De HSG Toan 820162017 123

Đờng thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M và N.. Chøng minh r»ng: OM=ON..[r]

Phòng giáo dục & đào tạo

Huyện sông lô Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện vòng i

Năm học 2011 - 2012 Môn: Toán - lớp 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I: (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:



x x x 1 x 2x 1

b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x3 ax  b chia hết cho đa thức x2  x 6

Câu II: (2 điểm)

Giải các phơng trình sau:

a)

2

1

x 3x 4 x 4 x 1

b) x x  2 x 1 x 1        24

Câu III: (2 điểm).

a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn:

  

1 1 1

0

x y z

Tính giá trị của biểu thức:

A

x 2yz y 2xz z 2xy

b) Cho biểu thức M =

  2

2

x 2x 2012

x với x > 0 Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu IV: (3 điểm ).

Hình thang ABCD(AB // CD) có hai đờng chéo cắt nhau tại O Đờng thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M và N

a Chứng minh rằng: OM=ON

b Chứng minh rằng: 1

AB+

1

CD=

2

MN

c Biết: SAOB= 20112 (đơn vị diện tích); SCOD= 20122 Tính SABCD ?

Câu V: (1 điểm).

Cho a , b là các số dơng thỏa mãn: a3 b3 a5 b5 Chứng minh rằng: a2 b2   1 ab

=============Hết============

Đáp án và biểu điểm:

I

2 đ 1 đa) ĐKXĐ: x

Rút gọn A:













2

2

x x x 1 x 2x 1

x x 1 x 1 x 1

x 1

1 x

x x 1 x 1

x 1 A

x

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

b)

1 đ f(x) chia hết cho  

2

x x 6  f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)

 f(- 3) = 0  3ab27 (1) Tơng tự ta có f(2) = 0 2ab8 (2) Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35  a7 Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

II

2 đ

a)

1 đ ĐKXĐ: x4 ; x1





     



2

2

2

x 3x 4 x 4 x 1

1

x 4 (x 1) x 4 x 1 15x 12 x 1 4 x 4 x 3x 4

x 4x 0

x 0

x x 4 0

x 4

x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

b)

1 đ x x 2 x 1 x 1          24

 2  2  

x x 1 x 2 x 1 24

x x x x 2 24

Đặt x2 x = t Phơng trình trở thành:

   

 2   

t t 2 24

t 2t 24 0

Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6

* Với t = - 4 => x2 x4

         

2

(phơng trình vô nghiệm)

* Với t = 6 => x2 x   6 x  2 x 3     0

Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

III

2 đ 1 đa)

Từ giả thiết:

 

1 1 1 yz xz xy

x,y,z >0)

   

 yz  xy xz   x  2yz  x  yz xy xz    x  z x  y

Tơng tự ta có: z22xy=z  x z   y

y22xz=y  z y x   

Khi đó:                  

A

x z x y y z y x z x z y









yz y z xz z x xy x y

x z x y y z

yz y z xz x z xy x z y z

x z x y y z

yz y z xz x z xy x z xy y z

x z x y y z

x x z y z y y z x z

x z x y y z

x z x y y z

1

x z x y y z

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

b)

1 đ

Ta có: M =



x 2x 2012 2012x 2.2012x 2012



2

x 2.2012x 1 2012 2011x

2011x

x 2012 2011x x 2012 2011 2011

Dấu “=” xấy ra  x  20122   0 x  2012

(thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

2011

2012 đạt đợc khi x  2012

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

IV

3 đ

a) 1đ

O

N M

B A

0,25 đ

Lập luận để cú OMAB = OD

BD , ONAB= OC

AC

Lập luận để cú ODDB= OC

AC

AB =

ON

AB ⇒ OM = ON

0,25đ 0,25đ 0,25đ

b) 1đ

Xột Δ ABDđể cú OMAB = DM

AD (1), xột Δ ADCđể cú OMDC = AM

AD (2) 0,25đ

Từ (1) và (2) ⇒ OM.(AB1 + 1

CD)¿ AM+DM

AD

AD=1

Chứng minh tương tự ON.( 1

AB+

1

CD)=1

từ đú cú (OM + ON).( 1

AB+

1

CD)=2⇒ 1

AB+

1

CD=

2 MN

0,25đ 0,25đ 0,25đ

c) 1đ

= OB

OD,SBOC

= OB OD

= ¿SBOC

⇒ SAOB SDOC=SBOC SAOD

Chứng minh được SAOD=SBOC

⇒ SAOB SDOC= ¿

Thay số để cú 20112.20122 = (SAOD)2⇒ SAOD = 2011.2012

Do đú SABCD= 20112 + 2.2011.2012 + 20122 = (2011 + 2012)2 = 40232 (đơn vị DT)

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

V

1 đ

1 đ

  

2 2

a b 1 ab

2 2

2 2

3 3

 ab a2 b2 2  0

đúng  a, b > 0

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

Ghi chú: Nếu HS có cách làm khác mà kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa