Tài liệu Ổn định docx

CHƯƠNG 12 ỔN ÐỊNH III.GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC Ơ LE IV.TÍNH ỔN ÐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN NGOÀI MIỀN ÐÀN HỒI V.ÐIỀU KIỆN ỔN ÐỊNH VÀ BỀN - PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH ÐỂ TÍNH THANH CHỊU NÉN VI.C

CHƯƠNG 12

ỔN ÐỊNH

III.GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC Ơ LE

IV.TÍNH ỔN ÐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN NGOÀI MIỀN ÐÀN HỒI

V.ÐIỀU KIỆN ỔN ÐỊNH VÀ BỀN - PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH ÐỂ TÍNH THANH CHỊU NÉN

VI.CHỌN HÌNH DÁNG MẶT CẮT HỢP LÝ VÀ VẬT LIỆU

1.Xét về vật liệu

2.Xét về hình dạng mặt cắt ngang

Trong các chương trên, ta đã tính toán về độ bền và độ cứng cho các thanh có các loại biến dạng khác nhau Nhưng trong thực tế có nhiều trường hợp nếu chỉ tính về độ bền và độ cứng thì chưa đủ đảm bảo an toàn cho công trình hoặc chi tiết máy Công trình hoặc chi tiết máy còn có thể bị phá hoại vì một nguyên nhân khác, đó là một sự mất ổn định

Giả sử có một thanh dài và mảnh, đầu dưới bị ngàm, đầu trên chịu một lực nén đúng tâm P, khi lực P nhỏ hơn một giới hạn nhất định thì thanh thẳng, khi đó thanh chịu nén thuần tuý ( hình 12-1a)

d)

e)

P>P th

P<P th

Nếu tác dụng một lực R rất nhỏ vuông góc với trục thanh, thanh sẽ bị uốn cong, nhưng sau khi bỏ lực

R đi, thanh trở lại dạng thẳng ban đầu (hình 12-1b), thanh vẫn chịu nén thuần tuý Khi đó thanh ở trạng thái cân bằng ổn định Nếu ta tăng dần giá trị của lực P đến một giá trị nhất định nào đó, thanh vẫn ở dạng thẳng, nhưng nếu tác dụng một lực ngang R có trị số nhỏ và khi bỏ lực ngang đi thanh

sẽ cong về một phía mà không trở về dạng thẳng ban đầu Trạng thái nà được gọi là trạng thái cân bằng không ổn định của tha

y

nh (hình 12-1c) Trạng thái chuyển biến từ dạng cân bằng ổn định sang dạng cân bằng không ổn định được gọi là trạng thái tới hạn Trị số của lực P ứng với trạng thái tới hạn được gọi là lực tới hạn ký hiệu Pth

f)

Hình 12-1

Hiện tượng không ổn định của dạng cân bằng của một thanh bị nén đúng tâm được gọi là hiện tượng uốn dọc

Một số trường hợp mất ổn định của hệ đàn hồi như sau:

Một dầm công son có mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp chịu uốn phẳng, khi P > Pth dầm bị mất ổn định, lúc đó dầm chịu uốn và xoắn (hình 12-1d)

Một ống tròn chịu áp lực đều theo phương hướng tâm từ ngoài vào, ống sẽ bị mất ổn định khi q > qth lúc đó ống sẽ bị méo, ngoài biến dạng nén ống còn chịu uốn (Hình 12-1e)

Như vậy một hệ đàn hồi cũng có những trạng thái cân bằng khác nhau tương tự như một vật rắn Ðể có hình tượng so sánh, ta hãy nhắc lại sự cân bằng của một vật rắn hình cầu: (Hình 12-1f)

Khi vật được đăt ở vị trí thấp nhất của mặt lõm (ứng với vị trí thế năng nhỏ nhất) vật ở trạng thái cân bằng ổn định, vì nếu ta đẩy nó rời vị trí cân bằng này nó sẽ trở lại vị trí cân bằng ban đầu ngay khi ta bỏ lực đẩy ra Ngược lại, nếu ta đặt vật ở đỉnh cao nhất của mặt lồi thì vật ở trạng thái cân bằng không ổn định

f

l P>P th

Hçnh 12-2 Khi mất ổn định tải trọng lớn hơn tải trọng tới hạn, biến dạng của hệ tăng rất nhanh Ví dụ: thanh chịu nén như hình vẽ 12-2 ta tính được :

