BẢN báo cáo đợt THỰC tập CỘNG ĐỒNG

LỜI MỞ ĐẦUBài toán luồng cực đại trong mạng cũng là một trong số những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vịtrong lý t

BAN ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU

THÔNG TIN VỀ NHÓM

CHƯƠNG I 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1

1.1 Định nghĩa đồ thị 1

1.2 Các thuật ngữ cơ bản 4

1.3 Đường đi, chu trình Đồ thị liên thông 5

CHƯƠNG II 7

BÀI TOÁN TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI THEO 7

THUẬT TOÁN FORD-FULKERSON 7

2.1 Các khái niệm 7

2.1.1 Mạng và luồng trong mạng 7

2.1.2 Bài toán luồng cực đại trong mạng 8

2.1.3 Lát cắt, giá trị luồng 8

2.1.4 Định lý luồng cực đại lát cắt tối thiểu 10

2.2 Thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại trong mạng 12

CHƯƠNG III 18

THIẾT KẾ VÀ CÀI ĐẶT CHƯƠNG TRÌNH 18

3.1 Cấu trúc dữ liệu 18

3.2 Thiết kế 18

3.3 Cài đặt 22

3.4 Kiểm thử và giao diện chương trình 29

KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán luồng cực đại trong mạng cũng là một trong số những bài toán tối ưu trên

đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vịtrong lý thuyết tổ hợp Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950, và gắn liền vớitên tuổi của hai nhà bác học Mỹ là L.R.Ford và D.R.Fulkerson

Bài toán luồng cực đại trong mạng có nhiều ứng dụng trong thực tế như: Bài toánxác định cường độ dòng lớn nhất của dòng vận tải giữa hai nút của một bản đồ giaothông, bài toán tìm luồng dầu lớn nhất có thể bơm từ tàu chở dầu vào bể chứa của một hệthống đường ống dẫn dầu…Ngoài ra, ứng dụng của bài toán còn để giải các bài toán như:Bài toán đám cưới vùng quê, bài toán về hệ thống đại diện chung, bài toán phân nhómsinh hoạt, bài toán lập lịch cho hội nghị…

Trong bài tiểu luận này chúng em sẽ trình bày “Bài toán luồng cực đại trong

mạng” sử dụng thuật toán Ford - Fulkerson (1962) để giải bài toán đặt ra Chương trình

minh họa thuật toán được viết bằng ngôn ngữ C và sử dụng các tập tin văn bản để lấy dữliệu ban đầu và xuất kết quả ra

Nhóm chúng em đã cùng nhau thảo luận và trao đổi các vấn đề của đề tài, phânchia nhiệm vụ cho mỗi thành viên, từ đó cố gắng đạt được kết quả tốt nhất cho bài báocáo Tuy nhiên có thể không tránh khỏi những thiếu sót, nhóm chúng em rất mong nhậnđược sự góp ý của thầy giáo và các bạn để báo cáo này được hoàn thiện hơn nữa

Chân thành cảm ơn!

2 Trần Thị Ái Quỳnh Tìm kiếm tài liệu

Chương 1 + Lời mở đầu Tổng hợp lần 1

3 Huỳnh Công Trường Tìm kiếm tài liệu

CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

1.1 Định nghĩa đồ thị

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này, cácloại đồ thị khác nhau được phân biệt bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó của

đồ thị

Giả sử V là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó Bộ G = (V,E) được gọi là

đồ thị hữu hạn Mỗi phần tử của V gọi là một đỉnh và mỗi phần tử u = (x,y) của E được gọi là một cạnh của đồ thị G = (V,E).

Xét một cạnh u của E khi đó tồn tại hai đỉnh x, y của V sao cho u = (x,y), ta nói rằng

x nối với y hoặc x và y phụ thuộc u.

- Nếu cạnh u = (x,y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh kề

nhau

- Nếu u = (x,x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên.

- Nếu u = (x,y) mà x, y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hướng từ x đến y thì

u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh vào.

