chuyen de boi duong HSG

Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.... Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.[r]

CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI HSG TOÁN 8

Câu 1 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC

(M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM

a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân

b) Chứng minh : ME // BN.

c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

a

3

đ

Xét ∆OEB và ∆OMC

Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC

Và B1C1450

BE = CM ( gt )

Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c g.c)

 OE = OM và O1 O 3

Lại có O 2O 3  BOC  900 vì tứ giác ABCD là hình vuông

2 1

O O  EOM 900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân tại O

b

2đ

Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông  AB = CD và AB // CD

+ AB // CD  AB // CN 

MN MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*)

Mà BE = CM (gt) và AB = CD  AE = BM thay vào (*)

Ta có :

MN EB  ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)

c

1đ

Gọi H’ là giao điểm của OM và BN

Từ ME // BN  OME OH E  ' ( cặp góc so le trong)

Mà OME  450 vì ∆OEM vuông cân tại O

1

 ∆OMC  ∆BMH’ (g.g)

'

,kết hợp OMB CMH  '( hai góc đối đỉnh)

 ∆OMB  ∆CMH’ (c.g.c)  OBM MH C' 450

Vậy BH C BH M MH C'  '  ' 900 CH'BN

Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là

hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Ch ng minh r ng : AB.AH + AD.AK = ACứ ằ 2

E

K

H

C

A

D B

A

Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF

Chứng minh : BEODFO g c g(   )

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành

B

Ta có: ABCADC HBC KDC 

Chứng minh : CBH CDK g g(  )

CH CD CK CB

B,

Chứng minh : AFDAKC g g(  )

AF

AK

Chứng minh : CFDAHC g g(  )

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm)

Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ MEAB, MF AD

a Chứng minh: DE  CF

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 3

(6 điểm)

HV + GT + KL

a Chứng minh: AE  FM  DF

  AED  DFC  đpcm

b DE, BF, CM là ba đường cao của  EFC  đpcm

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

ME MF a

   không đổi

AEMF

S ME.MF

  lớn nhất  ME  MF (AEMF là hình vuông) M

 là trung điểm của BD

Bài 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng AB1 + 1

CD=

2

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Bài 6 (5 điểm)

a, (1,5 điểm)

Lập luận để có OM

AB =

OD

BD ,

ON

AB=

OC AC

0,5đ Lập luận để có ODDB=OC

AC

0,5đ

ON

b, (1,5 điểm)

Xét Δ ABD để có OM

DM

AD (1), xét Δ ADC để có

OM

AM

AD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB1 + 1

AM+DM

AD

0,5đ

Chứng minh tương tự ON ( 1

AB+

1

CD)=1

0,5đ

từ đó có (OM + ON) ( 1

AB+

1

AB +

1

CD=

2 MN

0,5đ

b, (2 điểm)

SAOB

SAOD

=OB

OD ,

SBOC

SDOC

=OB

SAOD

=¿ SBOC

SDOC

⇒

SAOB SDOC=SBOC SAOD

0,5đ

SAOB SDOC=¿

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

0,5đ

Do đú SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ

Bài 5:Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB .

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh:

4.1

+ Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BEC ADC1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

4.2

Ta có:

BC  BC  AC (do BECADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC1350 AHM 450

4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC

Suy ra:

GC AC , mà AB ED ABC DEC AH ED AH//  HD

Do đó:

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy

điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

4 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB .

5 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

6 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh:

4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BECADC1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

Ta có:

BC  BC  AC (do BECADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

4.2

nên

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC1350 AHM 450

4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC

Suy ra:

GC AC , mà AB ED ABC DEC AH ED AH//  HD

Do đó:

Cõu 7: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với

BC cắt BD ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I Chứng minh rằng:

a) DK = CI

b) EF // CD

c) AB2 = CD.EF

I

F

K

E

B A

a)

Tứ giỏc ABCK cú:

AB // CK (AB // CD, K CD)

AK // BC (gt)  ABCK là hỡnh bỡnh hành  CK = AB

 DK = CD – CK = CD – AB (1) Chứng minh tương tự, ta cú DI = AB

 IC = CD – DI = CD – AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC b)

DEK cú AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta cú:

AE AB

=

EK DK (3)

FIC có AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:

AF AB

=

FC IC (4)

Mà: DK = IC (câu a) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra:

AE AF

=

EK FC

AKC có

AE AF

=

EK FC  EF // KC (định lý Ta-lét đảo)  EF // CD

5

c)

