Tài liêu ÔN tập TOÁN 8 lên 9

Ta có: F là trung điểm của AC gt K là trung điểm của CD gt Þ KF là đường trung bình của tam giác ACD E là trung điểm của BD gt M là trung điểm của AB gt Þ EM là đường trung bình của

ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I PHẦN 1 ĐẠI SỐ

3 Thế nào là phân thức đại số? Cho ví dụ?

4 Định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Áp dụng: Hai phân thức sau

x−3

x và

x2−4 x+3

x2−x có bằng nhau không?

5 Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số?

Áp dụng: Hai phân thức sau bằng nhau đúng hay sai?

(x−8)3

2( 8−x) =

(8−x )22

6 Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số Áp dụng : Rút gọn

8 x−4 8x3−1

7 Muốn qui đồng mẫu thức các phân thức đại số ta làm thế nào ?

I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

c) 0, 6x x – 0,5 – 0,3 2 x x 1,3 0,138

d) x1 x2 x5 – x x2 8 27

II PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

c) x m n2   3y m n2  

d) 4x x y2  9y y x2  e) x a b2  2b a 

f) 10x a2  2b2 x22 2  b a 2g) 50x x y2  2 8y y x2  2

b) 64a b2 2 – 49m n4 2 : 8 7 ab  m n2 

Bài 3: Xác định số hữu tỉ sao cho:

a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3

b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3

c) Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a

Bài 4 Chứng minh rằng:

a a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho 6 với a  Z

b a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho 5 với a Z

c x2 + 2x + 2 > 0 với x Z

a)A 2x26x 9 B2xy 4y16x 5x 2 y214

x x



 B = 2

56

x x







a/ Tìm điều kiện của x để phân thức được xác định

b/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng -1

c Tính giá trị của M khi | x| = 1 2

Bài 3: Cho biểu thức N =

y 

c Tìm giá trị của y để N luôn có giá trị dương

Bài 4: Cho biểu thức :

b Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x

3 Định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang.

4 Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

5 Diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, tam giác

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao M là trung điểm AB Gọi D là

điểm đối xứng của H qua M

a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật

b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành.c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H Chứng minh: Tứ giác AENB là hình thoi

d) MN cắt BH tại K Chứng minh: BE = 3BK

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành

b) Gọi M là trung điểm của BC Tia AM cắt tia DC tại F Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC Tia BI cắt DE tại K Chứng minh KI =

1

6 AE.

Kẻ HD  AB tại D và HE AC tại E

a) Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

b) Gọi F là điểm đối xứng của điểm H qua điểm E

Chứng minh: Tứ giác ADEF là hình bình hành

d) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: AMAF

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) Gọi M là trung điểm của BC Trên tia đối

của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành.c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I Vẽ IH  AB (H  AB) Chứng minh IKB cân

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi G, H và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và

BC

a) Chứng minh tứ giác BCHG là hình thang

b) Gọi O là điểm đối xứng với E qua H Chứng minh tứ giác EAOC là hình bình hành.c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM

Vẽ HD  AB, HE  AC (D  AB, E  AC)

a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AB AC = AH BC

b) Gọi P là điểm đối xứng của A qua E Tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi V là giao điểm của DE và AH Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng MV Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy.

Bài 8 Cho ABC cân tại A Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a/ Cho BC = 10 cm Tính độ dài DE

b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân

c/ Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE Chứngminh tứ giác DHKF là hình chữ nhật

d/ Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM Gọi D là trung điểm của

AB

a/ Chứng minh: MD  AB

b/ Gọi E là điểm đối xứng với M qua D Chứng minh tứ giác EACM là hình bình hành.c/ Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi

d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Gọi M, N, K thứ tự là trung điểm của

và ABKN là hình thang vuông

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN và cắt tia KN tại Q.Chứng minh AKCQ làhình thoi

c) MN cắt BQ tại O và AK cắt BN tại I Biết BC = 24cm, tính độ dài OI

Bài 11 Cho ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm Gọi M là trung điểm của cạnh AB,

N là trung điểm của cạnh AC

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành

c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật

Gọi E là điểm đối xứng của D qua M Chứng minh tứ giác BDAE là hình thoi

Bài 12: Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC Gọi M là trung điểm BC Từ M kẻ MN vuông

góc với AC tại N, kẻ ME vuông góc với AB tại E

a) Chứng minh tứ giác ANME là hình chữ nhật và tứ giác NMBE là hình bình hành

b) Vẽ D đối xứng M qua E Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi

c) Vẽ đường cao AH của ∆ABC Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.

Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB bằng 2 lần đáy nhỏ CD Gọi I là

trung điểm AB Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E

a) Chứng minh AICD và BCDI là các hình bình hành

b) Chứng minh AD = DE

c) Giả sử A = D = 900 và AD = CD Chứng minh BC ¿ AC

và M N P , , lần lượt là trung điểm

của AB AC BC , ,

a) Chứng minh: Tứ giác BMNP là hình bình hành.

b) Vẽ Q đối xứng với P qua N Chứng minh: Tứ giác APCQ là hình thoi.

c) Vẽ R đối xứng với P qua M Chứng minh: R A Q , , thẳng hàng.

Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm

của AB, BC và AC

a) Chứng minh tứ giác AMNK là hình bình hành

b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC Tứ giác MKNH là hình gì? Vì sao?

c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua M AH và IC lần lượt cắt MK tại E và F Chứng minh HC – HB = 2EF

122

x x



= - 4x5c)

a x



 = 0  a + 18 = 0  a = - 18

a x

Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a 

b) Phân thức E bằng -1 khi:s

2 2

Với x =

1

2 ta có : M =

12−1

2 =

13

2 =

2 3

Với x = -

1

2 ta có : M =

12+1

2 =

15

M

F I

a) Chứng minh: tứ giác AFKD là hình thang và tứ giác KEMF là hình bình hành.

Ta có:

F là trung điểm của AC (gt)

K là trung điểm của CD (gt)

Þ KF là đường trung bình của tam giác ACD

E là trung điểm của BD (gt)

M là trung điểm của AB (gt)

Þ EM là đường trung bình của tam giác ABD

Gọi I là trung điểm của AD

HS chứng minh được: IE // AB và IF // CD (sử dụng đường trung bình)

Þ HK là đường cao tam giác HCD

Mà HK là đường trung tuyến tam giác HCD (KC = KD) Nên Tam giác HCD cân tại H

Bài 2

a) Chứng minh: AHBD là hình bình hành

H=90 ^ 0

=> AHBD là hinh chữnhật

e) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành

Ta có BC = CE (E là điểm đối xứng của B qua C)

và BC = AD (ABCD là hình chữ nhật)

nên CE = AD

mà AD//CE (do AD//BC)

Vậy tứ giác ACED là hình bình hành

f) Gọi M là trung điểm của BC Tia AM cắt tia DC tại F Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi

Xét 2 tam giác ABM và FCM có:

A ^M B=C ^M F (đối đỉnh)

BM = CM

A ^B M=F ^C M = 900

Nên Δ ABM = Δ FCM

Suy ra AB = CF

Mà AB = CD (ABCD là hình chữ nhật)

Do đó CF = CD

Tứ giác BDEF có 2 dường chéo BE và CF vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường Nên tứ giác BDEF là hình thoi

g) Gọi I là giao điểm của AE và DC Tia BI cắt DE tại K Chứng minh IK =

1

6 AE Gọi N là giao điểm của AC và BI

Ta có tứ giác ACED là hình bình hành, I là giao điểm của AE và CD

nên I là trung điểm của AE

Tam giác ABE có 2 đường trung tuyến AC và BI cắt nhau tại N

nên N là trọng tâm của Δ ABE

Suy ra IN =

1

3 IB

IB =

1

2 AE (do BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABE)

Do đó IN =

1

6 AE Mặt khác IK = IN (do hình bình hành ACED là hình có tính chất đối xứng)

Vậy IK =

1

6 AE

Bài 4:

