Cong thuc toan day du

www.facebook.com/toihoctoan

Mũ

•



 

•
  
   

•


 


• 


•   

 


• & ' ( ' )
!


•
! &* ( +  "
,-
.-/ 01  21

• 3
,-!
.-4 # 01 ! 56

• 3
,-!
.-4 # 01 ' 56

• 7  18

+ ℝ nếu α nguyên dương

+ ℝ +

nếu α nguyên âm hay α = 0

+ (0 ; + ∞ ) các trường hợp còn lại

Logarit : >B2

• >B2 
H I J K

• >B29  >B2 M >B2

• N >B2 O >B29

• >B2L F >B2

• >B2 O >B2  >B2

• >B2  >B29  >B2  H.H.IIN

• >B2 H.P Q L>B2

• 3>B201  >B221

! &* ( +  / 3 01 ! &01  2144

• 3>B201 ! >B221

!  / 3 21 ! &01 ! 5644

• 3>B201 ! >B221

& ' ( '  / 3 01 ! &01 ' 5644

-V  7WV S-V S

X

V

SVX O XXY VS FS[V OFSSYV

S \ X \ ]V SV\ XV\ ]V V SVX] M SXV] M SX]V

18V α 18

Z1[V O1Y R1TV 

`1

aGC 1V 9Ba 1

9Ba 1V O aGC 1

b
C 1V9BaY1

9Bb 1V OaGCY1


-V
->C

c-V c

->B21V 

>C 1V1

S8V α S8 Sd

ZS[V OSSYV RSTV SV

`S

aGC SV Sd 9Ba S

9Ba SV OSd aGC S

b
C SV9BaSdYS

9Bb SV OaGCSdYS


WV
W SV >C

cWV SdcW

>B2SV Sd

>C SVSdS

e &f1  _

e f1  1 M _

g1 f1  >C h1h M _

e cL-f1 F cL-M _

e 18f1  18

e
-f1 >C
M _

-e aGC F1 f1  OF 9BaF 1 M _

e 9Ba F1 f1 F aGC F1 M _

g9BaY1 f1  b
C 1 M _

gaGCY1 f1  O 9Bb 1 M _

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :





N

Thể tích vật thể tròn xoay:

1n K o Cp1p



 pq

 K

aYK o Cp1pY

J

pq

OKYro Cp1p

J pq

s

Y

Thống kê : Cho mẫu số liệu kích thước N {x1,x2,…,xN }

số trung bình: 1n -t -uv-

J Jw 1J p

pq

Phương sai : aYJw 1J pY

pq OJuRw 1Jpq pTYJw 1Jpq p Y

S gọi là ñộ lệch chuẩn

Nếu mẫu số liệu cho ở dạng bảng phân bố tần số hay tần số ghép lớp:

p$p



 x<  1p

l<  1O yYM 1YO yYM v 1O yY o1pO yY $p

 pq

p

Y$p

 pq

s O yY

p x<  1p

biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1,x2,…,xn }

Kỳ vọng : z<  1$M 1Y$YM v 1$

Phương sai :

ðộ lệch chuẩn : {<  |l<


\ Y
Y\ `
 M Y ; 
\ }
}\ ~
Y M ~
Y\ }

YO Y 
M 
O  ;
}\ } 
\ 
Y
 M Y

_ _L M _L _L


M  o _
L L



 _
M _
 M v M _

Tổ hợp và xác suất:

€L LL ;x C  `~  C

hƒh

• x€† €Y†  † € 

x€ M x€Y M v x€ €p

• x€€Y €  x€x€Y  x€ p

ŠŒ

xF  _ $L O $L

• P(AB)=P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

• P(A1A2…An)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

• €p

• ‰
7ca " x€Lˆ‰  Š‹Q ŠŒˆ‹ Q

wŽt Š‹ Ž ŠŒˆ‹ Ž

XS biến cố A xuất hiện ñúng k lần trong n phép thử Becnuli:

GL L G GLY O GL} OG

M G 
VM VG / ‘

V   d’


M G \ 
VM VG  
\
V M  \ VG


M G
VM VG  

VO V M 
VM 
VG

h“ “Vh  h“h h“V Vh  h“h M h“V

“h“hY ““  “V V ““h“hV “nY““ “nV “n

Z““ [V

nnnnnn

“…V ““ – V h“h“hVh

Số phức:

ðơn vị ảo i: GY O

• dạng ñại số : “ 
M G ,a,b ∈ ℝ

nnnn  “n“d…

z là số thực

h“h  
Y Y=

Y ]

”

