Hinh hoc khong gian luyen thi dai hoc

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b Tính thể tích của kh[r]

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

Ví dụ: trang giấy, mặt bảng đen, mặt bàn, tấm gương phẳng,…

Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng một chữ cái đặt trong dấu ngoặc để đặt tên cho mặt phẳng ấy

Điểm thuộc mặt phẳng

Với một điểm A và mặt phẳng (P), có hai khả năng xảy ra:

- Hoặc điểm A thuộc mặt phẳng (P) Kí hiệu: A(P)

- Hoặc điểm A không thuộc mặt phẳng (P) hay điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P) Kí hiệu: A(P)

Hình biểu diễn của một hình trong không gian

Hình lập phương, hình tứ diện,… là những hình nằm trong không gian Để dễ

hình dung, người ta tìm cách vẽ chúng thành những hình phẳng, gọi là hình biểu

diễn của các hình không gian đó

Các quy tắc vẽ hình không gian

- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng, đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng

- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)

- Dùng nét liền để biểu diễn những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn để biểu diễn cho những đường bị khuất

* Các tính chất thừa nhận

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

- Có một và và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

- Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó

- Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng

* Điều kiện xác định mặt phẳng

- Qua 3 điểm không thẳng hàng

- Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó

- Qua hai đường thẳng cắt nhau

- Bổ sung: Qua hai đường thằng song song

* Hình chóp, hình tứ diện

Hình chóp

Cho đa giác A 1 A 2 …A n và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó Nối

S với các đỉnh A 1 , A 2 , …, A n để được n tam giác: SA1 A 2 , SA 2 A 3 , …, SA n A 1 Hình gồm n tam giác đó và đa giác A 1 A 2 …A n gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A 1 A 2 …A n

Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp

Đa giác A 1 A 2 …A n gọi là mặt đáy của hình chóp

Các cạnh của mặt đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp

Các đoạn thẳng SA1, SA2, …, SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp

Mỗi tam giác SA 1 A 2 , SA 2 A 3 , …, SA n A 1 gọi là một mặt bên của hình chóp

Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC,

ACD, ABD, BCD gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD

Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện

Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện

Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện

Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện

Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó

Chú ý: Hình tứ diện có thể coi là trường hợp đặc biệt của hình chóp

II Hai đường thẳng song song

* Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt

- Chéo nhau: Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng

- Song song: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

- Cắt nhau: Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu chúng không đồng phẳng và

có một điểm chung

* Các tính chất

- Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ

một đường thẳng song song với đường thẳng đó

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì

song song với nhau

* Định lý về giao tuyển của ba mặt phẳng

Nếu ba mặt hẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến

ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

* Hệ quả

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyển của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trung với một trong hai đường thẳng đó)

III Đường thẳng song song với mặt phẳng

* Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) Có ba trường hợp sau đây xảy ra:

- Đường thẳng a nằm trên mặt phẳng (P)

- Đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm A

- Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

* Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P)

* Tính chất

- Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọt mặt phẳng (Q) chứa

a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song

với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó

Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a

và song song với b

IV Hai mặt phẳng song song

* Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (Q) Có thể xảy ra một trong hai

trường hợp sau:

- (P) và (Q) cắt nhau theo một đường thẳng

- (P) và (Q) song song với nhau

* Điều kiện để hai mặt phẳng song song

- Định lý: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song

song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)

- Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt

phẳng song song với mặt phẳng đó

- Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R)

đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song

* Định lý Ta-lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên

hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Nghĩa là: Nếu ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại

A, B, C và A’, B’, C’ thì

' ' ' ' '

CA C

B

BC B

A

Định lý Ta-lét đảo: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a’ Lấy các điểm phân

biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’ trên a’ sao cho

' ' ' ' '

CA C

B

BC B

A

AB   Khi đó, ba

đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là

chúng cùng song song với một mặt phẳng

* Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt

- Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên

hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau

- Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

- Hình chóp cụt

Cho hình chóp S.A1 A2 An và một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2, ,SAn lần lượt tại A1’, A2’, , An’ Hình hợp bởi thiết diện A1’ A2’… An’ và đáy A1 A2 …An của hình chóp cùng với các tứ giác A1’A2’A2 A1, A2’A3’A3 A2,… An’A1’A1 An là một hình chóp cụt, kí hiệu là A1’A2’…An’ A1A2…An