O

F

E

D

C M

H B

A

a) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b) Ta có AD//HE và AD = HE (cạnh đối HCN)

Mà HE = EF (t/c đối xứng)

 AD //EF và AD = EF

 DECM là HBH (2 cạnh đối // và bằng nhau)

c) H và F đối xứng nhau qua E nên HE = EF (t/c đối xứng)

HFAC nên tam giác AHF cân tại A (đường cao đồng thời là trung tuyến)

 AFE AHE  mà AHE C  (cùng phụ góc CHE) Có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác ABC AM = MC = BC/2  AMC cân tại M  MAC C      MAC AFE   (= C AHE  )

Có AFE FAE 90   0 (vì HEAC)  MAC FAE 90     0  AM AF 

b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A.

Chứng minh tứ giác ADBE là hình

A

a) Xét tam giác ABC có

G là trung điểm của AB (gt)

H là trung điểm của AC (gt)

Vậy GH là đường trung bình của tam giác ABC

H là trung điểm của AC (gt)

H là trung điểm của OE (O đối xứng với E qua H)

Vậy tứ giác AECO là hình bình hành

c) Chứng minh được tứ giác AGEH là hình bình hành

=> Hai đường chéo AE và GH cắt nhau tại trung điểm của AE và GH

Chứng minh được tứ giác ABEO là hình bình hành

=> AE cắt BO tại trung điểm của AE và BO Điều phải chứng minh

EAD  (ABC vuông tại A)

Vậy tứ giác AEHD là hình chữ nhật

1 21 2

Vậy tứ giác DHPE là hình bình hành Giải thích

c) Gọi F là giao điểm của Ax và BC

V là trực tâm tam giác AMF (MVAx; AVBC)

 FV  AM (1)

Ta lại có

12

(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của vuôngABC)

 MAC MCA 

Mà AEV EAV (Tứ giác AEHD là hình chữ nhật)

Đồng thời EAV ACM 900(tam giác ACH vuông tại H)

D là trung điểm của AB (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

Suy ra DE là đường trung bình của ABC

(do ABC cân tại A)

Nên tứ giác BDEC là hình thang cân

c) Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE Chứng minh

tứ giác DHKF là hình chữ nhật

 Xét ABK có:

D là trung điểm của AB (gt) (1)

DH // BK (do DE // BC)

Nên H là trung điểm AK (H  AK ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DH là đường trung bình của ABK

1

2

d) Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.

- Chứng minh tứ giác DEKB là hình bình hành

- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật DHKF

Nên O là trung điểm của DK và HF (*)

- Hình bình hành DEKB có O là trung điểm của đường chéo DK (cmt)

Nên O cũng là trung điểm của đường chéo BE (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

a/ Tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của AC (gt)

 MD là đường trung bình của ABC

 MD // AB

Mà AC  AB (vì tam giác ABC vuông tại A)

 MD  AB

b/ Ta có:

MD = AC : 2 (vì MD là đường trung bình của tam giác ABC)

MD = ME : 2 (vì E đối xứng với M qua D)

 AC = ME

Mà AC // ME (vì AC // MD)

 Tứ giác EACM là hình bình hànhc/ Xét tứ giác EAMB có:

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của EM

 Tứ giác EAMB là hình bình hành

Mà EM  AB (vì MD  AB)

 Tứ giác EAMB là hình thoi

d/ Ta lại có: tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

Nên T/g ABKN hthang vuông

b) C/m được BNQM là hình bình hành.N là trung điểm của QK.

C/m được AKCQ là hình bình hành.KQAC

Hình bình hành AKCQ là hình thoi

c) Chứng minh được I là trọng tâm của tam giác ABC, C, I, M thẳng hàng Gọi V sao cho I

là trung điểm của MV OI=1/2NV=1/2.1/2AI=1/4.2/3AK=1/6AK; OI=2cm

N

N là trung điểm AB (gt)

 MN là đường trung bình của tam giác ABC



Mà N thuộc AC và

ACAN

M là trung điểm ED (E và D đối xứng qua M)

 Tứ giác BDAE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Nên tứ giác BDAE là hình bình hành

Mà ED  AB (do AMDN là hình chữ nhật)

 Tứ giác BDAE là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc)

Bài 12:

a) Chứng minh đúng tứ giác ANME là hình chữ nhật

Chứng minh được E là trung điểm của AB

Chứng minh đúng NM = BE và NM//BE

Kết luận tứ giác NMBE là hình bình hành

b) Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình bình hành

Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình thoi

c) Chứng minh được NH = NA

D

H E

C

B A

Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.

