Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 7

Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5 Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 5

Chương II MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC

Chủ đề 7 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT

ĐẲNG THỨC

Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà

về sau người ta gọi là Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý được phát biểu như sau:

“Nếu nhốt vào n chiếc lồng một số chú thỏ mà số lượng lớn hơn n thì ta sẽ tìm được một chiếc lồng mà trong đó có nhiều hơn một con thỏ”

Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó, thường có trongcác kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và Quốc tế Có rất nhiều phươngpháp để chứng minh bất đẳng thức như phương pháp chứng minh bằng phép biếnđổi tương đương, phương pháp quy nạp, phương pháp chứng minh bằng phảnchứng, dùng các BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki,

Trong bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp chứng minhbất đẳng thức khá thú vị là ứng dụng nguyên lí Dirichlet Với phương pháp này, giúpchúng ta chứng minh được một số bài toán bất đẳng thức một cách rất gọn gàng vàđộc đáo

Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng:

Trong 3 số thực bất kì a, b, c bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu.

Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là

đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳngthức Chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi a b c k   thì ta có thể giả sử 2 số

a k  ; b k  cùng dấu, khi đó thì (a k b k )(  ) 0 Chúng ta sẽ tìm hiểu một số ví

dụ sau để thấy được ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong việc giải bấtđẳng thức như thế nào?

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

a22 b  22 c  22 9 ab bc ca   

Phân tích và lời giải

Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c 1   Theo một đánh giáquen thuộc ta có 9 ab bc ca    3 a b c   2 Như vậy ta cần chứng minh

a22 b  22 c  22 3 a b c   2

Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki Như vậy ta cần đánh giá từ a b c  2 làm xuất hiện a22, để ý ta thấy

Như vậy ta chỉ cần chỉ ra được b2 1 c  2 1 0, tuy nhiên vì vai trò của a, b,

c như nhau nên theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số a2 1; b2  1; c2 1 luôn tồntại hai số cùng dấu và ta hoàn toàn có thể giả sử hai số đó là b2 1; c2 1 Như vậybài toán được chứng minh xong

Nhận xét: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách khác sau:

Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số ab 1;bc 1;ca 1 tồn tại hai số không

trái dấu, Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó ta ab 1;bc 1khi đó ta được

Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số a 1; b 1; c 1   luôn tồn tại hai số cùngdấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai đó là a 1; b 1  , khi đó ta có

Dễ thấy a b 21 c 22 abc ac bc c     0 nên ta có

a b 22ab1 c 22c 2abc 2ac 2bc 2 bc ca       2 ab bc ca   

Suy ra a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca      

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Nhận xét: Ta có thể chứng minh được bất đẳng thức đúng với mọi số thực nếu thay

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài toán 3 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

Theo bài toán 2 ta được a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca      

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

a b c 3 2 a b c    a 1  b 1  c 1 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 4 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

Từ đó kết hợp với bài toán 2 ta suy ra điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2b2c2abc 4

Chứng minh rằng: ab bc ca abc 2   

Lời giải

Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1  

Cách 1: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 ; b 1 ; c 1        cùng dấu Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1     0 thì

c a 1 b 1   0 abc bc ca c  

Mặt khác ta có 4 a 2 b2c2abc 2ab c  2abc

Suy ra 4 c 2 2ab abc  2 c ab 

Mặt khác cũng từ a2b2c2abc 4 suy ra c2abc a 2b2 4 0

Xem đẳng thức trên là là phương trình là bậc hai theo biến c

Vậy bất đẳng thức phải chứng minh

Bài toán 6 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc 4    Chứng minh rằng: a b c ab bc ca    

Lời giải

Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a 1 và b 1 cùng không âm

Khi đó ta được c a 1 b 1       0 abc bc ca c  

Suy ra a b c abc a b c ac bc c          a b c abc   a b c 1    

Hay a b c ab bc ca     Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Nhân xét: Ta cũng có thể chứng minh theo cách sau đây

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,( c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1 0

a b ab Thay vào bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức tương đương là:

Bài toán 7 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 8 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số x 2 , y 2 ,(z 2)      cùng dấu

Không mất tính tổng quát, giả sử x 2 y 2     0, suy ra

Từ hai bất đẳng thức trên ta được 2 x y z    2z xy 4 xy yz zx    

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 9 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3   Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 10 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 3 abc 3   3 

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

a b c 3 2 ab bc ca  

Thật vậy ta có a2b2 c2 3 a 2b2c22abc 1

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a2b2 2ab; c2 1 2c

Kết hợp với abc ac bc c   ta được

a b c 3 2ab 2c 2 bc ca c     2 ab bc ca 

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 11 Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 12 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Vậy bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi à chỉ khi a b c 1  

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta có thể tổng quát hóa bài toán trên:

a) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

2m 1 a2b2c2 2abc 1 2m ab bc ca    Trong đó m là số thực cho trước thỏa mãn m 1

c) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:

Suy ra 5 a 3 b3c3 3abc 9 5 a   3b3c3 3ac 3bc 3c 9  

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Bài toán 14 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1   Chứng minh rằng:

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1 3ac 3bc c 4 ab bc ca       

Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh bài toán: Cho a, b, c là các số

thực không âm thoả mãn a b c k   Chứng minh rằng: 9abc k 3 4k ab bc ca   

Bài toán 15 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 17 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Vậy bổ đề 1 được chứng minh

+ Bổ đề 2: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1)      cùng dấu,không mất tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 c 1 ab 1 a b

Vậy bổ đề 2 được chứng minh

Trở lại bài toán thì bất đẳng thức cần chứng minhtương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 18 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1   Chứng minhrằng:

Chủ đề 8.

