Tài liệu ôn tập toán lớp 10 ptth

a 2RsinA, b  2RsinB, c 2RsinCc a b O A Ghi nhớ: Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Chuyên Đề 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

I Các ký hiệu:

 A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C

 a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C

 ha, hb, hc : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C

 ma, mb, mc : là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C

 la, lb, lc : là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C

 R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

 p = 21 (a+b+c) : là nửa chu vi tam giác ABC

 S : là diện tích tam giác ABC

II Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Trong tam giác vuông ABC Gọi b', c' là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có các hệ thức:

gC c tgB c b B

a C a c

C a B a b c

b

h

c b

h

c b

h

c b

a

c a b

b

cot

cot 7 cos sin

cos sin 6 .

&

.

.

1

2 2

2

' '

2

2 2

2

' 2 '

2

II Các hệ thức lượng trong tam giác thường

1 Định lý hàm số CÔSIN:

Trong tam giác ABC ta luôn có :

C ab b

a c

B ca a c b

A bc c b a

cos 2

cos 2

cos 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Ghi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia

trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa chúng

Hệ quả: Trong tam giác ABC ta luôn có :

bc

a c b A

2 cos

2 2 2

2 cos

2 2 2

2 cos

2 2 2







2 Định lý hàm số SIN:

Trong tam giác ABC ta có :

R

C

c B

b A

a

2 sin sin

Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có:

a 2RsinA, b  2RsinB, c 2RsinC

c

a

b O A

Ghi nhớ:

Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

3 Định lý về đường trung tuyến:

Trong tam giác ABC ta có :

4 2

4 2

4 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

c b a m

b c a m

a c b m

c b a

4 Định lý về diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau:

A

C

) )(

)(

(

5

4

4 3

sin 2

1 sin 2

1 sin 2

1 2

2

1 2

1 2

1 1

c p b p a p p S

pr S R

abc S

A bc B

ac A

ab S

ch bh

* Sử dụng trực tiếp định lí Cosin và định lí Sin

* Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố cần thiết

2 Bài tập

Bài 1:Cho tam giác ABC có b = 7cm , c = 5cm và Cos A = 0,6.

a) Tính a, Sin A, diện tích của tam giác ABC

b) Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Giải

a) Theo định lí Cosin ta có:

) ( 2 4 32 32

6 , 0 5 7 2 5 7 cos

1

2

cm SinA

c b

28 2 2

2

a

S h h a

5

4 2

2 4 2

SinA

a R R SinA

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác.

d) Tính độ dài đường trung tuyến ma phát xuất từ đỉnh A của tam giác

e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác

Giải

a) Tính góc A =?

21 10 2

17 21 10 2

cos

2 2 2 2 2 2

2

10 17 21

c b a

2

1

cm a

S h h a

d) Độ dài đường trung tuyến ma được tính theo công thức:

18 , 9 25 , 84

25 , 84 4

337 4

21 2

10 17 4 2

2 2 2 2 2 2 2

10 17 21



S

abc R

Dạng 2: Giải tam giác

280 100 196

' 34 14 ) ' 26 20 145 ( 180 ) ˆ ( 180

ˆ

' 26 20 ˆ 34913 ,

0 23

145

14

0 0

0 0

B

Sin a

SinA b SinB SinB

b SinA

a

b) 0 , 8286 ˆ 34 3 '

70

58 7

5 2

4 7 5 2

A

' 32 101 ) 25 44 ' 3 34 ( 180 ) ˆ ( 180

ˆ

' 25 44 ˆ 71428 , 0 56

40 7

4 2

5 7 4 2

cos

0 0

0 0 0

0 2

2 2 2 2 2

B ac

b c a

B

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Cho tam giác ABC có gĩc A =600, cạnh CA = 8, cạnh AB = 5

1.Tính cạnh BC

2.Tính diện tích tam giác

3.Tính độ dài đường cao AH

4.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 2: Cho tam giác ABC có a = 13 ; b = 14 ; c = 15

1.Tính diện tích tam giác ABC

2.Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R

3.Tính độ dài đường trung tuyến ma

Bài 3: Cho tam giác ABC cĩ a = 3 ; b = 4 và gĩc C = 600; Tính các gĩc A, B, bán kính

R của đường trịn ngoại tiếp và trung tuyến ma

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

I Vec tơ chỉ phương – vec tơ pháp tuyến của đường thẳng

1) Vec tơ pháp tuyến: Vec tơ n  0 được gọi là vec tơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng

 nếu nĩ cĩ giá vuơng gĩc với đường thẳng 

2) Vec tơ chỉ phương: Vec tơ u  0 được gọi là vec tơ chỉ phương ( vtcp) của đường thẳng

 nếu nĩ cĩ giá song song hoặc trùng với đường thẳng 

* Chú ý

- Nếu n u ; là vec tơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng  thì  k 0 các vec tơ