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện A1’A2’…An’ gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt Các tứ giác A1’A2’A2 A1, A2’A3’A3

A2,… An’A1’A1 An là các mặt bên của hình chóp cụt Các đoạn thẳng A1 A1’, A2

A2’,… gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,…, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,…

V Phép chiếu song song

- Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng

- Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, của một tia là một tia

- Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau)

* Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình (H) trong không gian là hình chiếu song song của hình (H) trên một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó

Quy tắc: Nếu trên hình (H) có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song

song (hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số của hai đoạn thẳng này còn phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình (H)

B HỆ THỐNG BÀI TẬP

I Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 1: Bài tập cơ bản giúp củng cố các khái niệm, tính chất cơ bản

1 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

a) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước ;

b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ;

c) Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất

Đáp án : b, c

2 (BT tương tự) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

a) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước ;

b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó ;

c) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó

Đáp án : c

3 (BT tương tự) Hãy tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây :

a) Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cho trước ;

b) Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước ;

c) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng đó lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau

Đáp án : b

4 Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau Một đường thẳng c cắt cả a và b Có thể

kết luận rằng ba đường thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng hay không?

5 Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho

chúng đôi một cắt nhau Chứng minh rằng chúng đồng quy

Chú ý: bài tập 5 chính là gợi ý cho bài tập 4

6 Thiết diện của một hình tứ diện có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác hay

không?

7 (BT thực tế) Dựa vào kiến thức toán học, em hãy giải thích câu tục ngữ:

“Dù ai nói ngả nói nghiêng Lòng ta vẫn vững như kiềng ba chân”

Vì sao các đồ vật có bốn chân như bàn, ghế, … thường dễ bị cập kênh?

8 (BT thực tế) Với một cái thước thẳng, làm thế nào để phát hiện một mặt bàn

có phẳng hay không? Nói rõ căn cứ vào đâu mà ta làm như vậy

Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm vừa tìm được chính là giao tuyến của chúng

Dạng 3: Tìm giao tuyến của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải:

Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau:

Cách 1.

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d;

Bước 2: Tìm giao tuyến  của (P) và (Q);

Bước 3: Trong mặt phẳng (Q), tìm giao điểm I của d và  ;

Bước 4: Kết luận I chính là giao điểm của d và (P).

điểm của d với  cũng là giao điểm của  và (P)

9 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Trên (P) cho đường thẳng a và trên (Q) cho đường thẳng b Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên 

Gợi ý: Gọi M ab thì M (P) và M(Q)nên M(P)(Q) hay





M

10 Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm S nằm

ngoài mp(P) Gọi M là điểm nằm giữa S và A, N là điểm nằm giữa S và B, giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O

a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN)

SO I

SO(CMN){I}b) Trên mp(SBD) giả sử NI SB{P}

NI P

)(

SAD P

CMN P

P(SAD)(CMN)

Mà M (SAD)(CMN)nên ta có  MP(SAD)(CMN)

11 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và

CD trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD)

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC

Gợi ý:

a) Chứng minh E, N là hai điểm chung của mặt phẳng (PMN) và (BCD) b) EN ∩ BC = Q Chứng minh Q là điểm cần tìm

12 (BT tương tự) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP=2PD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mp(MNP)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD)

13 (BT tương tự) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của AD và BC

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA)

b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD)

14 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, K theo thứ tự là hai điểm

trong của các tam giác ABC và BCD Giả sử đường thẳng IK cắt mặt phẳng (ACD) tại J Hãy xác định giao điểm J đó

Gợi ý: Ta chọn một mặt phẳng chứa IK và tìm giao tuyến của mặt phẳng này với mp(ACD) thì giao điểm của giao tuyến đó với IK chính là điểm J cần tìm

15 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm nằm trong tam giác ABD, N là một điểm

nằm trong tam giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

EF là giao tuyến cần tìm

a) Gọi P là giao của DM và AB; Q là giao của DN và AC PQ là giao tuyến cần tìm

16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng

đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E Gọi C' là một điểm nằm trên cạnh SC

a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C'AE)

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C'AE)

