[r]
Trang 1Sở Giáo dục − đào tạo
Nam định
đỀ CHÍNH THỨC
Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên
Năm học 2008 − 2009 Môn: Toán − Ngày thứ nhất Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (4 ựiểm):
CMR trong 4 số thực dương không nhỏ hơn 1 luôn tồn tại 2 số a;b thỏa mãn
( 1)( 1) 1 3
2
ab
Bài 2 (5 ựiểm):
Cho x;y là các số nguyên dương thỏa mãn
2 2
6
x y xy
Tìm tất cả các cặp số (x;y) ựể
2 2
6
x y xy
+ + là lập phương của 1 số tự nhiên
Bài 3 (2 ựiểm):
Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn ựồng thời 2 ựiều kiện sau với mọi cặp
số thực x;y:
i) f(x) ≥ e 2009x với lim 1 1
x
x
e
x
→∞
ii) f(x+y) ≥ f(x).f(y)
Bài 4 (5 ựiểm):
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tắch là S đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d
13a +6b − +c 2d ≥4S 2
Bài 5 (4 ựiểm):
Cho dãy số {x n } xác ựịnh bởi:
0
1
0
( 1)
2008
n n
n
x
x
=
CMR dãy số {x n 2 } có giới hạn hữu hạn và tắnh 2
lim n
x x
→+∞
Hết