;

kn ku  cũng đồng thời là vec tơ pháp tuyến, vec tơ chỉ phương của đường thẳng 

- Nếu n( ; )a b là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng  thì  cĩ các vec tơ chỉ phương là:

( ; )

ub a hoặc u ( ; )b a

- Nếu u( ; )u u1 2 là vec tơ chỉ phương của đường thẳng  thì đường thẳng  cĩ vec tơ pháptuyến n( ;u2 u1) hoặc n ( u u2; )1

II Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua M0(x0;y0)và có vec tơ pháp tuyến là

III Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua M0(x0;y0)và có vec tơ chỉ phương là:

t u x x

2 0

1 0

(2) ( t  R.)

* Chú ý: - Nếu đường thẳng  có hệ số góc k thì vec tơ chỉ phương của  là u  ( k1 ; )

- Nếu đường thẳng  có vec tơ chỉ phương là u( ; )u u1 2 với u1 0 thì  có hệ sốgóc là:

bt x x

t x

//

d §i qua M(2; 3) vµ d: 2x 5y 3 0

Giải

t x

2 2 1

b) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4)

Vỡ  đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nờn  cú vec tơ chỉ phương AB ( 2 ; 2 )

Phương trỡnh tham số của  là:

t x

2 2 2 1

t x

//

Đường thẳng d cú vec tơ chỉ phương là : ud  ( 2 ;  1 ) Vỡ  song song với d nờn  nhận vec

tơ ud  ( 2 ;  1 ) làm vec tơ chỉ phương Hay u  ( 2 ;  1 ),  đi qua M(3 ; 2) vỡ vậy  cú

t x

2 2 3

d) Đi qua M(2; 3) và d: 2x 5y 3 0

Đường thẳng d : 2x – 5y + 3 = 0  d cú vec tơ phỏp tuyến là nd  ( 2 ;  5 )

Vỡ  vuụng gúc với đường thẳng d nờn  nhõn vec tơ phỏp tuyến của d là vec tơ chỉ

phương Vỡ vậy vtcp của  là u  ( 2 ;  5 )  đi qua M(2 ; -3) nờn phương trỡnh đường thẳng  là :

t x

5 3 2 2

Dạng 2 : Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua M x y( ; )0 0 và có một vtpt n( ; )a b .

Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng  trong các trờng hợp sau :

Dường thẳng  song song với đường thẳng d nờn  nhận nd  (  2 ; 1 ) làm vec tơ phỏp tuyến

Vỡ  đi qua A(3; 2) và cú vtpt là n  (  2 ; 1 ) nờn  cú phương trỡnh là:

2(x – 3) – (y – 2) = 0  2x – y – 4 = 0

c) Đi qua B(4 ;-3) và

Đường thẳng d cú vtcp là ud  ( 2 ;  1 ) Vỡ  vuụng gúc với d nờn  nhận vtcp của d làm vtpt

 n  (  2 ; 1 ) Đường thẳng  đi qua B(4 ;-3) và cú vtpt n  (  2 ; 1 ) nờn  cú phương trỡnh tổng quỏt là:

2(x – 4) – (y + 3) = 0  2x – y – 11 = 0

Dạng 3 : Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua M x y( ; )0 0 và có hệ số góc k cho trớc.

- Nếu đường thẳng  cú hệ số gúc k thỡ vec tơ chỉ phương của  là u  ( k1 ; )

- Kết hợp giả thiết  đi qua M(x0 ; y0)

t x

3 2 1

b) Đi qua A(3 ;2) và tạo với chiều dương trục ox gúc 450

Giả sử đường thẳng  cú hệ số gúc k, như vậy k được cho bởi cụng thức

k = tan  với   45 0 k = tan 450  k = 1

Đường thẳng  hệ số gúc k = 1 vậy thỡ vtcp của  là u  ( 1 ; 1 ),  đi qua A(3;2) nờn 

t x

2 3

Bài tập 2:

Cho tam giaực ABC, vụựi A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2)

Haừy vieỏt phửụng trỡnh toồng quaựt cuỷa ủửụứng cao AH, vaứ trung tuyeỏn AM cuỷa tam giaực ABC

Giải

+ Ta coự: AH  BC nờn AH nhận vec tơ BC= (3; 3) laứ vecto phaựp tuyeỏn cuỷa AH

ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận BC= (3; 3) làm vtpt nờn Phửụng trỡnh toồng quaựt cuỷa (AH) laứ: 3(x - 1) + 3(y - 4) = 0  3x + 3y - 15 = 0

+ Goùi M laứ trung ủieồm cuỷa BC, ta coự:

2 1 2

2

9 2 6 3 2

C B

M

C B

AM là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM

Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp 

t x

2 7 4 2 7 1

Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song song hay trùng nhau ?

Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

2 Cách 2:

Xét hệ phơng trình 1 1 1

00

Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau

Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi x y;  thì hai đờng thẳng trùng nhau

* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.

t x

y x

2 2 4 1 : 0

10 4 2

t x

y x

4 6 5 6 :

0 12 10 8

0 2

y x y x

Giải hệ này chỳng ta cú một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1)

Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm, tọa độ giao điểm là (x , y) = (1 ; 1)

y x

2 2 4 1 : 0

10 4

2

1

Từ phương trỡnh đường thẳng  2 ta cú x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào  1 ta được

2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0  10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vụ lớ)  hai đường thẳng này khụng

t x

y x

4 6 5 6 :

0 12 10

8

1

Đường thẳng  2 cú vtcp là u  (  5 ; 4 ) nờn  2cú vtpt là n ( 4 ; 5 ). 2 đi qua điểm cú tọa

độ (-6 ; 6) nờn  2 cú pt tổng quỏt là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0  4x + 5y – 6 = 0

Số giao điểm của  1 và  2 chớnh là số nghiệm của hệ phương trỡnh:

5 4

0 12 10

8

y x

y x

Hệ này cú vố số nghiệm nờn  1 và  2 trựng nhau

(Chỳ ý: bài toỏn này yờu cầu phải tỡm tọa độ giao điểm nờn ta dựng cỏch 2 Nếu bài toỏn chỉ

yờu cầu tỡm vị trớ tương đối của hai đường thẳng thỡ ta nờn dựng cỏch 1)

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau: a) 1: 8x10y12 0; 2: 4x3y16 0

t

x

2 : 5

II Công thức xác định góc giữa hai đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, giả sử đờng thẳng  1; 2 có phơng trình

t x

y x

2 2 4 1 : 0

10 4 2

 

2 1

2 2

2 2

2 1

45

;

2

1 20

10 10

20

10 10

20

| 10

| )

3 ( 1 ) 2 ( 4

| ) 3 ).(

2 ( 1 4

t x

y x

2 2 4 1 : 0

10 4

2 2 2 2 2

1

0

;

1 20

20 20 20

| 20

| )

4 ( 2 ) 4 ( 2

| 4 4 2 2

5 1 9 4 1

2 3

;

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1 2

b b a a d

t x

y x

2 2 2 1 : 0

10 2 2

t x

y x

2 2 2 1 : 0

10 2 2

2 2 2 2

2 1

0 9

;

0 8 8

| 0

| ) 2 ( 2 ) 2 ( 2

| 2 ).

2 ( 2 2

t x

2 3 7 2

và 4x + 6y - 6 = 0

Chuyên đề 5:

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = 0 và điểm

M0(x0; y0) Khoảng từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), được tính bởi công thức

2 2 0 0

0 , ) (

b a

c by ax M

1 ) 5 (

3 ) 3 (

4 ) ,

16 9

1 ) 2 (

4 ) 1 (

3 ) ' ,

t x

2 2 2 1

t x

3 1

t x

2 2 2 1

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là ud  ( 2 ; 2 ) vì vậy vtpt của d là

t x

3 1

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là ud  ( 1 ; 3 ) vì vậy vtpt của d là

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1

Tính bán kính đường tròn tâm I( 1 ; 5) và tiếp xúc với đường thẳng d: 4x -3y +1 = 0

Bài tập 2

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: A(4 ; 6) ; B(1 ; 4) : C(7 ; 2)

Hãy tính khoang cách từ các đỉnh đến các cạnh đối diện tương ứng.