- Khi giữa cặp đỉnh (x,y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói rằng những cạnh cùng

cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội

Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để biểudiễn, như sơ đồ mạng máy tính, sơ đồ mạng lưới giao thông, sơ đồ thi công một côngtrình

Thí dụ 1 Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô hình đồ

thị, trong đó mỗi máy tính là một đỉnh, giữa các máy được nối với nhau bằng các dây

truyền, chúng tương ứng là các cạnh của đồ thị Một mô hình mạng máy tính như hình 1 trong đó các máy tính a, b , c, d tương ứng là các đỉnh, giữa hai máy được nối trực tiếp

với nhau thì tương ứng với một cặp đỉnh kề nhau

Hình 1

Định nghĩa 1 Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là các tập đỉnh và E là các

tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh.

Thí dụ 2.

Hình 2 Sơ đồ máy tính là đơn đồ thị vô hướng

Trong trường hợp giữa hai máy tính nào đó thường xuyên phải tải nhiều thông tinngười ta phải nối hai máy này bởi nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại giữa các

máy được cho trong hình 3.

Hình 3 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại

Định nghĩa 2 Đa đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ

các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh Hai cạnh e 1

và e 2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.

c d

b a

h

g e

d c

b a

h

g e

b a

Hình 4 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thông báo

Rõ ràng mỗi đơn đồ thị là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nào cũng là đơn đồthị, vì trong đa đồ thị có thể có hai (hoặc có nhiều hơn) cạnh nối một cặp đỉnh nào đó Trong mạng máy tính có thể có những kênh thoại nối một máy nào đó với chính nó(chẳng hạn với mục đích thông báo) Mạng như vậy được cho trong hình 4 Khi đó đa đồthị không thể mô tả được mạng như vậy, bởi vì có những khuyên(cạnh nối một đỉnh với

chính nó) Trong trường hợp này chúng ta cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô

hướng, được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 3 Giả đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là các tập đỉnh, và E là

họ các cặp không có thứ tự (không nhất thiết phải khác nhau) của V gọi là các cạnh Cạnh e được gọi là khuyên nếu nó có dạng e = (u,u).

Các kênh thoại trong mạng máy tính có thể chỉ cho phép truyền tin theo một chiều.

Chẳng hạn trong hình 5 máy chủ ở a chỉ có thể nhận tin từ các máy ở máy khác, có một

số máy chỉ có thể gửi tin đi, còn các kênh thoại cho phép truyền tin theo cả hai chiềuđược thay thế bởi hai cạnh có hướng ngược chiều nhau

Hình 5 Mạng máy với các kênh thoại một chiều

h

g e

b a

Ta đi đến định nghĩa sau.

Định nghĩa 4 Đơn đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V là các tập đỉnh và E là các

cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.

Nếu trong mạng có thể có đa kênh thoại một chiều, ta sẽ phải sử dụng đến khái niệm

đa đồ thị có hướng:

Định nghĩa 5 Đa đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V là các tập đỉnh và E là họ

các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung Hai cung e 1 , e 2

tương ứng cùng với một cặp đỉnh được gọi là cung lặp.

Trong các phần tử tiếp theo chủ yếu chúng ta sẽ làm việc với đơn đồ thị vô hướng vàđơn đồ thị có hướng Vì vậy, để ngắn gọn, ta bỏ qua tính từ đơn khi nhắc đến chúng

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các đỉnh và cạnh của đồ thị vô hướng

Định nghĩa 1 Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau nếu (u,v)

là cạnh của đồ thị G Nếu e = (u,v) là cạnh của đồ thị thì ta nói cạnh này là liên thuộc với hai đỉnh u và v, hoặc cũng nói là cạnh e là nối đỉnh u và đỉnh v đồng thời các đỉnh u

và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu của cạnh (u,v).

Để có thể biết có bao nhiêu cạnh liên thuộc với một cạnh, ta đưa vào định nghĩa sau

Định nghĩa 2 Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc với

nó và sẽ ký hiệu là deg(v)

Bậc của đỉnh có các tính chất sau:

Định lý 1 Giả sử G = (V,E) là đồ thị vô hướng với m cạnh Khi đó

Hệ quả Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa là đỉnh có bậc là số lẻ) là

một số chẵn.

