Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 bằng lập phương của số tự nhiên.. Từ C kẻ CH vuông góc với AB.[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức
P
a Rút gọn P
b Tìm x để P là số nguyên
Bài 2 (2 điểm)
a Giải phương trình x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 2 2
b Giải phương trình nghiệm nguyên y3 – x3 = 2x + 1
Bài 3 (2 điểm)
a Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 bằng lập phương của số tự nhiên
b Cho n số tự nhiên a1, a2, a3, , an có tổng bằng 201510 Tìm số dư khi chia
1 2 3
A a a a a cho 15
Bài 4 (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Lấy C trên nửa
đường tròn O sao cho AC > BC Từ C kẻ CH vuông góc với AB Tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) cắt BC tại P, tiếp tuyến tại của nửa đường tròn (O) cắt AP tại
M Biết MO cắt AC tại I, MB cắt CH tại K
a Chứng minh: CH2 + AH2 = 2AH.CO
b Chứng minh: IK // AB
c Cho MO = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R
Bài 5 (1 điểm) Cho biểu thức
(1 4)(2 4)(3 4) ( 4)
2
P
với n là số nguyên dương Chứng minh rằng P là số vô tỉ
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
====== HẾT =====
Trang 2TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG HDC KS CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 9
1 a ĐK: x 0;x 1.
Rút gọn được
3
x P
x
0,25 1,0
b Chứng minh được -5 < P < 2/3
Tìm được x = 196; 121/4; 64/9; 25/16; 4/25
0,5 0,25
2 a ĐK x >= 5/2
Đưa được về dạng 2x 5 1 2x 5 3 4
Tìm được
5
7
2 x
0,25 0,5 0,25
b
Nhận xét: 3x2 – x + 2 = (x -
1
2)2 + 2x2 +
7
4 > 0 và
6x2 + 10x + 7 = 5 (x + 1)2 + x2 + 2 > 0
(x3+2x+1) - (3x2 -x+2) < x3+2x+1<(x3 + 2x + 1)+(6x2 +10x+7)
(x - 1)3 < x3 + 2x + 1 < (x + 2)3
(x - 1)3 < y3 < (x + 2)3 x3 = y3 hoặc y3 = (x + 1)3
+ x3 = y3 x3 = x3 + 2x + 1 x = -
1
2 loại
+ y3 = (x + 1)3 (x + 1)3 = x3 + 2x + 1
1 x
3
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: x =0; y = 1
0,25
0,25 0,25
0,25
3 a Ta có 13p + 1 = n3 với n là số tự nhiên
Suy ra 13p = (n-1)(n2+n+1)
- TH1: n – 1 = 13 hay n = 14 thì p = 211 là số nguyên tố
- TH2: n2+n+1=13 hay n = 3 thì p = 2 là số nguyên tố
Vậy p = 2; 211
0,25 0,25 0,25
0,25
b
- Chứng minh được k5 – k = k(k-1)(k+1)(k2+1) chia hết cho 3 và 5
- Tìm được số dư là 10
0,5 0,5
4 a Chứng minh được tam giác ABC vuông tại C
Ta có CH2 + AH2 = AH.BH+AH2
= AH(BH+AH)
=2AH.CO
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3- Chứng minh được các tam giác AMC, PMC cân tại M để được M là
trung điểm AP
- Chứng minh K là trung điểm của CH
- Chứng minh I là trung điểm của AC
0,25 0,5 0,25
c
- Tính được AM
- Tính được AC dựa vào AI-2 = AO-2 + AM-2
- Tính được AH dựa vào AC2 = AH.AB
- Tính được IK
- Tính được SMOB
- Tam giác MIK đồng dạng với MOB Từ đó tính được SMIK
0,25 0,25
0,5
5 Đặt A (1 4 4)(2 4 4)(3 4 4) (n4 4)
Xét k4+1=…=[(k-1)2+1][(k+1)2+1]
Suy ra A=2.(22+1)2.(32+1)2…[(n-1)2+1]2.(n2+1)[(n+1)2+1]
Chứng minh được (n2+1)[(n+1)2+1] không là số chính phương
0,25 0,25 0,5