Cho điểm M(x0 ; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a ; b) Gọi d là tiếp tiếp của (C) tại M, vậythì d có phương trình là:

c) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0 (3)

Ta có: 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0  x2 + y2 – 2x + 4y - 1 = 0

Phương trình này có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c trong đó a = 1 ; b = -2

Xét biểu thức m= a2 + b2 – c = 12 + (-2)2 +1 = 6 > 0 Phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(1 ; -2) và có bán kính

Bài tập 2

Cho phương trình x2 + y2 – 2mx +4my + 6m -1 = 0 (1)

Với giá trị nào của m thì phương trình trên là đường tròn?

m m

Dạng 2: Lập phương trình của đường tròn

- (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng m tại A  IA = d(I ; m)

- (C) tiếp xúc với hai đường thẳng m1 và m2  d(I ; m1) = d(I ; m2) = R

Cách 2

- Gọi phương trình của đường tròn là x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 (2)

- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c

- Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn

2 Bài tập

Bài tập 1

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng m : x – 2y + 7 = 0

1

7 2 2 1 )

Đường tròn (C) có tâm I(-1 ; 2) có bán kính R =

ta có: ( 4 ; 3 )

3 2 5 1 2

4 2

y y y

x

B A I

B A I

Xét đường tròn (C) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0

(C) đi qua A ,B, C khi và chỉ khi A, B, C thỏa mãn phương trình đường tròn, tức là :

6 2

29 4

10

5 4

2 0

6 2 9 1

0 4

10 4 25

0 4

2 4 1

c b c

b a

c b a c b a c

b a

c b a c b a

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A , B, C là:

x2 + y2 - 6x + y – 1 = 0

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến.

1 Phương pháp

* Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại M(x0 ; y0) thuộc đường tròn (C)

- tìm tọa độ tâm I(a ; b) của (C)

- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0 ; y0) có dạng

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0

*Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) khi chưa biết tọa độ tiếp điểm:

- dùng điều kiện tiếp xác để xác định d:

d tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R  d(I,d) =R

Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x – 2y = 0

Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(3 ;-2)

Giải

Phương trình đường thẳng d đi qua A(3 ;-2) có dạng y + 2 = k(x – 3)  kx – y – 2 -3k = 0

Đường trịn (C) cĩ tâm I(2 ; 1) và cĩ bán kính 2 2 4 1 0 5

2 0

4 6 4 ) 1 ( 5 ) 3 ( 5 1

3 2 1

k k

k k

k k

k k

Vậy cĩ hai tiếp tuyến với (C) được kẻ từ A là:

Viết phương trình đường trịn biết đường trịn đi qua 3 điểm

a Đi qua gốc tọa độ và cĩ bán kính R = 3

b Tiếp xúc với Ox tại (5 ; 0) và cĩ R = 3

c Cĩ tâm là I(2 ;3) và R = 3

d Cĩ tâm là I(2 ;3) và tiếp xúc với  : 4x 3y 12 0 

e Cĩ đường kính là AB với A( 1;1) , (5;3)  B

f Hãy viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm: M(0; 1), N(4; 1) và P(0; - 4)

g Đi qua A( 1; 2) , ( 2;3)  B  và cĩ tâm thuộc đường thẳng  : 3x y  10 0 

Bài tập 5

Tìm tâm và bán kính của đường trịn trong các trường hợp sau

Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):

a) Biết: (C): (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9, và tiếp điểm M0 có tọa độ: (2; 2)

b) Biết: (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 10, và tiếp tuyến (t) song song với đường thẳng

2

c b a b

y a

2 Các thành phần của Elip (E) là:

* Hai tiêu điểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0)

- E cĩ hai trục đối xứng là Ox, Oy và cĩ tâm đố xứng là gốc tọa độ

- Mọi điểm của Elip (E) đều nằm trong hình chữ nhật cĩ kích thước 2a và 2b gới hạn bởi các đường thẳng x a ;y b Hình chữ nhật đĩ gọi là hình chữ nhật cấp cơ sở của Elip (E)

B BÀI TẬP

Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một (E) khi biết các thành phần đủ để xác định

Elip đĩ

1 Phương pháp

- Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của E đó.

- Lập PTCT theo công thức: (E) : 1 ( 2 2 2 )

2

2 2

2

c b a b

y a

- Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của E

* Hai tiêu điểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0)

* Hai đỉnh trên trục lớn: A1 (-a ; 0 ) ; A2 (a ; 0 )

b) Một tiêu điểm  3 ; 0 và điểm 1 ; 23nằm trên Elip

c) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và mọt tiêu điểm là (-2 ; 0)

d) Elip đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N1 ; 23

2 2



 y x

b) Một tiêu điểm  3 ; 0 và điểm 1 ; 23nằm trên Elip

Phương trình chính tắc của (E) có dạng 2 1

2 2

Vì (E) có một tiêu điểm F1 3 ; 0 nên c 3

Điểm 1 ; 23 nằm trên (E) nên 1 ( 1 )

4

3 1

2

2  

b a

Với a2 = b2 + c2 = b2 +3 thế vào (1) ta có:

4 3 1 1

0 9 5 4 ) 3 ( 4 ) 3 ( 3 4 1 4

2 2



 y x