š

›

œ

›

 “““V žžV V M GaGC  M  V¡

“VžžV V M GaGC  O  V¡

“ ž

“

  ž Z9Ba  M `FmC   M `FmC [

4

F  &  C O nnnnnnnnnnnn

nếu z = x+yi , w = a+bi thì :31Y`17  O 7Y
4

› Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là \

› Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là

› Phương trình bạc hai : €“YM ‰“ M _  &

¢  ‰YO £€_ ; δ là một căn bậc 2 của e

*YŒ\¥Y‹  “Y OY‹Œ

• Dạng lượng giác:

“  ž(cos +isin ) với ¦9Ba   Y Y

§

§

“  ž(cos +isin ) “d  žd(cos ^+isin ^)

aGCY1 M 9BaY

b
C 1 aGC 1 9Ba 1

 M b
CY1 9BaY1

 M 9BbY1 aGCY1

Lượng giác :

b
C 1 9Bb 1  

aGC 1 aGC 7 ` Ÿ9Ba1 O 7 O 9Ba1 M 7¡ aGC 1 9Ba 7 ` ŸaGC1 M 7 M aGC1 O 7¡ 9Ba 1 9Ba 7 ` Ÿ9Ba1 M 7 M 9Ba1 O 7¡ Tích thành tổng:

aGC1 \ 7  aGC 1 9Ba 7 \ aGC 7 9Ba 1 9Ba1 \ 7  9Ba 1 9Ba 7  aGC 1 aGC 7 b
C1 \ 7   b
C 1 b
C 7b
C 1 \ b
C 7 Cộng:

aGC 1 M aGC 7  ` aGC1 M 7` 9Ba1 O 7` aGC 1 O aGC 7  ` 9Ba1 M 7` aGC1 O 7` 9Ba 1 M 9Ba 7  ` 9Ba1 M 7` 9Ba1 O 7` 9Ba 1 O 9Ba 7  O` aGC1 M 7` aGC1 O 7`

aGC1aGC7

Tổng thành tích :

aGCm` M
  9Ba
9Bam` M
  O aGC
b
Cm` M
  O9Bb
9Bbm` M
  Ob
C

aGCm` O
  9Ba
9Bam` O
  aGC
b
Cm` O
  9Bb
9Bbm` O
  b
C
aGCm O
  aGC

9Bam O
  O9Ba
b
Cm O
  Ob
C
9Bbm O
  O9Bb

aGCm M
  OaGC
9Bam M
  O9Ba
b
Cm M
  b
C

9BbOα  O9Bbα

aGCm` M
  9Ba
9Bam` M
  OaGC
b
Cm` M
  O9Bb
9Bbm

9Bbm M
  9Bb

¨©COα  OaGCα 9BaOα  9Baα b
COα  Ob
Cα

YM YaGC1 M α


YM Y




YM Y

aGC 1 \ 9Ba 1  ` aGC1 \m£

aGC ~1  ~ aGC 1 O £ aGC}1 9Ba ~1  £ 9Ba}1 O ~ 9Ba 1 Nhân ba :

Y1 O aGCY1 `  ` 9BaY1 O 

  O ` aGCY1 b
C `1  O b
C` b
C 1Y 9Bb` 9Bb 1Y1 O 

aGCY1  O 9Ba `1` Y1  M 9Ba `1`

b  b
C` ” aGC1 1  M b`bY

 O bY

 O bY

Nhân ñôi và hạ bậc : aGC `1  ` aGC 1 9Ba 1

£ªY `YM `9YO
Y

j `
 D` 9aGC€ 
9£«  $ž 

 |$$ O
$ O $ O 9

aGC€ aGC‰  aGC_  `«9

Trung tuyến:

Diện tích tam giác :

ðl hàm số Cosin:
Y YM 9Y-2bc.cosA

ðl hàm số sin:

& ~& £¬ ­& ®& sin

& ` `` ~`  cos

 ~` `` ` & tan

& ~~  ~ hh cot hh

~  ~~ &

aGC 1  aGC α

1  m O α M F`m4

1  Oα M F`m4 b
C 1  b
C α / 1  α M Fm 9Bb 1  9Bb α / 1  α M Fm

°

±

±

±

±

±

±

±

² aGC 1   / 1 m` M F`m aGC 1  O / 1  Om` M F`m aGC 1  & / 1  Fm 9Ba 1   / 1  F`m 9Ba 1  O / 1  m M F`m 9Ba 1  & / 1 m` M Fm

4

aGC 1  ª Phương trình:

Có nghiệm / hªh  

Có nghiệm /
YM Y˜ 9Y

S µ* S S

SLSLM S` L

S SM C O f

jCS`M SCŸ`SM C O f¡`

j S O ¶ ¸ O ¶S

Cấp số Cọng :

Cấp số nhân :

SL SL SL  S ¶

>GªaGC 1 aGCS 1 ¹¸Z MC[ >Gª¹¸ M C c-O 
-O  >C M 1

1   Một số giới hạn :

Hệ 2 ẩn :