Gợi ý:

a) Trong (ABCD) gọi M = AE ∩ DC ta có M ∈ AE, mà AE ⊂ ( C'AE) nên M ∈ ( C'AE) Mà M ∈ CD suy ra M = DC ∩ (C'AE)

b) Chứng minh M ∈ (SDC);

Trong (SDC) : MC' ∩ SD = F Chứng minh thiết diện là AEC'F

17 Cho tứ diện ABCD Gọi E là điểm đối xứng của A qua điểm C Xác định

thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua B, E và một điểm F trong các trường hợp sau đây:

a) F nằm trên đoạn CD và không trùng với C và D

b) F nằm trong tam giác ACD

c) F nằm trong đoạn thẳng DD’ (D’ là trọng tâm của tam giác ABC) Gợi ý:

a) Trong mp(ACD), kéo dài EF cắt AD tại K

Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác BFK

b) Trong mp(ACD), kéo dài EF cắt AD và DC lần lượt tịa K và J

Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác BKJ

c) Gọi I là giao điểm của BD’ và AC (I là trung điểm của AC)

Xét mp(BDI) ta có đường thẳng BF cắ DI tại một điểm J Khi đó J là điểm chung của hai mặt phẳng (BEF) và (DAC)

Vậy (BEF) cắt (DAC) theo đường thằng (Ẹ) Đường thẳng này cắt AD

và DC tại M và N Thiết diện là tam giác BMN

18 (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi Mặt phẳng (P) đi

qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích bằng nhau Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P)

19 (BT tương tự) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi I là trung điểm

của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK)

b) Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a)

Gợi ý:

a) Nối I và J cắt AC tại, nối I và K cắt AB tại M

Tam giác IMN là thiết diện cần tìm b) Dựa vào tính chất trọng tâm tam giác, tính AN, AM, MN

Dùng công thức cosin trong tam giác tính IM, IN

Sử dụng công thức Herong tính diện tích tam giác IMN

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, có hai cách:

20 (BT tương tự) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng

nằm ngoài (P) Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp(P) thì các giao điểm đó thẳng hàng

21 Cho ba tia Ox, Oy, Oz Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các cặp điểm A

và A’, B và B’, C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M, CA cắt C’A’ tại N và AB cắt A’B’ tại I Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng

Gợi ý: Trong bài toán này, ta cần xét 2 trường hợp:

 Trường hợp Ox, Oy, Oz không đồng phẳng

Dễ thấy M, N, I là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó Vậy M, N, I thẳng hàng

 Trường hợp Ox, Oy, Oz đồng phẳng

Qua O ta dựng một đường thẳng  không nằm trên mp(P) Trên  lấy các điểm O1, O2 Gọi A1 là giao điểm của O1A với O2A’, B1 là giao điểm của

O1B với O2B’ Dễ chứng minh A1 B1, A’B’, AB đồng quy tại I

Tương tự, ta dựng điểm C1 là giao điểm của O1C với O2C’ Hai tam giác

A1B1C1 và ABC không nằm trong một mặt phẳng, nên theo câu a) ta được

ba điểm M, N, I thẳng hàng

22 Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC,

CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P Chứng mình ba điểm M, N, Q thẳng hàng

23 (BT tương tự) Cho tứ diện SABC Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D,

E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K

Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng

24 (BT tương tự) Cho hai mặt phẳng ()và () cắt nhau theo giao tuyến d Trong () lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I O là một điểm nằm ngoài () và () sao cho OA và OB lần lượt cắt () tại A’ và B’

a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng

b) Trong () lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng Giả sử OC

cắt () tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K Chứng minh I, J,

K thẳng hàng

25 (BT tương tự) Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm AC, BC và G

là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ()qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M,

N Một mặt phẳng ()qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q

a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm của BP và EQ Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng

b) Giả sử K là giao điểm của AN và DM, L là giao điểm của BQ và EP Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng

Dạng 5: Bài tập về quỹ tích giao điểm, giao tuyến, điểm cố định

26 Cho tứ diện ABCD Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN,cắt các cạnhCD, BD

lần lượt tại Evà F

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF

c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE

Gợi ý:

a) Gọi K là giao điểm của MN và BC Ta có K cố định và K là điểm chung của mp(P) với mp(BCD)

Mặt khác mpP mpBCDEF

Vậy K EF , chứng tỏ rằng EF luôn đi qua điểm K cố định

b) Gọi I  ME  NF Ta có I MCD, I NBD  I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NBD)  I OD

Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O

Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I cũng chạy đến D

Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng OD

c) J là giao điểm của MF và NE Từ đó dễ thấy J thuộc cả hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) Vậy J phải thuộc giao tuyến AD của (ABD)

và (ACD) Tương tự câu a, ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD

27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm của

SC, M là một điểm di động trên cạnh SA Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua

C’M và song song với BC

a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định

b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp S.ABCD Xác định vị trí điểm

c) Khi M ≡ A thì D ≡ D' Gọi I = AB' ∩ DC' = MB' ∩D'C'

Khi M ≡ S ⇒ D' ≡ S nên S = MB' ∩ D'C'

Vậy tập hợp giao điểm của hai cạnh đối diện thiết diện khi M di động trên cạnh

SA là đường thẳng SI, trừ khoảng giữa SI

28 (BT tương tự) Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng (α) chứa tam giác

BCD Lấy E,F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC

a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC)

b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF)

29 (BT tương tự) C Cho hai điểm A, B cố định nằm ngoài mp(P) sao cho AB luôn

cắt (P) M là một điểm di động trong không gian sao cho MA∩(P) = A', MB∩

(P) = B'.Chứng minh rằng A’B’ luôn đi qua một điểm cố định

Xét mp(P) và (ABM) có:

B ' = (P ) ∩ M B

A ' = ( P ) ∩ M A

⇒ A ' B ' = (P ) ∩ (AMB) Gọi I = AB ∩ (P) ⇒ I A'B'

Mà AB và (P) cố định

⇒ I cố định Vậy A’B’ luôn đi qua điểm I cố

định

30 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD,

BC sao cho luôn có

a) Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định

b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước

31 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC, với

SI>IA, SJ < JC Một mp(P) quay quanh IJ và cắt SB, SD lần lượt tại M, N

a) Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng quy ( O = AC ∩ BD) Suy ra cách dựng

điểm N khi biết M

b) Vì S, E, F cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c) Gọi H là giao điểm của IJ và AC Chứng minh PQ luôn đi qua điểm H cố định

32 Cho hình chóp S.ABCD (AB không song song với CD) Điểm M di động trên

SA, (CMN) ∩ SB=N Chứng minh MN đi qua điểm cố định

Gợi ý: Xét (SAB) và (MCD)

Gọi M = (SAB) ∩ (MCD) , N = (SA) ∩ (MCD) Vậy MN = (SAB) ∩ (MCD)

II Hai đường thẳng song song

Dạng 1: Bài tập cơ bản giúp củng cố các khái niệm, tính chất cơ bản

33 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

a) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

c) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau

d) Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau

Đáp án: a, d

34 (BT tương tự) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Có thể tìm được hai đường thẳng song song cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước

b) Có thể tìm được hai đường thẳng cắt nhau cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước

c) Không thể tìm được hai đường thẳng song song hoặc hai đường thẳng cắt nhau cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước

- Định lý đảo của định lý Ta- let

- Tính chất của một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song (Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía

bù nhau

- Quan hệ tính vuông góc và song song

 Chứng minh đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3

 Áp dụng định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng

35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB là đáy lớn) Cho M, N lần lượt làtrung điểm của SA, SB

a Chứng minh MN //CD

b SC cắt AND tại K , AN cắt DC tại I Chứng minh SI //AB //CD

Gợi ý:

a) Dễ thấy MN là đường trung bình của hình thang

Trong SAB ta có MN / / AB

Mà AB / /CD (vì ABCD là hình thang) nên MN / /CD

b) Gọi E là giao điểm của AD và BC

 K là giao điểm của NE và SC Theo giả thiết I  AN  I SAB

I  DK  I SDC Suy ra SI SABSCD

Mà AB SABCD  SCD

Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng thì SI//AB // CD

36 Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC Biết

AD=a, BC=b Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAĐ và SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SB lần lượt tại P, Q