Ta xét các thuật ngữ tương tự cho đồ thị có hướng.

Định nghĩa 3 Nếu e = (u,v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai đỉnh u và v

là kề nhau, và nói cung (u,v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung này là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v Đỉnh u(v) sẽ được gọi là đỉnh đầu(cuối) của cung (u,v).

Định nghĩa 4 Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị có hướng là

số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là deg + (v)(deg - (v)).

Định lý 2 Giả sử G = (V,E) là đồ thị có hướng Khi đó

Rất nhiều tính chất của đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng trên cáccung của nó Vì vậy, trong rất nhiều trường hợp sẽ thuận tiện hơn nếu ta bỏ qua hướngtrên các cung của đồ thị Đồ thị vô hướng thu được bằng cách bỏ qua hướng trên cáccung được gọi là đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị có hướng đã cho

1.3 Đường đi, chu trình Đồ thị liên thông.

Định nghĩa 1 Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên

dương, trên đồ thị vô hướng G = (V,E) là dãy

Khái niệm đường đi và chu trình trên đồ thị có hướng được định nghĩa hoàn toàntương tự như trường hợp đồ thị vô hướng, chỉ khác là ta có chú ý đến hướng trên cáccung

Định nghĩa 2 Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên

dương, trên đồ thị có hướng G = (V,A) là dãy x 0 , x 1 ,…, x n-1 , x n ; trong đó u = x 0 , v = x n , (x i ,

Xét một mạng máy tính Một câu hỏi đặt ra là hai máy tính bất kỳ trong mạng này

có thể trao đổi thông tin được với nhau hoặc là trực tiếp qua kênh nối chúng hoặc thôngqua một hoặc vài máy trung gian trong mạng ? Nếu sử dụng đồ thị để biểu diễn mạngmáy tính này (trong đó các đỉnh của đồ thị tương ứng với các máy tính, còn các cạnhtương ứng của các kênh nối) câu hỏi đó được phát biểu trong ngôn ngữ đồ thị như sau:Tồn tại hay chăng đường đi giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị

Định nghĩa 3 Đồ thị vô hướng G = (V,E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm được

đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

Như vậy hai máy tính bất kỳ trong mạng có thể trao đổi thông tin được với nhau khi

và chỉ khi đồ thị tương ứng với mạng này là đồ thị liên thông

CHƯƠNG II BÀI TOÁN TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI THEO THUẬT TOÁN FORD-FULKERSON

Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong những bài toán tối ưu trên đồ thịtìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vị trong lýthuyết tổ hợp Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950, và gắn liền vơi tên tuổicủa hai nhà toán học Mỹ là Ford và Fulkerson Trong nội dung bài viết này chúng tôimuốn trình bày thuật toán của hai ông và cài đặt nó cũng như đưa ra một số bài toán ứngdụng của thuật toán

2.1 Các khái niệm

2.1.1 Mạng và luồng trong mạng

Định nghĩa 1 Ta gọi mạng là đồ thị có hướng G = (V,E), trong đó có duy nhất

một đỉnh s không có cung đi vào gọi là điểm phát, duy nhất một đỉnh t không có cung đi

ra gọi là điểm thu và mỗi cung e = (v,w)  E được gán với một số không âm c(e) = c(v,w) gọi là khả năng thông qua của cung e.