Ta có:

AB CK

=

CD CD (vì AB = CK) (6)

BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có:

CK BE

=

CD BD (7)

BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có:

BE EF

=

BD DI

Mà DI = AB

Suy ra:

=

BD AB (8)

Từ (6), (7), (8) suy ra:

AB CK

=

CD CD

BE

= BD

EF

= AB



AB CD

EF

=

AB  AB2 = CD EE

Câu 8: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE =

AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF

Câu 4

1

(2.0 điểm)

N M

H F

E

B A

Ta có DAM = ABF  (cùng phụ BAH)

AB = AD ( gt) BAF = ADM = 90 (ABCD là hình vuông)   0  ΔADM = ΔBAF (g.c.g)

=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM

Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác.DAE = 90 (gt)  0 Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2

(2.0 điểm)

Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)

=



hay

=

AE AH ( AB=BC, AE=AF) Lại có HAB = HBC (cùng phụ   ABH)

ΔCBH ΔEAH

2 ΔCBH

ΔEAH

=

  , mà

ΔCBH ΔEAH

S

= 4

2

BC

= 4 AE

  nên BC2 = (2AE)2

 BC = 2AE  E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

3

(2.0 điểm)

Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:



=

=



Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

hay

=

AN MN



(Pytago)



(đpcm)

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi

c) Kẻ DH BC HBC

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH

Chứng minh CQPD.

I P

Q

H

E

D

A

M

4

a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g)

EA EB ED EC

b) Kẻ MI vuông góc với BC (IBC) Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g)

BM BD BI BC

(1) Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) . .

CM CA CI BC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra BM BD CM CA BI BC CI BC BC BI CI.  .  .  .  (  )BC2(không đổi) c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g)

2 2

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) BDP DCQ

mà BDP PDC 90o  DCQ PDC  90o CQPD

Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.

a Tính tổng:

AD BE CF

b Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2

c Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF

d Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN

Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định

O

K I

N

M

E

H F

A

D B

C

a

Trước hết chứng minh:

HD

AD =

S HBC

S ABC

Tương tự có:

BE S ABC ;

CF S ABC

Nên

AD BE CF =

S ABC



AD  BE CF = 1

b Trước hêt chứng minh BDHBEC  BH.BE = BD.BC

Và CDHCFB  CH.CF = CD.CB

 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (đpcm)

c Trước hết chứng minh: AEF ABC  AEF ABC

Và CDECAB  CED CBA 

 AEF CED mà EBAC nên EB là phân giác của góc DEF

Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE

Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF

nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)

d Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có OMH = 

ONC (c.c.c)  OHM OCN (1)

Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:OHC OCH  (2)

Từ (1) và (2) ta có: OHC OHB   HO là phân giác của góc BHC

Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và p/giác của góc BHC nên O là điểm cố định Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O

Bài 11: Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng

CD tại E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N

1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh

2/ Chứng minh: AK2 = KC KE

3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi

4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G Chứng minh rằng 2 2

1 1

AG

AM  không phụ thuộc vào

vị trí của điểm M

E

I

G K

B A

M

Cõu 1: 0, 75 điểm.

+ Từ MN // AB // CD và MI = IK ỏp dụng định lý Ta let ta cú NI = IE

( 0,25 điểm )

+ Chỉ ra tam giỏc AMK vuụng cõn tại A để cú AE  KM ( 0,25 điểm )

+ Tứ giỏc MNKE là hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau nờn MNKE là hỡnh thoi ( 0,25 điểm )

Cõu 2: 0, 75 điểm.

+ Từ tớnh chất hỡnh vuụng cú ACK = 45 0 ( 0,25 điểm )

+ Chứng minh hai tam giỏc AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM ( 0,5 điểm )

Cõu 3: 1, 0 điểm.

+ Từ hai tam giỏc ABM và ADK bằng nhau ta cú MB = DK nờn EK = MB + ED ( 0,25 điểm )

+ Tam giỏc AMK vuụng cõn tại A cú MI = IK nờn AI là trung trực của MK do đú ME =

EK ( 0,25 điểm )

+ Từ đú ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a ( 0,25 điểm )

+ KL: ( 0,25 điểm )

Cõu 4: 1, 0 điểm.