a) Chứng minh MN song song với PQ

b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ TínhEFtheoa, b

37 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Mặt phẳng

P qua MN và cắt BD, CD lần lượt tại H, K

a) Chứng minh MN / / HK

b) Xác định vị trí của H, K để MNKH là hình bình hành

Gợi ý

a) Mặt phẳng P và BCD chứa hai đường thẳng song song Mà

HKPBCD

b) H, K lần lượt là trung điểm của CD, BD

38 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt

AN 

39 Cho điểm O ở ngoài mặt phẳng của hình bình hành ABCD Gọi I là một

điểm bất kì trên OA Mặt phẳng BIC cắt OD tại M

a) Chứng minh IM song song với AD và BC

b) IBvàMCcắt nhau tạiN Chứng minh rẳngONsong song vớiABvàCD

Gợi ý

a) IM là giao tuyến của hai mặt phẳng OAD và BIC  lần lượt chứa hai

đường thẳng song song AD và BC

b) ON là giao tuyến của hai mặt phẳng OAB và OCD lần lượt chứa hai

đường thẳng song song AB và CD

40 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,

DA

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b) Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AC, BD Tứ giác QRNS là hình gì? c) Chứng tỏ rằng ba đoạn MP, NQ, RS đồng quy tại trung điểm của chúng

Gợi ý

a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác

b) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác Suy ra QRNS là hình bình hành

c) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP, NQ cắt nhau tại trung điểm Hình bình hành QRNS có hai đường chéo NQ, RS cắt nhau tại

trung điểm mỗi đường

41 Cho hai đường thẳng d  và d ' cắt nhau tại A Gọi O là một điểm cố định

ở ngoài mặt phẳng xác định bới d và d ' Từ O vẽ đường thẳng  song song với d Gọi M, N là hai điểm di động lần lượt trên  và d'sao cho

OM  AN Từ M vẽ đường thẳng d '' song song với OA cắt d tại H

a) Chứng minh rằng NH song song với một đường thẳng cố định

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm MN và MH Chứng minh IJ song song với

một đường thẳng cố định

c) Gọi K là trung điểm của OA Chứng minh IK song song với một đường

thẳng cố định

Hướng dẫn

a) Chứng minh AOMH là hình bình hành  AHN là tam giác cân tại A

Từ đó suy ra NH song song với phân giác ngoài cố định Ax của góc tạo bởidvà d '

b) Chứng minh IJ // NH kết hợp kết quả câu a, suy ra IJ song song với

đường thẳng cố định Ax

c) Gọi G là trung điểm của NH Chứng minh AKIG là hình bình hành Từ

đó suy ra IK song song với phân giác trong cố định Ay của góc d, d '

42 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P, Q lần

lượt là các điểm thuộc cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP //CD,

b) Xét hai mặt phẳng SAD và SBC lần lượt chứa hai đường thẳng song song AD, BC. Áp dụng định lí về giao tuyến ta có đpcm

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC

b) Gọi M là một điểm trên SC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MAB và

SCD

Gợi ý

a) Hai mặt phẳng SAD và SBC có chung điểm S và lần lượt chứa hai

đường thẳng song song AD và BC

Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng a qua S và song song với AD và

BC

b) Hai mặt phẳng MAB và SCD có điểm chung M và lần lượt chứa hai

đường thẳng song song AB và CD

Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng b qua M và song song với AB và

CD

44 Cho hình chóp có đáy S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D

với AD  CD và AB  2CD

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD 

b) Gọi E là trung điểm của AB Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng SAD

Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng b qua S và song song với AD và EC

Ta có AE  EB  CE  AD nên tam giác ABC vuông tại C

AC

BC 

Từ (1) và (2) ta có DE / / BC

Hai mặt phửng (SDE) và (SBC) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song DE và BC

Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng c qua S và song song với DE và

a) Trong tam giác ABC có IA  IC; JB  JC

 IJ là đường trung bình của của tam giác ABC 



IJ // AB 

Mặt phẳng IJK  và ABD có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường

thẳng song song

IJ và AB  giao tuyến của mặt phẳng IJK  và ABD là đường thẳng Kx

qua K, song song với IJ và AB Gọi H là giao điểm của Kx và AD Khi đó

(IJK ABC  IJ; IJK ABD  KH 



(IJK BCD  JK; IJK ACD IH 

Vậy thiết diện của tứ diện với mặt phẳng IJK là hình thang IJKH IJ //

HK

23

13

2

2 2

2

1360cos.4.3.2)4()3

(

cos 2

a a

a a

a

BKJ BK

BJ BK

BJ JK

2 2

2

JK PJ

2

51)