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG ĐẲNG

THỨC

Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến ?! Câu trả lời là rất rất nhiều

và đôi khi bạn cảm thấy bực bội, khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thíchthỏa đáng cho bí ẩn nào đó Nhưng bạn hãy quan niệm rằng đằng sau bất kì mộtđiều gì luôn hàm chứa một ý nghĩa nhất định Và cũng không phải ngẫu nhiên mà sự

lí giải lại được hình thành Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy Đôi khi bạn khôngthể hiểu được tại sao người ta lại có thể tìm ra một lời giải trông có vẻ “kì cục” nhưthế !!! Phải chăng là lần mò và may rủi lắm mới tìm ra được ?

Câu trả lời lại một lần nữa được nhắc lại là mỗi lời giải đều có sự giải thíchcủa riêng bản thân nó Việc tìm ra lời giải đó phải đi qua một quá trình lập luận, thử,sai và đúng Trong bài viết nho nhỏ này chúng tôi muốn giới thiệu đến các bạn mộtkĩ thuật cơ bản nhưng không kém phần hiệu quả trong việc chứng minh một sốdạng của bất đẳng thức Nó không giúp ta giải quyết tất cả các bài toán mà chỉ giúp

ta tìm ra những lời giải ngắn gọn và ấn tượng trong một lớp bài toán nào đó Một sốbài toán tuy dễ đối với phương pháp này nhưng lại là khó đối với kỹ thuật kia Đâycũng là điều hiển nhiên và dễ hiểu

Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việctìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toánsau này của chúng ta.

Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộcnhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơngiản hơn nếu có thể Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ Để ý đến dấu đẳngthức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau

Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương

Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a b c 3  

Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ

đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng

 

2 2

Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng.Chú ý đẳng thức xẩy ra tại a b c 1   nên ta cần xác định m sao cho

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi a b c 1  

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất

đẳng thức

3 3 2

Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng

và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” nhưvậy Phải chăng đó là dự đoán một cách may mắn Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bàitoán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó Câu trả lời là hoàn toàn khôngphải Tất cả đều đi theo một qui luật của nó Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phântích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề

này theo chiều hướng khá mới mẻ Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique hay còn gọi là

kỹ thuật hệ số bất định Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trêncon đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó

2 Một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định

Có thể nói với phương pháp hệ số bất định ta có thể giải quyết được một

lớp các bất đẳng thức mà ở đó các biến độc lập với nhau Dưới đây là một số bàitoán áp dụng phương pháp hệ số bất định

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3   Chứng minhrằng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1  

Bài toán 2 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3b3c3 3 Chứng minh rằng

Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.  

Khi cho a 1 thì ta có thể dự đoán rằng m 2 Ta sẽ chứng minh rằng với

m 2 thì bất đẳng thức phụ trên là đúng Thật vậy

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 3 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2b2c2 3 Chứng minh rằng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 4 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3   và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định Chứng minh rằng:

a a 1  b b 1  c  c 1 3

Lời giải

Biểu thức P xác định khi và chỉ khi 5 1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3   Chứng minh rằng

a  a 3 b   b 3 c   c 3 

Lời giải

Vì a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3   Do đó ta được a, b, c0; 3

Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1  

Chứng minh tương tự ta được 2 1 4 b 2 1 4 c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1   

Bài toán 6 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2b2c2 1 Chứng minh rằng:

Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1  

Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số a, b, c thuộc khoảng 0;1

a  b  c        nên bài toán được

chứng minh, do vậy ta chỉ xét a,b,c 1 7;

Khi đó ta đi tìm hệ số m để bất đẳng thức sau đúng 2  

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 1  

Bài toán 8 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a4b4c4 3 Chứng minhrằng:

4 ab 4 bc 4 ca     

Lời giải

Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho bài toán này ngay được,

ta cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng các biến độclập với nhau

8 x    Thật vậy bất đẳngthức tương đương với

     

2 2

Để ý là đẳng thức xẩy ra tại a 1 , khi ta tìm được m1

Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau đúng

Bài toán 10 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn a b c d 1    Chứng minhrằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 11 Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a2b2c2d2 4.Chứng minh rằng:

Dễ dàng dự đoán được 9

m2

 Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức

3 3a 1 9 a 12a

Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1  

Ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức sau đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 13 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi a b c 1  

3 Kĩ thuật đổi biến và phương pháp hệ số bất định

Bây giờ chúng ta sẽ bước sang một khoảng không gian mới với lớp bất đẳngthức đối xứng ba biến và kĩ thuật đổi biến theo hướng chuẩn hóa kết hợp vớiphương pháp hệ số bất định

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số thực không dương Chứng minh rằng:

Cách đổi biến như trên ta gọi là chuẩn hóa.

Bài toán qui về việc chứng minh

 Ta chứng minh bất đẳng thức với m như vậy thì luôn đúng

Điều này hiển nhiên đúng

Hoàn toàn tương tự ta được b 3b 1 cb 3c 1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 2 Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng

Điều này hiển nhiên đúng do a (0,3).

Hoàn toàn tương tự ta được