+ Tam giỏc AMK vuụng cõn tại A nờn AM = AK; do đú

2 2

1 1

AG

1 1

AG

AK  ( 0,25 điểm )

+ Tam giỏc AKG vuụng tại A nờn AK AG = KG AD = 2 dt AKG, do đú AK2 AG2 =

KG2 AD2 ( 0,25 điểm )

+ Mặt khỏc lại cú KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nờn ta cú

AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay 2 2 2

2

AK

AG AK





, suy ra 2 2

1 1

AG

1

a

( 0,25 điểm ) Bài 13 :

Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , trờn cạnh AB và CD lần lượt lấy cỏc điểm M , K sao cho

AM = CK Lấy điểm P nằm trờn cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ) Nối PB , PC cắt MK tại

E , F Chứng minh SPEF=SBME+SCKF

Bài 14:

Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a Một điểm M chuyển động trên cạnh DC (M D,

M C) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho ∠ MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F

1 Chứng minh: ° ABF # °AMC

2.Chứng minh ∠ AFM = ∠ AEN = 90o

3 Chứng minh S Δ AEF = 1

2 S Δ AMN

4 Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC

5 Gọi H là giao điểm của MF và NE Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2

Giải

Bài 14:

I H F

E

N

M

B A

1 Chứng minh: ° ABF # °AMC ( 1,25 điểm)

-Ta cm: ∠ ABF = ∠ ACM = 450

- ∠ BAF = ∠ MAC ( vì cùng cộng với góc CAN bằng 450 )

suy ra : ° ABF # °AMC

2 Chứng minh ∠ AFM = ∠ AEN = 90o ( 1,5 điểm)

Từ  AFB #  AMC (g.g)

=> AF

AB

AC ⇔AF

AB=

AM

AC (1)

Có ∠ MAF = ∠ BAC = 45 0(2)

Từ 1 và 2 =>  AFM #  ABC

=> ∠ AFM = ∠ ABC = 90o

C/M hoàn toàn tơng tự có ∠ AEN = 900

vì vậy ∠ AFM = ∠ AEN = 90o

3 S  AEF = 1/2 S  AMN (2 điểm)

Có  AFM #  AEN => AF

AE AN

=>  AEF #  AMN (c.g.c) =>

AF

AM ¿

2

(1) SAEF SAMN=¿

Có ∠ FAM = 450, ∠ AFM = 900

=>  AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2

=>

AF

AM ¿

2

¿

= 1 2

Thay vào (1) ta đợc SAEF

1

2 hay: S  AEF = 1/2 S  AMN

4 C/M chu vi  CMN không đổi ( 1,25 điểm)

Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN

 ADK =  ABN => AK = AN và ∠ BAN = ∠ DAK

do đó  AMN =  AKM (c.gc) => MN=KM

Vì vậy: Chu vi  CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN

= CD + KD + CN = CD + NB + CN

= CD + CB = 2a không đổi

Tức là: Chu vi  CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC

5 Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2 (2 điểm)

Kẻ HI ^ MN tại I

- Cm: ° MHI # ° MNF => MH.MF =MI.MN

- Cm: °NHI # °NME => NH.NE =NI.NM

- suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI ) = MN2

- áp dụng định lí Pitago vào °CMN ta có: MN2 = MC2 +CN2

Vậy: MH.MF + NH.NE = MC2 +CN2

Bài 15:Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K

a Chứng minh ABC đồng dạng EFC

b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N

và D Chứng minh NC = ND và HI = HK

c Gọi G là giao điểm của CH và AB Chứng minh:

AH

6

Giải

G

N

D

K

I

M

H

F

E

A

Ta có AEC BFC (g-g) nên suy ra

Xét ABC và EFC có

CF CBvà góc C chung nên suy ra ABC EFC ( c-g-c)

Vì CN //IK nên HM CN  M là trực tâm HNC

 MN CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD

Do M là trung điểm BC nên  NC = ND

 IH = IK ( theo Ta let)

Ta có:

AHC ABH AHC ABH AHC ABH CHE BHE CHE BHE BHC

AH



Tương tự ta có

BHC BHA AHC

BH





và

BHC AHC BHA

CH





AH BH CH

AHC ABH BHC

S



 BHC BHA

AHC

S



 BHC AHC

BHA

S



=

AHC ABH

BHC BHC

BHC BHA AHC AHC

BHC AHC BHA BHA

S  S 6 Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì

AB < AC nên không xảy ra dấu bằng

Câu 16 :

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N

a) Chứng minh OM=ON

b) Chứng minh AB1 + 1

CD=

2

c) Biết SAOB=a2;SCOD=b2 Tính SABCD ?