Khi P = 1,010 Pth thì f = 9%l Khi P = 1,015 Pth thì f = 22%l

Vì vậy, khi thiết kê,ú ngoài việc đảm bảo an toàn

về mặt độ bền và độ cứng, còn phải đảm bảo điều kiện

ổn định: tải trọng tác động nhỏ hơn tải trọng tới hạn

kôđ : hệ số an toàn về mặt ổn định

Vì vậy để giải bài toán ổn định, việc cơ bản là xác định tải trọng tới hạn Pth

II

l/2 P z z y l y f

XÁC ÐỊNH LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ÐÚNG TÂM( bài

toán Ơ le)

TOP

Hình 12-3

Xét một thanh thẳng liên kết khớp tại hai đầu Thanh chịu một lực nén đúng tâm P đặt tại gối tựa di động Khi P đạt tới giá trị lực tới hạn Pth , thanh có một dạng cong nào đó Nếu gối tựa

ở hai đầu thanh là loại khớp cầu thì trục thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất EJmin ( hình 12-3)

Ta giả thuyết rằng khi mất ổn định, vật liệu của thanh còn làm việc trong giới hạn đàn hồi

Jmin: momen quán tính chính trung tâm nhỏ nhất của mặt cắt ngang

Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh, tại mặt cách gối tựa trái một đoạn z, dầm có độ võng y, momen uốn tại mặt cắt này là: M(z) = Pth.y(z)

Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi của dầm chịu uốn :

Ðặt :Ġ (XII-2)

Thì phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng :

(XII-3) Nghiệm tổng quát của phương trình này là :

(XII-4)

Khi mất ổn định, thanh bị uốn cong nên y(z) phải là một hàm khác không Dựa vào điều kiện này, ta sẽ xác định được lực tới hạn theo điều kiện biên

Khi z = 0 => y = 0 => C1.0 + C2.1 = 0 => C2 = 0

Phương trình y có dạng : y = C1 Sin (z

Khi z = l thì y = 0 => C1Sin(l + C2Cos(l = 0

Vậy : y = C1Sin(l = 0

Nấu C1 = 0 thì phương trình đường đàn hồi luôn luôn bằng 0, tức là thanh vẫn thẳng Ðiều đó trái với giả thuyết là thanh bị uốn cong Do đo phải có :

sinαl = 0

αl = nπ (n = 1, 2, 3 )

(XII-5) Thay (XII-5)vào (XII-4) ta được phương trình đường đàn hồi

(XII-6)

và lực tới hạnĠ

Với những giá trị khác nhau của n, lực tới hạn có những giá trị khác nhau tương ứng với các dạng đường đàn hồi khác nhau

Ta thấy n bằng số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi

n Hình dáng thanh khi mất ổn định

Số nửa bước sóng

Lực tới hạn

1

1

2

2

3

3

Hình 12-4

Trong thực tế lực P bao giờ cũng phải tăng dần từ không đến những giá trị xác định , do

đó chỉ cần P đạt tới giá trị nhỏ nhất ứng với n =1 là thanh bị mất ổn định

Như vậy trường hợp thanh có hai đầu liên kết khớp thì lực tới hạn bằng

(XII-8)

Người ta còn gọi Pth là lực tới hạn ơ le Khi P > Pth ứng với n = 1 biến dạng của dầm lớn nên không thể dùng phương trình gần đúng của đường đàn hồi, nghĩa là các nghiệm ứng với n = 2, 3 là không có nghĩa Cũng vì lý do đó, hằng số C1 trong biểu thức của đường đàn

hồi là không xác định được Biểu thức của y(z) chỉ được xác định nếu dùng phương trình chính xác của đường đàn hồi

Tuy nhiên, xét về mặt lý thuyết, khi thanh mất ổn định nếu đường đàn hồi có dạng n nửa bước sóng hình sin thì lực tới hạn tăng n2 lần so với giá trị nhỏ nhất ứng với n = 1 Do đó trong thực tế, người ta thường làm tăng tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm tức tăng giá trị của lực tới hạn bằng cách đặt thêm các gối tựa tại các điểm uốn của đường đàn hồi

Ví dụ: nếu đặt thêm một gối tựa tại giữa nhịp thì lực tới hạn tăng lên 4 lần ; nếu đặt thêm hai gối tựa tại phần 3 nhịp thì Pth tăng lên 9 lần

P l/2 l/2

P l/3 l/3 l/3 Hçnh 12-5 a) b)

Phần trên ta đã tính được lực tới hạn của thanh hai đầu liên kết khớp Với những thanh

có dạng liên kết khác, bằng cách tính toán tương tự, kết quả tìm được cho ta thấy: công thức tính lực tới hạn ơ le của các loại dầm có liên kết khác nhau có thể viết dưới dạng một công thức chung sau đây:

(công thức Ơ le) (XII-9)

Khi P = Pth thanh vẫn có dạng thẳng ban đầu nên nó vẫn còn chịu nén thuần túy Ðồng thời vật liệu vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là vẫn tuân theo định luật Hooke

m=1 m=2 m=0,7 m=0,5 m=2 m=1 m=0,5 m=1 m=2

Hçnh 12-6

Do đó ứng suất tới hạn bằng:

ÐặtĠ

imin: bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang

Ta có :Ġ

Ta ký hiệuĠ (XII-10)

ThìĠ (công thức Ơ le) (XII-11)

Nếu (th của thanh càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao, nếu (th càng bé thanh càng dễ bị mất ổn định (th phụ thuộc vào mođun đàn hồi E của vật liệu và phụ thuộc vào (

Hệ số ( phụ thuộc vào kích thước hình học và sự liên kết của thanh Trị số ( càng lớn, thanh càng dễ mất ổn định, đó là những thanh mảnh Vì thế người ta gọi ( là độ mảnh của thanh

Các công thức Ơ le để tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn được thành lập trên cơ sở giả thiết vật liệu tuân theo định luật Hooke Vì vậy, chúng chỉ đúng khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỉ lệ (tl, tức là vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi Như vậy, muốn sử dụng công thức Ơ le thì ta cần có điều kiện:

σth σtl Tức là Ġ

Hay (XII-12) ÐặtĠ (XII-13)

Vậy điều kiện để âp dụng công thức Ơ le lă

Chú ý rằng độ mảnh (0 hoăn toăn chỉ phụ thuộc văo vật liệu

Ví dụ: đối với thĩp CT3

E = 2,1.107 N/cm2 ; σtl = 21.000 N/cm2

Ðối với thĩp CT5 : (0 = 81 ; E = 2.107N/cm2 ; (tl

=30.000N/cm2

Ðối với gang : (0 ( 80

Ðối với gỗ : (0 ( 100 ; E = 1,1.106 N/cm2 ; (tl = 1100N/cm2

Ðối với gỗ thông : (0 ( 75 ; E = 9.105 N/cm2 ; (tl = 1600N/cm2

Những thanh có ( > (0 được gọi lă thanh có độ mảnh lớn

σth

σtl

o

λ0

λ đường Hypecbol Hình 12-7 Những thanh có ( <(0 được gọi lă thanh có độ mảnh trung bình vă bĩ Tất nhiín đối với câc thanh có ( trung bình vă bĩ thì không dùng câc công thức Ơ le để tính về ổn định được

Ðể hiểu rõ quy luật biến thiín của (th theo ( ta vẽ đường biểu diễn quan hệ giữa (th theo ( Ta được một đường hypecbol Ơ le

Khi ( < (0 vì công thức Ơ le không còn đúng nữa nín đường biểu diễn được vẽ bằng nĩt đứt (Hình 12-7)

Ðối với những thanh có độ mảnh trung bình vă

bĩ, tức lă những thanh có:

σ th

σtl

o

λ 0

λ Đường Hypecbol Ơ le Đường Iasinski

λ1

σch Hình 12-8

λ < λ0

Thì khi thanh bị mất ổn định, vật liệu lăm việc ngoăi giới hạn đăn hồi Trong trường hợp năy có nhiều công thức được thănh lập hoặc dựa trín thực nghiệm để tính (th Trong đó công thức thực nghiệm do Iasinski đưa ra để tính (th đối với những thanh có độ mảnh trung bình tức lă (ıĨ (0

(1 : lă trị số giới hạn ứng với (th=(ch của độ mảnh trung bình, được dùng tương đối phổ biến:

(XII-15a) Trong đó a, b, c lă câc hằng số phụ thuộc văo vật liệu của thanh vă được xâc định bằng thực nghiệm Giâ trị a, b, c được cho trong sổ tay kỹ thuật

Vật liệu a(N/cm2) b(N/cm2) c(N/cm2)

Thép CT5 Gang xám

Gỗ

34500

77600

2930

124

1200 19,4

0 5,3

0 Thông thường c = 0 nên người ta thường coi (th = a - b.( (XII-15b)

Ðối với thanh có độ mảnh bé İĨ (1

Người ta coi :

σth = σ0 (XII-16) Trong đó : (o = (ch nếu là vật liệu dẻo

(0 = (b : nếu là vật liệu giòn

Nếu biết a, b, c và (0 thay chúng vào (XII-15a) ta sẽ tính được (1

Như vậy, tùy theo thanh có độ mảnh lớn, trung bình hay bé mà ta dùng đường Hypeccbol Ơ le, đường Iasinski hay đường thẳng (th = (0 để tính ứng suất tới hạn (th

Ví dụ : tính Pth và (th của thanh làm bằng thép CT3, mặt cắt ngang hình chữ I số 22a thanh có liên kết khớp tại hai đầu (Hình 12-9) Xét trường hợp

a) Thanh cao 3m

b) Thanh cao 2,5m biết E = 2,1.107N/cm2 ; (ch = 24.000N/cm2 ; (0 = 100

Giải :

P Hçnh 12-9 Mặt cắt chữ I số 22a có : F = 32,4cm2 ; iy = imin = 2,5 cm

Theo liên kết của thanh thì m = 1

Xác định (1: thép CT3 có (tra bảng) a = 31000N/cm2 ; b = 114N/cm2 ; c = 0

Vậy (th = a - b.(1 = (ch

a) Khi thanh cao 3m :

Vì ( = 120 > (0 = 100 nên ta dùng công thức Ơ le

Lực tới hạn Pth = (th.F = 14300.32,4 = 463.103N

b) Khi thanh cao 2,25m:

Vì (1 = 61,4 < ( = 90 < (0 = 100

Ta dùng công thức Iasinski:

σth = a - b.λ = 31000 - 11490 = 19720N/cm2

Lực tới hạn: Pth = (th.F = 19720.32,4 = 638,9.103N

Trong những phần trình băy ở trín, ta xĩt trường hợp liín kết của thanh lă như nhau trong hai mặt phẳng quân tính chính trung tđm của mặt cắt Như vậy, khi mất ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất Trong câc công thức tính toân, ta dùng trị số momen quân tính cực tiểu Jmin vă bân kính quân tính cực tiểuĠ

Trâi lại, nếu liín kết trong hai mặt phẳng quân tính chính trung tđm lă khâc nhau thì sự mất ổn định của thanh sẽ xảy ra trong mặt phẳng quân tính chính trung tđm năo đó có độ mảnh lớn tức (th nhỏ nhất cho nín ta lấy giâ trị ( năo lớn để tính ứng suất vă lực tới hạn Chứng minh:

Trong công thức Ơ leĠvă Iasinski (th = a - b.(

Khi ( căng lớn thì (th căng bĩ nghĩa lă thanh căng dễ bị mất ổn định

Mă Ġ

Momen quân tính của mặt cắt ngang đối với trục quân tính chính trung tđm lă nhỏ nhất nín ta chỉ cần so sânh J tức so sânh ( trong hai mặt phẳng trục quân tính chính trung tđm lă