Bài 13:

a/ AICD, BCDI là các hình bình hành (đúng dấu hiệu: 2

cạnh đối song song và bằng nhau)

a)Ta có M là trung điểm củaAB(gt)

N là trung điểm của AC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

=>MN//BC và MN = 1

2 BC

=>MP//BPvà MN = BP

=>Tứ giác MBPN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Tứ giác APCQ là hình bình hành( Vì NA=NC ; NP = NQ (gt) mà AP là trung tuyến ứng

với cạnh huyền trong ∆ ABC vuông tại A (gt) nên AP = PC

Do đó hình bình hành APCQ là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)c) Chứng minh tứ giác ARBP là hình thoi =>đường chéo AB là phân giác của ^RAP =>^A1= ^A2

A

Bài 15:

a) Chứng minh AMNK là hình bình hành

b) Chứng minh MKNH là hình thang cân

c) chứng minh ME là đường trung bình của tam giác ABH  ME = BH/2 chứng minh KF là đường trung bình của tam giác CIA  KF = AI/2 chứng minh BH = AI ME=KF

ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ II

DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

b) Tính giá trị của A biết 2x  1 3

x

 



 b) Tính giá trị của biểu thức B biết  

Be) Tìm x để B 0

f) Tìm GTLN của biểu thức M biết

2:2

x



g) Với x 2, tìm GTNN của B



    với x3;x2a) Chứng minh

42

x M x







Câu 9. Cho biểu thức

x 

.a) Tính giá trị của biểu thức B khi 4x  2 1

x x A

Câu 13. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 45km h/ Lúc về người đó đi với vận tốc

40km h/ nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút Tính quãng đường AB

Câu 14. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km h/ Khi đến B người đó

nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km h/ Tính quãng đường AB, biếtrằng thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút

Câu 15. Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km h/ Sau đó 30 phút, một xe con

xuất phát từ B để đi đến A với vận tốc 60km h/ Biết quãng đường AB dài 80km Hỏisau bao lâu kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau?

từ Đền Hùng về Hà Nôi, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thờigian đi là 36 phút Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng

làm được 80 sản phẩm một ngày Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày và cònlàm thêm được 40 sản phẩm nữa Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kếhoạch

Câu 18. Một tổ dự định mỗi giờ dệt 28m vải Nhưng thực tế mỗi giờ, tổ đó đã dệt ít hơn 4m vải

Do vậy, tổ đã làm quá thời gian dự định 2 giờ mà còn thiếu 5m vải nữa mới hoàn thành

kế hoạch Tính số vải tổ đó phải dệt theo kế hoạch

hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa Do đó mặc dù mỗi giờ người

đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút Tínhnăng suất dự kiến.

mình xong công việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày Tính thờigian mỗi người làm một mình xong công việc

Câu 21. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 48m Nếu tăng chiều rộng lên 4lần và chiều dài

lên 3 lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu

kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18%và tổ II vượt mức 21% Vìvậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩmđược giao của mỗi tổ là bao nhiêu?

Câu 23. Một đội xe tải vận chuyển 28tấn hàng đến một địa điểm quy định Vì trong đội có 2 xe

bị điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa Tính số xe của độilúc đầu

thêm 4 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông Tính diện tích của hình chữ nhật banđầu

thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng

2

5 số sách ở giá thứ hai Tìm số sách ở mỗi giá

Câu 26. Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 Nếu đổi

chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới nhỏ hơn số đã cho 36

DẠNG 3: GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH