Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC... híng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái CẤP TRƯỜNG.[r]
Trang 1phòng giáo dục & đào tạo lP
TRƯỜNG THCS PHÚ HỮU
Đề thi chọn học sinh GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2015 - 2016
Môn toán – LỚP 8
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 10 tháng 11 năm 2015
Đề thi có 01 trang
Bài 1 (3 điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)
Bài 2 (6 điểm) Cho biểu thức:
2
2
a) Rỳt gọn biểu thức A
b) Tớnh giỏ trị của A, biết x =
1
2 c) Tỡm giỏ trị của x để A < 0
d) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn
Bài 3 (5 điểm)
a) Tỡm x, y, z thỏa món phương trỡnh sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
b) Cho 1
x y z
a b c và 0
a b c
x y z Chứng minh rằng :
x y z
a b c
Bài 4 (1 điểm)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4− 2 a3+3 a2−4 a+5
Bài 5 (5 điểm)
Cho tứ giỏc ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AD,
BC, AC.
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2
c) Từ hệ thức trờn, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giỏc ABCD là hỡnh thang.
Hết
-Lu ý: Thí sinh thi môn Toán không đợc sử dụng Máy tính cầm tay.
Trang 2phòng giáo dục & đào tạo lP
TRƯỜNG THCS PHÚ HỮU
hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi
CẤP TRƯỜNG
Năm học 2015 - 2016 Môn: toán - lớp 8
Bài 1: (3 điểm)
a) (1,5
điểm) 3x
b) (1,5
điểm) a(x
2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 0,5đ
Bài 2
6 điểm
Biểu thức:
2
2
a) Rỳt gọn được kq:
1 A
x 2
b)
1 x 2
2
hoặc
1 x 2
4 A 3
hoặc
4 A 5
1.5đ
d) A Z 1 Z x 1;3
Bài 3 (5 điểm)
a)
(2,5)
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
b)
(2,5) Từ :
ayz+bxz+cxy
a b c
Ta cú :
2
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
Trang 32 2 2
x y z cxy bxz ayz
x y z
dfcm
a b c
Bài 4
(2 điểm)
Biến đổi để có A= a2
(a2 +2)−2 a(a2 +2)+(a 2 +2)+3 0,5đ
(a2+2)(a2−2 a+1)+3=(a2+2) ¿
0,5đ
Vì a2+2>0 ∀ a và a −1¿2≥0 ∀ a
¿ nên a −1¿2≥0 ∀ a
(a2+2) ¿ do đó
a −1¿2+3 ≥ 3∀ a
(a2+2)¿
0,5đ
Bài 5 (5 điểm)
I
F E
A
B
C D
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2
Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD
Suy ra:
1
EI = DC
Tương tự :
1
IF = AB
Trang 4Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
1
EF AB + CD
2
(0,5 đ)
c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang.
Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó
Suy ra:
AB + CD
EF =
Ngược lại: nếu ta có
AB + CD
EF =
Suy ra: tứ giác ABCD là hình thang