Để thuận tiện cho việc trình bày ta sẽ quy ước rằng nếu không có cung (v,w) thìkhả năng thông qua c(v,w) được gán bằng 0

Định nghĩa 2 Giả sử cho mạng G = (V,E) Ta gọi luồng f trong mạng G = (V,E)

là ánh xạ f: E R + gán cho mỗi cung e =(v,w)  E một số thực không âm f(e) = f(v,w), gọi là luông trên cung e, thoả mãn các điều kiện sau:

1 Luồng trên mỗi cung e  E không vượt quá khả năng thông qua của nó: 0 ≤ f (e) ≤ c(e),

2 Điều kiện cân bằng luồng trên mỗi đỉnh của mạng : Tổng luồng trên các cung

đi vào đỉnh v bằng tổng luồng trên các cung đi ra khỏi đỉnh v, nếu v  s,t:

Trong đó - tập các đỉnh của mạng mà từ đó có cung đến v, - tập các đỉnh

của mạng mà từ v có cung đến nó:

3.Giá trị của luồng f là số

2.1.2 Bài toán luồng cực đại trong mạng

Cho mạng G=(V,E) Hãy tìm luồng f * trong mạng với giá trị luồng val(f * ) là lớn nhất Luồng như vậy ta sẽ gọi là luồng cực đại trong mạng.

Bài toán như vậy có thể xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng thực tế chẳng hạn khicần xác định cường độ lớn nhất của dòng vận tải giữa 2 nút của một bản đồ giao thông.Trong ví dụ này của bài toán luồng cực đại xẽ chỉ cho ta các đoạn đường đông xe nhất vàchúng tạo thành “chỗ hẹp” tương ứng với dòng giao thỗng xét theo hai nút được chọn.Một ví dụ khác là nếu xét đồ thị tương ứng với một hệ thống dẫn dầu Trong đó các ốngtương ứng với các cung , điểm phát có thể có thể là tàu chở dầu, điểm thu là bể chứa, cònnhững điểm nối giữa các ống là các nút của đồ thị Khả năng thông qua của các cungtường ứng với tiết diện các ống.Cần phải tìn luộng dầu lớn nhất có thể bơm từ dầu vào bểchứa

2.1.3 Lát cắt, giá trị luồng

ra thành hai tập X và X * =V \ X , trong đó s  X và t  X * Khả năng thông qua của lát cắt (X,X * ) là số

Lát cắt với khả năng thông qua nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất.

Bổ đề 1 giá trị của mọi luồng f trong mạng luôn nhỏ hơn bằng khả năng thông

qua lát cắt (X,X * ) bất kỳ trong nó : val(f)  c(X,X * ).

đó ta có

Tổng này sẽ gồm các số hạng dạng f(u,v) với dấu cộng hoặc dấu trừ mà trong đó

có ít nhất một trong hai đỉnh u, v phải thuộc tập X Nếu cả hai đỉnh u, v đều trong tập X,

thì f(u,v) xuất hiện với dấu cộng trong Div f (v) và có dấu trừ trong Div f (u) Vì thế, chúng

triệt tiêu lẫn nhau Do đó, sau khi giản ước các số hạng như vậy ở vế trái, ta thu được

Giả sử f là một luồng trong mạng G = (V,E) Từ mạng G = (V,E) ta xây dựng đồ thị có trọng số trên cung G f =(V,E f ) , với tập cung E f và trọng số trên các cung được xácđịnh theo quy tắc sau:

10     Nếu e = (v,w)  E với f(v,w) = 0, thì (v,w) Ef với trọng số c(v,w);

20     Nếu e = (v,w)  E với f(v,w) = c(v,w), thì (w,v) Ef với trọng số f(v,w);

30     Nếu e = (v,w)  E với 0 <f(v,w) < c(v,w), thì (v,w) Ef với trọng số c(v,w) - f(v,w) và (w,v)  E f với trọng số f(v,w).

Các cung của G f đồng thời cũng là cung của G được gọi là cung thuận, các cung còn lại gọi là cung nghịch Đồ thị G f được gọi là đồ thị tăng luồng.

2.1.4 Định lý luồng cực đại lát cắt tối thiểu

Giả sử G(V,E)  là một đồ thị có hướng  hữu hạn và mỗi cung (u,v) có một khả năngthông qua c(u,v) (một giá trị thực không âm) Ngoài ra, giả sử có hai đỉnh, đỉnh phát s vàđỉnh thu t, đã được xác định.