3
1 M 7  9
V1 M V


V V - º9 9d dº » º
9
d 9dº

¼

¼ ¾

¼

Hệ 3 ẩn :¿
V
1 M 7 M 9“  f1 M V7 M 9V“  fV

VV1 M VV7 M 9VV“  fVV

V V 9V

VV VV 9VVÀ + &4

Có nghiệm 6 ÁÂ

Á

Á Ä Á

Á Æ Á

với ÇÈ Àfd f V 99V

fVV VV 9VV » À

V ffV 99V

VV fVV 9VV É À

V V ffV

VV VV fVVÀ

h
h O hh  h
M h  h
h M hh

M 
YM Y

Y

M  M 9

~ ˜ 
9Ì

}M }M 9}

}


M
YYM v M
Y 
M v M
M v M 

• Bất ñẳng thức giá tri tuyệt ñối : Oh
h 
 h
h

• Cauchy:

Dấu bằng xảy ra khi các số hạng bằng nhau

• Bất ñẳng thức Bunhiacôpxki:

dấu bằng xảy ra khi :  t

 tu

 u v 

 

€  \‰4

h€h  ‰ / Í ‰ ˜ &O‰  €  ‰ Í ‰ ˜ & 44

€  ‰ / Í ‰ ˜ &€  ‰Y ‰ ˜ &€ ˜ &

€  ‰Y

͉ ' &€ ˜ &4

Í ‰ ˜ &€ ˜ ‰Y44 Trị tuyệt ñối và căn thức :

Õ1 7 “ / iÕÖÖÖÖÖÖ×  1 Ø×M 7 Ù×M “ FÖ×

Ö×  1 7 “ /
Ö×  1 Ø× M 7 Ù× M “ FÖ×

Ö×  Ö× / ¦1  1d7  7d

“  “d

Ö× \ Ö×  1 \ 1V 7 \ 7V “ \ “V

Ö× Ö×  11VM 77VM ““V

h
Ö×h  |1YM 7YM “Y VM 77VM ““V &

Ö× Ö×

h
Ö×h hÖ×h

11VM 77VM ““V

|1YM 7YM “Y |1VYM 7VYM “VY

€‰

ÖÖÖÖÖ×  1ŒO 1‹ 7ŒO 7‹ “ŒO “‹ ۀ‰ÖÖÖÖÖ×Û  |1ŒO 1‹YM 7ŒO 7‹YM “ŒO “‹Y

1‹M 1Œ

` 7‹M 7` Œ“‹M “` Œ Ü
Ö×* Ö×Ý  º77 “V “Vº º “ 1“V 1Vº º11 7V 7Vº

ÛÜ
Ö×* Ö×ÝÛ  h
Ö×h ÛÖ×Û aGC
Ö×* Ö×

jދŒß` Û܀‰ÖÖÖÖÖ×*€_ ‹Œß¼­ Û܀‰ÖÖÖÖÖ×*€_ÖÖÖÖÖ×Ý€=ÖÖÖÖÖ×Û

làà‹Œß¼‹ á Œ á ß á ¼ á Û܀‰ÖÖÖÖÖ×*€=ÖÖÖÖÖ×Ý€€V

Hình học giải tích trong không gian

Vectơ ñơn vị

Cho
Ö×  1 7 “ Ö×  1d 7d “d ;k ∈ ℝ :

ՀÖÖÖÖÖÖ×  F ՉÖÖÖÖÖÖ× / 1â-„ L- ã

L ⻄ L» ã

L âɄ LÉ ã

L

1 O
YM 7 O YM “ O 9Y «Y

1YM 7YM “Y YM YM 9YO f ! &

Mặt cầu :

Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R :

Phương trình :

+ Là PT mặt cầu tâm åO
O O9 Bk «  
YM YM 9YO f

+ Nếu YM YM 9YO f  & ta ñược 1 ñiểm åO
O O9

+ Nếu YM YM 9Y

Mặt phẳng α cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn ( C ) thì:

+ Tâm J của ( C ) là hình chiếu vuông góc của I lên (α)

+ Bán kính của ( C ) : ž  «YO fY

YM ‰YM _Y+ &

6 ( MÃæ MÅÑ  

V1 M ‰V7 M _V“ M =V &

xˆˆxV/€€V‰‰V__V+==V

x ç xV/€€V‰‰V__V==V

V/ €) ‰) _ + €V) ‰V) _d

x Ú xV/ €€VM ‰‰VM V

Mặt phẳng:

+ Nếu một vectơ pháp tuyến của (P) là : ÒÖ×  Ü(×* æÖ×Ý

+ Phương trình mặt phẳng (P) qua è 6 à Š nhận ÒÖ×  Ð Î é làm vectơ pháp tuyến : €1 O 1  M ‰7 O 7  M _“ O “   & + Phương trình tổng quát của mặt phẳng :