23(2

a a

46 Cho tứ diện ABCD; gọi I là trung điểm của BC; M là một điểm trên cạnh DC;

mặt phẳng  qua M và song song với BC và AI Tìm giao tuyến của hai mặt

phẳng

a)  và BCD

b)  và AID

Gợi ý

a) Giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với BC

b) Giao tuyến là đường thẳng qua N và song song với AI

AM  Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng DBCvà DMN

Gợi ý

Chứng minh MN// BC

III Đường thẳng song song với mặt phẳng

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp giải:

 Ta chứng minh đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung

 Ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng

49 Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy

điểm M sao cho MB = 2MC Chứng minh rằng MG// (ACD)

50 (BT tương tự) Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)

51 (BT tương tự) Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng

phân biệt Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của AE và BF a) Chứng minh rằng OO′ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE)

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE Chứng minh rằng MN // (CEF)

52 (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi

G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N Chứng minh rằng NG // (SCD)

c) Chứng minh rằng MG // (SCD)

53 (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn

là AD và AD = 2BC Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD

a) Chứng minh rằng OG // (SBC)

b) Cho M là trung điểm của SD Chứng minh rằng CM // (SAB)

c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho Chứng minh rằng SA // (BID)

Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

Phương pháp giải:

Ta có thể dùng định lí sau:

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β) chứa d

và cắt (α) theo giao tuyến d′ thì d′ song song với d

54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của

AC và BD, M là trung điểm của SA Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và đồng thời song song với SC và AD

Theo nhận xét trên,ta có MN // PQ và NP// SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ

Dạng 3: Bài toán về quỹ tích điểm, điểm cố định

55 Cho tứ diện ABCD Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng

(α) song song với AB và CD Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD

và AD tại N, P và Q

a Tứ giác MNPQ là hình gì?

b Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC

56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD M là một

điểm di động trên đoạn AB Một mặt phẳng (α) đi qua M và song song với

SA và BC; (α) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P và Q

a Tứ giác MNPQ là hình gì?

b Gọi I là giao điểm của MN và PQ Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định

IV Hai mặt phẳng song song

Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau

Phương pháp giải:

 Ta có thể chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba

 Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia

57 Cho hình bình hành ABCD Từ các đỉnh A, B, C và D lần lượt kẻ các nửa

đường thẳng Ax, By, Cz và Dt song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz,

Dt)

Gợi ý

Ta có Cz//By nên Cz //(Ax, By) Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên

CD//AB nên CD // (Ax, By)

Mặt phẳng (Cz, Dt) chứa hai đường thẳng cắt nhau Cz, CD cùng song song với

(Ax, By) nên (Cz, Dt) // (Ax, By)

58 Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song

cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD) Một mặt

phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A', B', C' và

D'.Chứng minh rằng

a) (Ax, By) // (Cz, Dt) và (Ax, Dt) // (By, Cĩ)

b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ?

c) Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD'

59 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ờ trong hai mặt phẳng phân biệt Trên

các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN Các đường thảng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại

M' và N' Chứng minh:

a) (ADF) // (BCE)

b) M'N' // DF

c) (DEF) // (MM'N'N) và MN // (DEF)

3 Cho tứ diện ABCD Gọi G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác

ABC ACD, ABD Chứng minh rằng ( ) // (BCD)

Dạng 2: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với một hình chóp khi cho biết (α) song song với một mặt phẳng xác định nào

60 Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD cóAD//BC, AD=2BC

Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE I là một điểm di động trên cạnh AC khác với A và C Qua I, ta vẽ mặt phẳng (α) song song vói (SBE).Tìm thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD

Gợi ý:

Ta thấy rằng tứ giác BEDC là hình bình hành vì:

Ta có thiết diện là tam giác

Trường hợp 2 I thuộc đoạn OC và I khác O Gọi vị trí này là , ( α) // (SBE) nên

Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE Khi đó, (SBE) = (α) (loại)

61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai

đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD dều Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = X (0 < X < a) Lấy (α) là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD)

a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD

b) Tim diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a,b, X.Tìm X để S lớn nhất

c)

Dạng 3: Bài tập về hình lăng trụ

62 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC' Gọi

I và I' tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C'

a) Chứng minh rằng AI // A' I'

b) Tim giao điểm của IA' với mặt phẳng (AB'C)

c) Tìm giao tuyến của (AB'C) và (A'BC)

63 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi H là trung điểm của A'B'

a) Chứng minh rằng CB'//(AHC)

b) Tim giao tuyến d của (AB'C') và (ABC)

Dạng 4: Bài toán về tập hợp điểm, mặt phẳng cố định

64 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt

phẳng Gọi M và N là hai điểm di động tương ứng trên AD và BE sao cho

BN  NE Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một

mặt phẳng cố định Hãy chỉ ra mặt phẳng cố định đó

65 Cho ba mặt phẳng (α), (𝛽), (𝛾) song song với nhau Hai đường thẳng a và a'

cắt ba mặt phẳng ấy theo thứ tự nói trên tại A, B, C và A', B, C' Cho AB = 5,

BC = 4, A'C’ = 18 Tính độ dài A'B, B'C'

66 Cho tứ diện ABCD Gọi / và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD

và BC sao cho IA JB

IB  JC Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định

67 Cho hai tia Ax, By chéo nhau Lấy M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax,

By Gọi (α) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax Đường thẳng qua M

và song song với AB cắt (α) tại M'

a) Tìm tập hợp điểm M'

b) Gọi I là trung điểm của MN Tìm tập hợp các điểm I khi AM = BN

V Phép chiếu song song

Dạng 1: Vẽ hình chiếu của một hình trong không gian lên một mặt

phẳng theo phương chiếu cho trước

Phương pháp giải:

Gọi M là một điểm bất kì của H

Dựng ảnh M ' của M trong phép chiếu song song

c) Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC Tìm ảnh của MN

và của tam giác MNE trong phép chiếu song song ở câu a

d) Tìm ảnh của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên P theo

phương trung tuyến SI của tam giác SAB

Gợi ý

a) Gọi SI là trung tuyến của tam giác SAB Từ G trên SI vẽ đường thẳng song

song với SC cắt CI tại G’ Ta có

IG '  IG  1

IC IS 3

Do đó G’ là trọng tâm của tam giác ABC Vạy ảnh của G trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương SC là trọng tâm G’ của tam giác ABC

b) Từ M và N vẽ các đường thẳng song song với SC cắt AC và BC tại M ' và N'

N B AS

AM AC

M A

Do đó M ' và N' lần lượt là trung điểm của AC và BC

Vậy ảnh của MN trong phép chiếu song song trên P theo phương SC là đoạn M 'N ' nối trung điểm của AC và BC

Trong phép chiếu trên, E có ảnh trên P là C Vậy ảnh của tam giác MNE

trong phép chiếu song song trên (P) theo phương SC là tam giác M’N’C

c) Từ M, N, E lần lượt vẽ các đường song song với SI cắt AB tại H, K và cắt

CF BS

BN BI

BK AS

AM AI

AH

Do đó H, K, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AI, BI ,CI

Vậy ảnh của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên P theo

phương SI là tam giác HKF

69 Cho tứ diện ABCD Hình chiếu song song theo phương d của ABCD lên

mặt phẳng Plà tứ giác lồi A ' B ' C ' D '

a Chứng minh rằng hai mặt phẳng tia chiếu của AC và BD cắt nhau theo một

đường thẳng  song song với d

b Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BD Cho phương d // IJ và P

cắt IJ Chứng minh A ' B ' C ' D ' là hình bình hành

Gợi ý

a) Gọi O là giao điểm của A'C' và B'D' Hai mặt phẳng tia chiếu A'CC'A' và

BDD'B' chứa O song song với phương d  Vậy giao tuyến d ' của chúng

qua O và song song với d

b) Khi d  song song với IJ và P cắt IJ , ta có hình chiếu song song theo

phương d  hay phương IJ của I và J trên P là điểm O Vì I và J lần lượt

là trung điểm của AC và BD nên O là trung điểm của A ' C ' và B ' D '

c) A ' B ' C ' D ' là hình bình hành

70 Vẽ hình chiếu của tứ diện ABCD lên mặt phẳng P theo phương

chiếu AB (AB không song song với mặt phẳng P)

Gợi ý :

giác A 'C 'D ' trong đó AB P   A '  B '; C', D ' lần lượt là giao điểm của

P với các đường thẳng qua C, D và song song với AB