Một lát cắt là một cách chia các nút mạng thành hai tập S và T, sao cho   thuộc

Ba điều kiện sau là tương đương:

1 f là một luồng cực đại  trong đồ thị 

2 Mạng còn dư Gf  không chứa đường tăng 

3 |f| = c(S,T)  với lát cắt (S,T) nào đó

Phác thảo chứng minh: Nếu có một đường tăng, ta có thể gửi luồng theo đó và thuđược một luồng lớn hơn, do đó nó không thể là luồng cực đại, và ngược lại Nếukhông có đường tăng nào, ta chia đồ thị thành   gồm các nút tới được từ   trong mạng còn dư, và T gồm các nút không tới được Khi đó c(S,T) phải bằng 0 Nếukhông, tồn tại một cung (u,v) với c(u,v) > 0, nhưng khi đó, từ s lại đếnđược v nên v không thể nằm trong T

Ví dụ

Hình là một mạng với các nút V= {s,o,p,q,r,t} và luồng cực đại là một luồng tổng

từ nút phát s tới nút thu t có giá trị bằng 5 (Đây thực ra là luồng cực đại duy nhất ta cóthể tìm thấy trong mạng này)

Có ba lát cắt cực tiểu trong mạng Đối với lát cắt S = {s,p}, T = {o,q,r,t}, khả năngthông qua lát cắt là c(s,o) + c(p,r) = 3 +2 = 5 Với S= {s,o,p}, T = {q,r,t} nó là c(o,q) +c(p,r) = 3 + 2 = 5  Và với  S = {s,o,p,q,r}, T = {t} là c(q,t) + c(r,t) = 2 + 3 = 5

Lưu ý rằng S = {s,o,p,r}, T = {q,t} không phải là một lát cắt cực tiểu, tuy trongluồng đã cho cả (o,q) và (r,t) đều đầy Đó là do trong mạng còn dư Gf có một cung (r,q)với khả năng thông qua cf(r,q) = c(r,q) – f(r,q) = 0 – (-1) = 1

Định nghĩa 4 Ta gọi đường tăng luồng f là mọi đường đi từ s đến t trên đồ thị

tăng luồng G(f).

Định lý 1 Các mệnh đề dưới đây là tương đương:

(i) f là luồng cực đại trong mạng:

(ii) Không tìm được đường tăng luồng f:

(iii) val(f) = c(X,X * ) với mọi lát cắt (X,X * ) nào đó.

  Chứng minh.

(i) => (ii) Giả sử ngược lại, tìm được đường tăng luồng P Khi đó ta có thể tăng giá trị luồng bằng cách tăng luồng dọc theo đường P Điều đó mâu thuẫn với tính luồng cực đại của luồng f.

Hình 2.1: Một mạng với luồng cực đại và ba lát cắt cực tiểu

(ii) => (iii) Giả sử không tìm được đường tăng luồng Ký hiệu X là tập tất cả các đỉnh s trong đó đồ thị G f , và đặt X * = V\X Khi đó (X,X * ) là lát cắt, và f(v,w)=0 với mọi v

X * , w X nên

  Với vX, wX* do (v, w)  Gf , nên f(v, w) = c(v, w) Vậy

  (iii) =>(i) Theo bổ đề 1, val(f)  c(X,X* ) với mọi luồng f và với mọi lát cắt (X,X * ).

Vì vậy, từ đẳng thức val(f) = c(X,X * ) suy ra luồng f là luồng cực đại trong mạng.

2.2 Thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại trong mạng

Định lý 1 là cơ sở xây dựng thuật toán lặp sau đây để tìm luồng cực đại trong mạng:Bắt đầu từ luồng với luồng trên tất cả các cung bằng 0 ( ta sẽ gọi luồng như vậy là luồngkhông ), và lặp lại bước lặp sau đây cho đến khi thu được luồng mà đối với nó không cònluồng tăng:

Thuật toán Ford – Fulkerson

1 0 Xuất phát từ một luồng chấp nhận được f.

2 0 Tìm một đường đi tăng luồng P Nếu không có thì thuật toán kết thúc Nếu có, tiếp bước 3 dưới đây.