+Phương trình theo ñoạn chắn : mặt phẳng (P) không qua O ,cắt 3 trục tại A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) :

Vị trí tương ñối của 2 mặt phẳng

Trong các tỉ lệ quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử tương ứng cũng bằng 0

¦1  17  7 M b
M b

“  “ M b9

1 O 1

7 O 7 “ O “

€V1 M ‰V7 M _V“ M =V V4

ðường thẳng : +Phương trình tham số : ñường thẳng qua

Õ 1 7 “

+Phương trình chính tắc:

+ Phương trình tổng quát :

ðường thẳng này có 1 vectơ chỉ phương là : SÖ×  ÜCÖ×* CÖÖÖ×Ý với CÖ×CV ÖÖÖ× là V

vtpt của (P) và (P’) +Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng d qua M0 có vtcp SÖ× và d’ qua

M0’có vtcp SÖ×d :

ÖÖÖ×Ý  ¯SÖ×* ÕV ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê  &Ö× ÕV

fhhfV/ ëÜSÖ×* SV ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê + &Öג ÕV

V/ ‘ ÜSÖ×* SÖÖÖ×Ý ÕV ÕV ÖÖÖ×Ý + &Ö× } V

V/ ÜSÖ×* SÖÖÖ×ÝÕV ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ× + & ÕV

9Ba    h€€VM ‰‰VM Vh

€YM ‰YM _Y €VYM ‰VYM _VY

aGC  hSÖ×h hCÖ×h hSÖ× CÖ×h h€
M ‰ M _9h

€YM ‰YM _Y 
YM YM 9Y

9Ba    h

VM VM 99Vh


YM YM 9Y 
VYM VYM 9VY

Góc : +Góc giữa 2 mp

+Góc giữa ñường thẳng d có vtcp

+Góc giữa 2 ñường thẳng :

h€1đM ‰7đM _“đM =h

€YM ‰YM _Y

fÕ* f ÛÜÕÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×*SÖ×ÝÛÕ

hSÖ×h

íí* íV ºÜîÖ×* îÖÖÖ×Ý ỉV ỉV

ÛÜîÖ×* îÖÖÖ×ÝÛV

ñNầW£~ m«}

jòẳẵ§ụ

jïõóẵ§ụ j-M `j‡‚» `mžD M `mžY

lLăöpô§ụ fbð9D‡‚7 _DGềS_
B  mžYD

j-J: ườC2aGCD  πž>

jïJ: j-M j‡‚» mž> M mžY

~ mžY D

Khoảng câch :

+ Khoảng câch từ ñiểm Õ1đ* 7đ* “đ tới mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0



Khoảng câch giữa 2 ñường thẳng chĩo nhau d ( qua M0 có vtcp

(qua M’0 có vtcp îÖ×d) :

€1 O 1  M ‰7 O 7   &

f)
1 M 7 M 9 V Y1 M Y7 M 9Y &

=  ø
 

Y 9Y » º99Y

Yº

1 M 7 M 9


YM Y  \
V1 M V7 M 9V

|
VYM VY 9Baf* fV  h

VM Vh


YM Y 
VYM VY

.ðường thẳng

• PTTsố của ñ.t qua Õ1 7  vă có vtcp SÖ×  


7  7 M b4 PTCTắc: --ù

• PT ñường thẳng qua Õ1 7  vă có VTPT CÖ×  € ‰:

• P.T theo ñoạn chắn :

-M» 

• Hệ số góc : F 

với ñt d

• ðt có hsg k thì có 1vtcp

.Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng : Cho 2 ñ.t:

• (d) cắt (d’) # D+0#
)
Y+  Y

)
Y  Y+ 9 9Y

)
Y  Y 9 9Y

 Khoảng câch vă góc: fÕ* ¢ h-ú »úNh

| u  u

•

•

x;‡ường phđn giâc của góc tạo bởi 2 ñ.t d vă d’

1 O
YM 7 O Y «Y

ðường tròn : PTðtròn tđm I(a;b) bân kính R:

• Phương trình :

lă phương trình ñường tròn tđm I(a;b) ,bk «  
YM YO 9

• ðường thẳng :
1 M 7 M 9  & tiếp xúc với ñường tròn

«

•

1Y

YM7YY

Ellip:



Bân kính qua tiíu ñiểm

Y

Y

 Y

Bân kính qua tiíu ñiểm : MF = p/2 + xM

3 ñường cônic

Cho F cố ñịnh , ñường thẳng e không qua F M ∈ Cônic ( C )

• ( C ) lă ellip

• ( C ) lă parabol

• ( C ) lă hyperbol

1Y

YO7YY 9Y
YM Y* ÑậÒ " Ê  \ư

(  \(Y

Õ
 h
M c 1đ Y h
O c 1đh

Hyperbol:

N

Bân kính qua tiíu ñiểm