DE THI HSG CAP TINH TOAN 9 NAM 2014 2015

THỰC HIỆN LỜI GIẢI: Giáo viên môn công nghệ: Phan Lâm Trường THCS & THPT Tân Tiến Trong quá trình đánh máy có gì sai sót Phan Lâm mong đọc giả điều chỉnh hộ..[r]

UBND TỈNH BÌNH PHƯỚC

SỞ GIÁỌ DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi gồm có 02 trang)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

CÁP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

(không kê thời gian phát đê)

Bài 1:

a 1 a 1 a a a a 1

a Tìm điều kiện của a để P có nghĩa

b Tìm các giá trị của a để P1

c Tìm giá trị của P biết a 2015 2 2014

2 Tìm GTLN và GTNN của

2 2

x 1

x x 1





 

Bài 2:

1 Cho phương trình: x22mx2m2  1 0 (m là tham số)

a Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2 thỏa mãn: x13x12x32 x22  2

2 Giải hệ phương trình:

2 2

8xy

x y 5

x 12 x y 3 x 5

2







Bài 3:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính EF Vẽ tia Ot vuông góc với EF Tia Ot cắt nửa đường tròn tại I Lấy điểm A trên tia Ot sao cho IA = IO Vẽ hai tiếp tuyến AP, AQ (P, Q là các tiếp điểm) với nửa đường tròn chúng cắt EF lần lượt tại B và C

a Chứng minh rằng tam giác ABC đều

b Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại S thuộc cung PQ (S không trùng với P, Q, I) cắt AP,

AC lần lượt tại H, K PQ cắt OH, OK lần lượt tại M, N Chứng minh rằng M, O, Q, K cùng thuộc 1 đường tròn

c Chứng minh rằng HK = 2.MN

Bài 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác của các góc A, B, C cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại D, E, F

a Chứng minh rằng: 2.ADABAC

b Chứng minh rằng: AD BE CF   lớn hơn chu vi tam giác ABC

Bài 5:

a Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 2y2 3xy   x y 3 0

b Chứng minh rằng 2n33n2 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

………HẾT……

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1 Ta có:

   

:

a 1 a 1 a a a a 1

   

2

a 1

a a 1

:

a 1 a 1 a 1

       

a P có nghĩa khi: 0 a 1

b P a a 1 : a 1 a a 1 1 a 2 0 a 1

c Khi a2015 2 2014

2015 2 2014 2 2014 2 2014 3 3 2014

2014 2014

2015 2 2014 1

2 Tìm GTLN và GTNN của

2 2

x 1

x x 1





 

Ta có:

2 2

x 1 x 2x 2 (x 1)

x 1 Q

x x 1





Mặt khác:

x 1 2 2 3x 2 2x 2x 2 (x 1) 2 2

x x 1 3 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3 3

Vậy min Q 2

3

 và maxQ2

Bài 2:

1 Cho phương trình: x22mx2m2  1 0 (m là tham số)

a Phương trình có 2 dương phân biệt khi:

2

1 2

2

1 2

1

2

x x 0 2m 1 0















b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2 khi

' 0 2m 0 m 0

Ta có:

 

x x x x   2 x x (x x ) 3x x    (x x ) 2x x  2

2m (2m) 3(2m 1) (2m) 2(2m 1) 2

2

m 0 2m(3 2m ) 0 6

m

2









(2)

Từ (1) và (2) suy ra m 6

2



2 Giải hệ phương trình:

 

 

1 2

8xy

x y 16

x y 5

x 12 x y 3x x 5

2













Diều kiện: x   y 0

Ta có:   2 2

x y



2xy 8xy 16 2xy 0 x y 4 8xy 2xy x y 0

x y

y 4 x *

x y 4(x y)

x y

 







Thế  * và  2 ta được 2 2  

3

5 3x x

3

x  12  x  5   

2 2

(3) x  12 5 3x    x  5 0

x 12 x 5

(x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

3(x 2) 0

x 12 x 5

x 12 x 5

Với

Do đó (4) có nghiệm khi x 2 0       x 2 y 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y)  (2; 2)

Bài 3:

a Trường hợp: ABADAC

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC

Ta có: AKD AHDDHDK BHD CKDBHCK

Trong hai tam giác AHD và AKD có AD AH AB BH 2AD AB AC

AD AK AC CK

Các trường hợp AB AC AD, ACADAB ta cũng có: 2ADABAC (đpcm)

b Ta có chu vi tam giác ABC: PABBCCA

Tương tự ở câu a, ta chứng minh được 2BE BABC và 2CFCACB (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AD BE CF)  AB AC BA BC CA CB     2(AB BC CA) 

È

E

D

C

B

A

K

H

ADBECFABBCCAP (đpcm)

Bài 4 :

a Ta có: AP OA2OP2  3OP

OA 4OP 4 3

AP 3OP 3

2

2

BC 2OB 2 AB AO 2 OP 2OP 2

Suy ra ABACBC hay ABC đều

b POIQOIPOHHOIQOS SOI SOHHOISOI2HOI

1

QOS HOI KOM QKM QOA

2

      M, O, Q, K cùng thuộc một đường tròn

c Gọi J là giao của AO và PQ, APAQ và ABACPQ // BCAOPQ tại J

APQ

 đều OJJI

SO SH 2

2JM SK

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2JN2JMSH SK HK2MN (đpcm)

Bài 5:

a Giải phương trình nghiệm nguyên

y(x y) (x y) 3 x 2y 1) 3

x 2y 3xy x y 3 0     (x y)       (x y)(    

I

S

M

N

K

H

Q

P

B

B

Trường hợp 1: x y 1 x 4



x y 3  





  

x y 1  





  





 

Vậy nghiêm của phương trình là: (x; y)(4; 3) hoặc ( 8; 5) hoặc ( 6; 5) hoặc (6; 3)

b Chứng minh rằng 2n33n2n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Ta có: 2n3 3n2  n n n 1 n   2 là tích của ba số nguyen liên tiếp nên

n n 1 n 2 chia hết cho 2 và 3, do đó n n 1 n   2 chia hết cho 6 hay

2n 3n n chia hết cho 6

THỰC HIỆN LỜI GIẢI:

Giáo viên môn công nghệ: Phan Lâm Trường THCS & THPT Tân Tiến Trong quá trình đánh máy có gì sai sót Phan Lâm mong đọc giả điều chỉnh hộ