đủ

1 Trong mặt phẳng quân tính chính trung tđm zx

với mzx : hệ số m phụ thuộc dạng liín kết trong mặt phẳng zx

2 Trong mặt phẳng quân tính trung tđm zy :Ġ vớiĠ

P

x

y

220

120

7000 (a) (b) m=0,1 m=1 Hçnh 12-10

Ví dụ:

Cho một cột bằng gỗ thông cao 7m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 12 x 22 cm2 Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất EJmin hai đầu bị ngàm chặt Trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất EJmax hai đầu liên kết khớp

Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn biết E = 9.105N/cm2 ; (0 = 75 (hình 12-10) Giải: Với tiết diện hình chữ nhật ta có

Trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất (hình 12-10b): (zy)

Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất (hình 12-10a): (zx)

Ta thấy (1 > (2 nên khi mất ổn định, cột sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất

Vậy ta dùng (1 để tính Pth và (th .Ta thấy (1 = 110 > (0 = 75 nên ta dùng công thức Ơ le

Vậy Pth = (th.F = 733.12.22 = 194.103N

V ÐIỀU KIỆN ỔN ÐỊNH VÀ BỀN - PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH ÐỂ TÍNH THANH CHỊU NÉN

Như đã biết, điều kiện bền của một thanh chịu nén đúng tâm là:

(0: ứng suất nguy hiểm n: hệ số an toàn theo điều kiện bền [(]n: ứng suất cho phép khi nén Mặt khác thanh chịu nén còn phải đảm bảo điều kiện ổn định:

Trong đó :Ġ

(th: ứng suất tới hạn

nôđ: hệ số an toàn theo điều kiện ổn định

Hệ số an toàn về ổn định nôđ thường được chọn lớn hơn hệ số an toàn về bền

nôđ > n

Ðối với thép : nôđ = 1,5 ( 3

Ðối với gang : nôđ = 5 ( 5,5

Ðối với gỗ : nôđ = 2,8 ( 3,2

Ðể tiện việc tính toán thực hành, người ta lập quan hệ giữa [(]ôđ và [(]n bằng cách lập tỉ

số (:

Vậy : [(]ôđ = ([(]n (XII-18a)

(: được gọi là hệ số giảm ứng suất cho phépĠ

Hệ số ( phụ thuộc vào vật liệu, độ mảnh của thanh và các hệ số an toàn về bền và ổn định trong tính toán thực hành

(XII-18b)

Từ công thức cơ bản (XII-18b) ta xác định được lực nén cho phép [P] hoặc kích thước mặt cắt ngang F của thanh:

Bài toán chọn mặt cắt phải tính đúng dần vì trong một công thức có hai ẩn là F và ( (với

P và [(]n cho biết trước )

VìĠnên nếu điều kiện ổn định đã được đảm bảo thì điều kiện bền cũng được bảo đảm

Do đó khi tính thanh chịu nén ta chỉ cần tính theo điều kiện ổn định là đủ

Tuy nhiên, nếu thanh có mặt cắt ngang bị giảm yếu cục bộ (ví dụ lỗ khoét để bắt bulông hoặc đinh tán) thì sự giảm yếu đó chỉ ảnh hưởng đến độ bền mà ảnh hưởng không đáng kể đến tính ổn định của thanh đó Vì vậy trong trường hợp này, khi kiểm tra theo điều kiện bền ta phải dùng diện tích thực Fth của mặt cắt ngang bị giảm yếu

(XII-19a) Còn khi kiểm tra theo điều kiện ổn định ta dùng diện tích nguyên Fng của mặt cắt ngang

(XII-19b)

Ví dụ: chọn số hiệu thép chữ I cho một thanh dài 2m, liên kết khớp tại hai đầu, chịu một lực nén P = 230KN Biết vật liệu là thép CT2 có [(]n = 14000N/cm2

Giải : Theo công thứcĠmuốn chọn mặt cắt F cần phải biết (, nhưng ϕ phụ thuộc độ mảnh (, mà ( lại chưa biết vì mặt cắt F chưa xác định Vì vậy ta giải bài toán theo phương pháp đúng dần:

a) Chọn lần thứ nhất :

Trước hết ta giả thiết ( = 0,50, từ điều kiện ổn định ta tính được diện tích F