

 hay bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 12 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

Phân tích và lời giải

Gọi vế trái của bất đẳng thức là P, ta cần làm trội P thành Q với điều kiện là

Q phải dễ thu gọn hơn, điều này có nghĩa là Q phải có các tử và mẫu giống nhau Để

ý rằng các phân số có tử, mẫu hơn kém nhau hai đơn vị, nên ta nghĩ đến bất đẳngthức

Ví dụ 13 Chứng minh rằng với mọi số nguuyên dương n 2 ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 14 Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi n2, nN

 

82.3  3.4   n n 1 

Phân tích và lời giải

Dễ nhận ra các phân số có dạng tổng quát là

 2

1

k k 1 , cho nên trước khi

đánh giá ta cần biến đổi

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 15 Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, ta luôn có:

Phân tích và lời giải

Để chứng minh bất đẳng thức có chứa căn thức ở mẫu thì điều đầu tiên là

tìm cách trục căn thức mẫu, trong bài toán này khi trục căn thức ở mẫu trực tiếp thì

ta thu được kết quả 1 k

k

k  , để ý thấy trong căn là các số tự nhiên liên tiếp nên tacần viết được k về dạng k 1  khoặc k k 1 , tuy nhiên các phân số cònphụ thuộc vào k ở mẫu nên không thể khử liên tiếp được, do đó cách làm này khôngđem lại kết quả Cũng thực hiện theo ý tương này, nhưng ta cần tìm cách cố địnhmẫu số, do đó ta cần biến đổi chút ít trước khi trục căn thức

Để ý ta thấy 2 k  k 1  k, do đó ta làm trội được 1 2

k  k  k 1

,

đến đây ta mới trục căn thức thì thu được kết quả 2 2 k 1 k

k  k 1    Lúcnày chỉ cần cho k 1, 2, 3, , n là có thể khử được các căn thức ở giữa và kết quảthu được là 2 n 1 1    chính là vế phải của bất đẳng thức Bây giờ ta trình bày lạilời giải như sau:

Ta có: 1 2 2 2 k 1 k , k

k 2 k  k  k 1    

là số nguyên dương.Cho k 1, 2, 3, , n ta có:

2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 16 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

 

2 3 2 4 3    n 1 n 

Phân tích và lời giải

Để ý cách viết các số hạng của tổng trên có dạng

1

k 1 k , ta cần làm trộisao cho có thể khử được liên tiếp Nhận nhấy ở mẫu có chứa k và k 1 nên ta cầnviết 1 thành 1 k 1 k    k 1  k  k 1  k , quan sát chiều của bất đẳngthức ta làm trội được  k 1  k  k 1  k 2 k 1 k 1    k, đến đây ta cókết quả là:

Nhận xét: Bài toán tổng quát là với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

Nhận xét: Bài toán tổng quát là với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên có điều phải chứng minh.

Nhận xét: Thực chất đây là bài toán tính tổng:

Phân tích và lời giải

Nhận thấy số hạng tổng quát được viết dước dạng

ta có thể đặt x k; y k 1   rồi chứng minh x y y x x x y y , bất đẳng thức

này được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương Đến đây ta thu được bấtđẳng thức:

Bổ đề: Với mọi số thực dương x, y ta có: x y y x x x y y

Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, ta được:

Nhận xét: Quan sát kĩ hai ví dụ 14 và 15 ta nhận thấy, để chứng minh được bất

đẳng thức trong ví dụ 15 thì ta chỉ cần chứng minh được:

Ví dụ 20 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng mọi nN:

Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có x2y2 x2y2  2xy x y  

Chứng minh: sử dụng phương pháp biến đổi tương đương ta được

Ví dụ 21 Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng:

Cả hai đánh giá cuối cùng đề đúng, do đó bất đẳng thức (*) được chứng minh.

Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức trên cho k 1, 2, , n , khi đó ta được:

Ví dụ 22 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 5 , ta có: 2n  n2

Phân tích: Với bất đẳng thức dạng như bài toán này ta thường dùng phương pháp

quy nạp toán học để chứng minh Do đó ta thực hiện theo trình tự các bước quynạp, vấn đề là khi thực hiện quy nạp ta sử dụng giả thiết quy nạp như thế nào màthôi Trong bài toán này ta có giả thiết quy nạp là 2k  k2 và cần phải chứng minh

 2

k 1

2 k 1

  Để ý là k 5 nên ta được 2k2 k 1 2k k 5   3k 1  k 1 2 Do

đó để hoàn tất chứng minh ta cần chỉ ra được 2k 1  2k2

 , đây là kết quả đúng theogiả thiết quy nạp Đến đây ta trình bày lời giải như sau:

Phân tích: Ta sử dụng phưng pháp quy nạp để chứng minh bài toán này Ở đây giả

thiết quy nạp là 1 x k  1 kx và ta cần chứng minh 1 x k 1  1 k 1 x  Nhậnthấy từ giả thiết quy nạp ta có 1 x k 1 1 x  k 1 x   1 x 1 kx    , ta cần chỉ rađược 1 x 1 kx      1 k 1 x  , nhưng đây rõ ràng là một kết quả đúng Do đó tatrình bày lại lời giải như sau:

Lời giải

+ Với n 1 , bất đẳng thức trở thành 1 x  1 x (đúng)

Suy ra bất đẳng thức đúng với n 1

+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến n k k N, k 1     , tức là ta được 1 x k  1 kx+ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1  , hay 1 x k 1  1 k 1 x Thật vậy, vì x1 x 1 0  nên theo giả thiết quy nạp, ta có

1 x k 1 1 x  k 1 x   1 x 1 kx    

Mà 1 x 1 kx      1 k 1 x kx   2  1 k 1 x  nên

1 x k 1 1 x 1 kx      1 k 1 x Hay bất đẳng thức đúng với n k 1  , nên theo nguyên lý quy nạp suy ra bất đẳngthức được chứng minh

Ví dụ 24 Chứng minh với mọi số thực a, b thỏa mãn a b 0  , ta có:

Phân tích: Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp, tuy

nhiên để chứng minh được

+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1  , hay

Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 25 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Phân tích: Bất đẳng thức trên có thể chứng minh được theo cách làm trội như ví dụ

12 Tuy nhiên ở đây ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Theo bài toán ta có giả thiết quy nạp là 1 3 5 2k 1 1

Lời giải

+ Kí hiệu bất đẳng thức đã cho là (*) , với n 1 , bất đẳng thức trở thành

2 3.1 1  2 2 (đúng)Bất đẳng thức đúng với n 1

Thử trực tiếp với n 1, 2, 3, 4 ta thấy n 4 thì bất đẳng thức đúng.

Ta sẽ chứng minh mọi giá trị cần tìm của n là n 4, n N  Tức là chứngminh bất đẳng thức sau đúng với mọi n 4, n N  : 3n 2n 7n

+ Với n 1 , thì x1  1 1 (đúng) nên bất đẳng thức đúng với n 1

+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến n k k N, k 1     , tức là với mọi x , x , , x1 2 k  0thỏa mãn x x x1 2 k 1 thì x1x2 x k k

+ Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1  , nghĩa là với mọi

Ví dụ 29 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có: nn n 1 n 1

Lời giải

+ Với n 2 , thì bất đẳng thức có dạng: 22  2 1 2 1  4 3 (đúng),

Nên bất đẳng thức đúng với n = 2

+Giả sử bất đẳng thức đúng đến n k k N, k 2     , tức là k2 k 1 k 1

+ Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1  , hay k 1 k 1 k 2 k

Sử dụng giả thiết quy nạp ta được: k k 1k  k 1  k 1  k 1 k 1 k 1

1 1 1 7

n 1 n 2    2n  10

Phân tích tìm lời giải

Khác với bài toán trước, ở bài này các bạn sẽ gặp “một chút rắc rối” ở bướcchuyển quy nạp, tức là ở đây ta gặp trường hợp “giả sử bất đẳng thức đúng với knhưng không chứng minh được sẽ đúng cho k + 1”, thật vậy nếu bất đẳng thứcđúng cho n = k, tức ta có :

102 k 1 2k 1   10 nên ta chẳng thu được điều gì ở đây!

Như vậy, ta nên làm gì để vượt qua chướng ngại này?

Nếu để nguyên dạng như ban đầu thì khó mà giải quyết thành công bài toánbằng quy nạp, do đó ta cần biến đổi bất đẳng thức đã cho một chút, ở đây ta chọn

một biểu thức trung gian kiểu 7 m, m 0

10 n  thích hợp sao cho bất đẳng thức sauđúng:

n 1 n 2    2n  10 n

Số m này phải thỏa mãn hai điều kiện sau:

+ Bước chuyển quy nạp từ k sang k + 1 có thể thực hiện được

+ Bất đẳng thức trên đúng với một “giá trị đầu” của n (lưu ý “giá trị đầu” ởđây có thể khác với giá trị đầu của bất đẳng thức cho ở đề bài ) Đây sẽ là khởi điểmphép quy nạp của ta

Xét điều kiện đầu tiên ta có:

 )+ Với n = 2 bất đẳng thức trở thành:

m

4 1 4 2 4 3 4 4 10         4   42Bất đẳng thức này đúng với m 1

4

 Như vậy ta sẽ chọn m =1

4 và điểm xuất phátquy nạp là n = 4, ta đi đến lời giải cho cả bài toán như sau

Lời giải

Kiểm tra trực tiếp ta thấy bất đẳng thức đã cho đúng với n = 1, 2, 3

Xét trường hợp n 4 khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn

n 1 n 2    2n  10 4n+ Với n 4 bất đẳng thức trở thành

Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng Vậy bất đẳng thức đúng với n k 1  , nên theonguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi n 4

Bài toán được chứng minh xong

Ví dụ 31: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n N

Kiểm tra trực tiếp, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng với n 1, 2, 3, 4

Xét trường hợp n 5 , khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn

Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng

Vậy bất đẳng thức đúng với n k 1  , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳngthức đúng với mọi n 5

Vậy bài toán được chứng minh xong

Ví dụ 32: Cho các số thực dương a ; a ; ; a1 2 n thỏa mãn điều kiện a a a1 2 n x.Chứng minh rằng: a13a32a33 a 3n x3n 1

Lời giải

+ Với n 1 ta có 3 3

1

a k là một đẳng thức đúng