3 0 Nếu (P) = + thuật toán kết thúc.

Trong đó (P) - Lượng luồng tăng thêm, hay nói khác là làm sự tăng luồng (flowaugmentation) dọc theo đường đi tăng luồng P một lượng thích hợp mà các ràng buộc củabài toán vẫn thoả

Cách tìm đường đi tăng luồng Ta sử dụng thuật toán gán nhãn có nội dung như

sau Một đường đi P thoả mãn về đường đi tăng luồng, nhưng chỉ đi từ s đến k nào đó (chưa tới t, nói chung) sẽ được gọi là đường đi chưa bão hoà (unsaturated path).

Ta nói đỉnh u là đã đánh dấu (u is labeled) nếu ta biết là có một đường đi chưa bão hoà từ s tới u Bây giờ ta sẽ xét tất cả các đỉnh v có nối trực tiếp đến đỉnh u (sẽ gọi là ở

cạnh đỉnh u) xem chúng có thể được gán nhãn hay không khi u đã gán nhãn Việc này được gọi là thăm (scanning) đỉnh u.

Nếu (u,v) có luồng trên cung F(u,v) < C(u,v) thì ta có thể nối thêm cung (u,v) và đường đi chưa bão hoà P từ s đến u để được đường đi chưa bão hoà tới v Vậy v có thể

gán nhãn

Bước lặp tăng luồng ( Ford - Fulkerson): Tìm dường tăng P đối với luồng hiện

có Tăng luồng dọc theo đường P

Khi đã có luồng cực đại, lát cắt hẹp nhất có thể tìm theo thủ tục mô tả trong chứng

minh định lý 1

Để tìm đường tăng luồng trong G f có thể sử dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều

rộng ( hay thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu) bắt đầu từ đỉnh s, trong đó không cần xây dựng tường minh đồ thị G f Ford- Fulkerson đề nghị thuật toán gán nhãn chi tiết sau đây

để giải bài toán luồng trong mạng Thuật toán bắt đầu từ luồng chấp nhận được nào đótrong mạng ( có thể bắt đầu từ luồng không) sau đó ta sẽ tăng luồng bằng cách tìm cácđường tăng luồng Để tìm đường tăng luồng ta sẽ áp dụng phương pháp gán nhãn cho cácđỉnh Mỗi đỉnh trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ ở một trong ba trạng thái: chưa có

nhãn, có nhãn chưa xét, có nhãn đã xét Nhãn của một đỉnh v gồm 2 phần và có một trong hai dạng sau: [+p(v), (v)] hoặc [-p(v), (v) ] Phần thứ nhất +p(v) (-p(v)) chỉ ra là

cần tăng (giảm) luồng theo cung (p(v),v) cung (v,p(v)) còn phần thứ hai (v) chỉ ra lượng

lớn nhất có thể tăng hoặc giảm theo cung này Đầu tiên chỉ có đỉnh s được khởi tạo nhãn

và nhãn của nó là chưa xét, còn tất cả các đỉnh còn lại đều chưa có nhãn Từ s ta gán cho tất cả các đỉnh kề với nó và nhãn của đỉnh s sẽ trở thành nhãn đã xét Tiếp theo, từ mỗi đỉnh v có nhãn chưa xét ta lại gán nhãn cho tất cả các nhãn chưa có nhãn kề với nó và nhãn của đỉnh v trở thành nhãn đã xét Quá trình sẽ được lặp lại cho đến khi hoặc là đỉnh t trở thành có nhãn hoặc là nhãn của tất cả các đỉnh có nhãn đều là đã xét nhưng đỉnh t vẫn

chưa có nhãn Trong trường hợp thứ nhất ta tìm được đường tăng luồng, còn trong trườnghợp thứ hai đối với luồng đang xét không tồn tại đường tăng luồng ( tức là luồng đã làcực đại) Mỗi khi tìm được đường tăng luồng, ta lại tăng luồng theo đường tìm được, sau

đó xoá tất cả các nhãn và đối với luồng mới thu được lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh