Lý thuyết đồng dư và ứng dụng

Một trong những lý thuyết quan trọng của số học để giải quyết các bài toán đó là lý thuyết đồng dư.. - Nghiên cứu thực trạng của việc học toán và làm toán ở trường phổ thông -

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

LÊ VĂN TRƯỞNG

LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THANH HÓA, NĂM 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

LÊ VĂN TRƯỞNG

LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Trung

THANH HÓA, NĂM 2019

Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số:

1897/QĐ – ĐHHĐ, ngày 21 tháng 11 năm 2019 của Hiệu trưởng Trường Đại

GS.TS Đặng Quang Á Viện hàn lâm KH&CN Việt Nam Phản biện 1

TS Hoàng Văn Thi Sở GD&ĐT Thanh Hóa Phản biện 2

GS.TSKH Đinh Dũng Viện CNTT – ĐHQG Hà Nội Ủy viên

TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức Thư ký

Xác nhận của Người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của Hội đồng

Ngày tháng năm 2019

* Có thể tham khảo luận văn tại Thư viện trường và Bộ môn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Hồng Đức với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS Trần Trung Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Trung người thầy đã động viên, hướng dẫn nhiệt tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong BGH, Phòng đào tạo – Khoa sau đại học trường đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện cho tác giả học tập, rèn luyện và hoàn thành khóa học thạc sĩ Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trực tiếp đứng lớp giảng dạy và hướng dẫn khoa học lớp Cao học Phương pháp toán sơ cấp K10 trường đại học Hồng Đức

đã nhiệt tình trong từng bài giảng, trang bị từng nấc thang kiến thức để tác giả vững tin nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Tuy nhiên do sự hiểu biết của tác giả còn nhiều hạn chế nên trong quá trình nghiên cứu và làm luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình, những đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và các bạn độc giả quan tâm tới mảng kiến thức được nghiên cứu trong luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 10 năm 2019

Tác giả

Lê Văn Trưởng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ VÀ CHIA HẾT 4

1.1 Định nghĩa và tính chất của đồng dư thức 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Định lý cơ bản 4

1.1.3 Các tính chất 5

1.1.4 Hệ quả 7

1.2 Lý thuyết chia hết trên tập hợp số nguyên 11

1.2.1 Tính chia hết 11

1.2.2 Phép chia có dư 12

1.2.3 Ước chung lớn nhất ( viết tắt ƯCLN ) 13

1.2.4 Bội chung nhỏ nhất ( viết tắt BCNN ) 15

1.3 Định lý Euler và định lý Fermat 17

1.3.1 Phi hàm Euler ( ) m 17

1.3.2 Định lý Euler 17

1.3.3 Định lý Fermat bé 18

1.4 Phương trình, hệ phương trình đồng dư 18

1.4.1 Phương trình đồng dư 18

1.4.2 Hệ phương trình đồng dư 21

1.4.3 Định lý Trung Hoa về thặng dư 27

CHƯƠNG II KHAI THÁC CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ

CẤP BẰNG LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ 31

2.1 Dạng toán tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa 31

2.1.1 Tìm một chữ số tận cùng 31

2.1.2 Tìm hai chữ số tận cùng 38

2.1.3 Tìm ba chữ số tận cùng 43

2.2 Dạng toán chứng minh chia hết 47

2.2.1 Tìm số dư trong phép chia mà số bị chia là một lũy thừa 47

2.2.2 Chứng minh chia hết 51

2.2.3 Chứng minh không chia hết, chia hết có điều kiện, tìm điều kiện để chia hết ……… 58

2.3 Dạng toán liên quan đến số nguyên tố, hợp số 69

2.4 Một số bài toán khác 76

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

CÁC CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU

THCS: Trung học cơ sở

THPT: Trung học phổ thông

ƯCLN: Ước chung lớn nhất

: Kết thúc của một chứng minh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Số học từ lâu đã làm say mê biết bao người yêu toán, từ những nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại đến đông đảo các bạn học sinh, sinh viên yêu toán Thế giới các con số rất quen thuộc với chúng ta trong cuộc sống hàng ngày, là một thế giới hết sức kỳ lạ, đầy bí ẩn; loài người đã phát hiện trong thế giới đó biết bao tính chất rất hay, nhiều quy luật rất đẹp và có khi rất bất ngờ, đồng thời cũng đang chịu bó tay trước nhiều sự kiện, nhiều dự đoán Điều lý thú là nhiều mệnh đề khó của số học được phát biểu rất đơn giản và dễ hiểu Nhiều bài toán khó có thể giải rất sáng tạo với những kiến thức số học phổ thông

Một trong những lý thuyết quan trọng của số học để giải quyết các bài toán đó là lý thuyết đồng dư

Lý thuyết đồng dư do nhà toán học lỗi lạc người Đức K.F Gauss, người được mệnh danh là “ông vua toán học” xây dựng

Trong chương trình toán Trung học cơ sở, các bài toán về chia hết và chia có dư phức tạp thường gây khó khăn cho học sinh khi trình bày cách giải, khó khăn cho giáo viên khi hướng dẫn học sinh làm bài

Ngày nay trong đổi mới giáo dục toán học ở Việt Nam đã dặc biệt quan tâm đến hình thành các kỹ năng và phát triển năng lực cho người học

Việc hiểu biết một số khái niệm ban đầu về đồng dư thức giúp ta giải được nhiều bài toán khó trong số học một cách nhẹ nhàng, ngắn gọn và rất đẹp

Từ đó hình thành các kỹ năng giải toán và phát triển năng lực cho người học

Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Trung, tôi đã chọn đề tài:

“Lý thuyết Đồng dư và Ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Với đề tài này tác giả mong rằng sẽ giúp cho giáo viên và học sinh có cái nhìn trực quan về bài toán và dễ dàng giải quyết bài toán đó Từ đó có thể khai thác, phát triển và mở rộng các bài toán tiếp theo

Trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi toán Trung học cơ sở, thi vào lớp

10 chuyên, thi Olympic toán… đều có mảng toán về số học liên quan đến vấn

đề này Do vậy đề tài hy vọng sẽ giúp được giáo viên và học sinh chinh phục được các bài toán trong mảng kiến thức này, đồng thời cũng hy vọng giúp các bạn sinh viên ngành Toán học tốt phần “Lý thuyết đồng dư”

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu thực trạng của việc học toán và làm toán ở trường phổ thông

- Nghiên cứu lý thuyết đồng dư, các tính chất và ứng dụng của lý thuyết đồng dư trong việc giải toán sơ cấp

- Nghiên cứu các bài toán sơ cấp có thể giải được bằng lý thuyết đồng

dư

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các bài toán liên quan đến phép chia hết và phép chia có

dư trên tập hợp số nguyên Z

- Nghiên cứu khai thác và mở rộng một số bài toán sơ cấp trong chương trình toán phổ thông

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn có cấu trúc gồm hai chương

Chương I: Trình bày các kiến thức cơ bản nhất của lý thuyết đồng dư và

lý thuyết chia hết, chủ yếu dựa theo tài liệu [5],[7] có tham khảo thêm các tài liệu [2],[3] và [9] Gồm các mục sau:

1 Định nghĩa và tính chất của đồng dư thức

2 Lý thuyết chia hết trên vành số nguyên

3 Định lý Euler và định lý Fermat bé

4 Phương trình, hệ phương trình đồng dư

Chương II: Xây dựng, đưa ra hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải bằng lý thuyết đồng dư, khai thác và phát triển bài toán

Nội dung của Chương 2 trình bày chủ yếu dựa theo tài liệu [7], [8] có tham khảo thêm các tài liệu [1], [2], [3], [4], [6] và [9] Gồm các mục sau:

1 Dạng toán tìm chữ số tận cùng

2 Dạng toán chứng minh chia hết

3 Dạng toán liên quan đến số nguyên tố, hợp số

4 Một số bài toán khác

CHƯƠNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ VÀ CHIA HẾT

1.1 Định nghĩa và tính chất của đồng dư thức ([5; tr 197 – 204])

,,

+ Từ c) suy ra a) Giả sử khi chia a cho m ta được thương là q 1 và số dư là r

Tính chất 1: Quan hệ đồng dư (1.1) là một quan hệ tương đương trong vành

số nguyên Z, nghĩa là với một số tự nhiên m  0 cho trước ta có

Do đó | (m b a− + − hay | (c b) m c− Tức là a) ac(mod )m

Tính chất 2: Ta có thế cộng hay trừ từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một

mođun m với nhau, cụ thể là nếu ta có

(mod m)

i i

a b , với i=1, ,k , thì ta cũng có

Tính chất 3: Ta có thế nhân từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một mođun

m với nhau, cụ thế là nếu

1.1.4 Hệ quả

Hệ quả 1: Ta có thế chia hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung

nguyên tố với mođun m, cụ thế là nếu

Hệ quả 2: Ta có thể nhân hai vế của một đồng dư thức và môdun với cùng một

số nguyên và chia hai vế và môdun cho cùng một số nguyên là ước chung của chúng, cụ thể là nếu

Hệ quả 3: Nếu hai số đồng dư với nhau theo nhiều mođun thì chúng cũng đồng

dư với nhau theo mođun là bội chung nhỏ nhất của các mođun đã cho, cụ thể

Tức là ab(mod )m

Hệ quả 4: Nếu hai số đồng dư với nhau theo mođun m thì chúng cũng đồng dư

với nhau theo mọi mođun là ước của m, cụ thể là nếu ta có

Hệ quả 5: Nếu hai số a và b đồng dư với nhau theo mođun m thì tập hợp các

ước chung của a và m trùng với tập hợp các ước chung của b và m và nói riêng

Suy ra A B (**)

Từ (*) và (**) ta có A = B, tức là (a, m) = (b, m)

Hệ quả 6: Ta có thể cộng hoặc trừ cùng một số vào hai vế của một đồng dư

Hệ quả 7: Ta có thể chuyển vế các số hạng của một đồng dư thức, bằng cách

đổi dấu các số hạng đó, cụ thể là nếu ta có a+ c b(mod )m thì ta cũng có

Hệ quả 9: Ta có thể nhân hai vế của một đồng dư thức với cùng một số, cụ thể

Từ x y(mod )m x n i−  y n i− (mod );m nN i, =0,1, ,n ( Hệ quả 10)

Kết hợp với a i b i(mod )m và theo tính chất 3 ta có

n i n i

a x − b y − m nN i= n

Theo tính chất 2 ta được

Vậy từ (*) và áp dụng hệ quả 8 ta được ( a+b)p a p +b p(mod p)

1.2 Lý thuyết chia hết trên tập hợp số nguyên ([5; tr 36 – 49])

1.2.1 Tính chia hết

1.2.1.1 Định nghĩa:

Cho hai số nguyên a và b, b 0 Ta nói a chia hết cho b, hay b chia hết

a nếu như có số nguyên q sao cho a = bq Khi ấy người ta còn nói a là bội của

b hay b là ước của a và ký hiệu a b hay b a|

1.2.2 Phép chia có dư

Định lý: Cho hai số nguyên a và b, b 0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên

Chứng minh:

i) Tồn tại cặp số nguyên q, r thỏa mãn các hệ thức (1.2) Chúng ta xét tập

hợp M là tập hợp các bội của b bé hơn hoặc bằng a

M = bx xZ bxa

Ta có M  và Z M   bởi vì chẳng hạn −b a  M bị chặn trên M

vậy nó có số lớn nhất Ta gọi số đó là bq Số nguyên bq + là một bội của b b

và bq+ b M vì bq+ b bq , do đó ta có:

bq a bq + b

Hay 0 −a bq b

Đặt r = a – bq, ta được: a = bq + r và 0 r b

ii) Cặp số nguyên q, r thỏa mãn các hệ thức (1.2) là duy nhất Thật vậy, giả

sử có hai cặp số nguyên q, r và q 1 , r 1 thỏa mãn các hệ thức (1.2), nghĩa là

a = bq + r , 0 r b;

a = bq 1 + r 1 , 0 r1 b.Khi đó ta được

Do đó r – r 1 = b(q 1 – q )

Nhưng r −  , cho nên r1 b b q1−  q b q1−   − = q 1 q1 q 0

Nghĩa là q = q 1 , từ đó r = r 1

Trong các hệ thức (1.2) của định lý khi r = 0 thì a = bq tức là a chia hết cho b, ta gọi q là thương trong phép chia a cho b Nếu r 0thì ta nói đó là phép

chia có dư, r gọi là số dư, q gọi là thương hụt trong phép chia a cho b

1.2.3 Ước chung lớn nhất ( viết tắt ƯCLN )

1.2.3.1 Các định nghĩa

i) Một số nguyên được gọi là ước chung của các số nguyên a 1 , a 2 , …, a n

nếu nó là ước đồng thời của các số đó

ii) Một ước chung d của các số a 1 , a 2 , …, a n sao cho mọi ước chung của a1,

a 2 , …, a n đều là ước của d thì d được gọi là ƯCLN của các số đó và ký hiệu

d = (a 1 , a 2 , …, a n )

iii) Nếu số 1 là ƯCLN của các số a 1 , a 2 , …, a n thì ta nói các số a 1 , a 2 , …, a n

là nguyên tố cùng nhau Còn nếu số 1 là ƯCLN của mọi cặp a a với i, j i j;

i, j = 1,2, …, n thì ta nói các số a 1 , a 2 , …, a n là nguyên tố cùng nhau từng đôi một, hay nguyên tố sánh đôi

1.2.3.2 Định lý

Tồn tại ƯCLN của các số nguyên khác không a 1 , a 2 , …, a n cho trước

ii) Nếu (a, b) = 1 và c là một số nguyên tùy ý thì (ac, b) = (c, b)

Chứng minh: Ta chứng minh hai tập hợp trên bằng nhau

Giả sử dZ d ac, | và d b| khi đó d ac| và d bc| hay d| (ac bc, ) nhưng

(ac bc, )=c a b( , )=c.1=cnên d c| Vậy ta có d b| và d c|

Ngược lại, giả sử dZ d b, | và d c| thì hiển nhiên ta có d b| và d ac|

Dãy phép chia này phải kết thúc sau một số bước chia với r n+1 = 0 (số

bước chia không vượt quá b) Khi đó ta có

(a, b) = (b, r 1 ) = (r 1 , r 2 ) = … = (r n-1 , r n ) = r n

ii) Tìm ƯCLN của nhiều số:

Với các số nguyên a 1 , a 2 , …, a n ta đặt d = (a 1 , a 2 , …, a n ), (a 1 , a 2 ) = d 2 , (d 2 , a 3 ) = d 3 , (d 3 , a 4 ) = d 4 , …., (d n-1 , a n ) = d n , thì ta có d = d n

1.2.4 Bội chung nhỏ nhất ( viết tắt BCNN )

1.2.4.1 Các định nghĩa

i) Một số nguyên được gọi là bội chung của các số nguyên a 1 , a 2 , …, a n khi

nó là bội của các số đó

ii) Một bội chung m của các số nguyên a 1 , a 2 , …, a n sao cho mọi bội chung

của a 1 , a 2 , …, a n đều là bội của m gọi là BCNN của các số đó và ký hiệu m = [a 1 , a 2 , …, a n ]

1.2.4.2 Định lý

Tồn tại BCNN của các số a 1 , a 2 , …, a n

Bởi vì m a m a i' i, i, =1,2, ,n nên r= −m' mq a i i, =1,2, ,n tức là

r  Từ r M M  với 0 r m và do tính chất của m là số dương nhỏ nhất thuộc M ta phải có r = 0 bởi vậy m’ = mq, nói khác đi mọi bội chung m’ của các số a 1 , a 2 , …, a n đều là bội của m Hơn nữa vì m là bội chung của các số a 1 ,

i) Tìm BCNN của hai số:

Với hai số nguyên a, b ta có thể giả thiết rằng a > 0, b > 0 Ta có

ii) Tìm BCNN của nhiều số:

Với các số nguyên a 1 , a 2 , …, a n ta đặt m = [a 1 , a 2 , …, a n ], [a 1 , a 2 ] = m 2 ,

1.3.1.1 Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương Phi hàm Euler ( ) m là

số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m

Chứng minh:

Giả sử r r1, , ,2 r là một hệ thặng dư thu gọn theo mođun m khi đó ta

có ar ar1, 2, ,ar cũng là một hệ thặng dư thu gọn theo mođun m Do đó

1.3.3 Định lý Fermat bé

Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p thì ta có

+ Định lý Fermat bé còn được phát biểu dưới dạng: “Cho p là một số

nguyên tố, thế thì với mọi số nguyên a, ta có đồng dư thức p (mod )

+ Để cho gọn trong các bài toán ở chương II ta gọi định lý Fermat bé là định lý Fermat

1.4 Phương trình, hệ phương trình đồng dư ([5; tr 221 – 240])

1.4.1 Phương trình đồng dư

1.4.1.1 Phương trình đồng dư một ẩn

Kí hiệu Z[x] là tập các đa thức một biến với các hệ số nguyên

Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những đa thức thuộc Z[x] và m là một số tự

nhiên lớn hơn 1

Các phương trình chứa biến x dạng

g x( )h x( )(mod )m

Hay

f x( )( ( )g x −h x( ))(mod )m 0(mod )m (1.3)

được gọi là phương trình đồng dư một ẩn

Nhận xét rằng, ở đây, phương trình (1.3) chỉ là một trường hợp riêng của

phương trình đồng dư nhiều ẩn f(x l , x2, ,) với f(x 1 , x 2 , , x n ) là một đa thức

nhiều biến với hệ số nguyên

Sau đây ta sẽ nghiên cứu phương trình đồng dư một ẩn

1.4.1.2 Phương trình đồng dư tương đương

Cho f x( )Z x[ ] Nếu với x=  ta có x0 Z f x( )0 0(mod )m thì ta nói

x 0 nghiệm đúng phương trình f x( )0(mod )m

Giải một phương trình đồng dư là tìm tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình đồng dư đó

Giả sử f x g x( ), ( )Z x[ ] Hai phương trình đồng dư

tương đương với nhau nếu như tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình

này bằng tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình kia

Khi ấy ta viết: f x( )0(mod m1)g x( )0(mod m2)

Định nghĩa

+ Phép biến đổi một phương trình đồng dư thành một phương trình

đồng dư khác tương đương với nó được gọi là phép biến đôi tương đương

+ Hiển nhiên hai phương trình đồng dư cùng tương đương với phương trình đồng dư thứ ba thì tương đương với nhau

1.4.1.3 Các phép biến đổi tương đương thường gặp

+ Cộng hay trừ hai vế của một phương trình đồng dư với cùng một đa thức có hệ số là những số nguyên thì được một phương trình mới tương

đương

+ Nếu ta thêm hay bớt ở một vế của một phương trình đồng dư theo

mođun m một bội của môđun m thì ta được một phương trình mới tương

Nếu ta nhân các hệ số cua f(x) với một số nguyên, nguyên tố với mođun

m thì ta được một phương trình mới tương đương

Nếu ta chia các hệ số của f(x) cho cùng một ước chung nguyên tố với mođun m thì ta được một phương trình mới tương đương

Nếu ta nhân các hệ số của f(x) và mođun m với cùng một số nguyên

dương thì ta được một phương trình mới tương đương

Chia các hệ số của f(x) và môđun m với cùng một ước chung dương của

chúng thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

1.4.1.4 Bậc của phương trình đồng dư

Xét phương trình đồng dư

+ Trong phương trình (1.4) ta có thể giả thiết a n không chia hết cho m

Thật vậy, nếu a n 0(mod )m thì ta có thể bỏ số hạng a n x n ở phương trình (1.4),

ta vẫn được một phương trình tương đương với phương trình (1.4)

+ Trong phương trình (1.4) ta có thể đưa các hệ số a a n, n−1, , ,a a1 0về các

số nguyên không âm nhỏ hơn m.Thật vậy, với a n chẳng hạn ta chia a n cho m ta

được a n =mq+a'n , q a, 'nZ,0a'n  Khi ấy, phương trình (1.4) tương m

1.4.1.5 Nghiệm của phương trình đồng dư

Tập các giá trị nghiệm đúng của phương trình f x( )0(mod )m thường

được phân chia thành những lớp theo mođun m và được gọi là những nghiệm

của phương trình đó

Định lý

Nếu x = là nghiệm đúng phương trình (1.4) thì mọi số nguyên thuộc 

lớp thặng dư (mod )m đều nghiệm đúng phương trình (1.4)

Định nghĩa

Khi số nguyên  nghiệm đúng phương trình (1.4) thì ta gọi lớp thặng

dư (mod )m là một nghiệm của phương trình (1.4)

Khi (mod )m là một nghiệm của phương trình (1.4) thì ta cũng viết

(mod )

x m và gọi x là một nghiệm của phương trình (1.4)

Hệ quả

Số nghiệm của một phương trình đồng dư theo mođun m không vượt quá

m Do đó để giải phương trình đồng dư ta lần lượt cho x lấy các giá trị trong

một hệ thặng dư đầy đủ và tìm các giá trị nghiệm đúng phương trình đó

1.4.2 Hệ phương trình đồng dư

1.4.2.1 Hệ phương trình đồng dư

Cho hệ phương trình

( ) 0(mod )( ) 0(mod )

(1.5)

Nếu với số nguyên x = x 0 ta có k đồng dư thức f x i( )0(mod m i)đúng

với mọi i= 1,2, , k thì ta nói x 0 nghiệm đúng hệ phương trình (1.5)

Giải một hệ phương trình đồng dư là tìm tập hợp các giá trị nghiệm đúng

hệ phương trình đồng dư đó

1.4.2.2 Hệ phương trình đồng dư tương đương

Hai hệ phương trình đồng dư

về việc biến đổi tương đương từng phương trình

nói khác đi x 0 nghiệm đúng hệ (1.7)

Ngược lại, giả sử x 1 nghiệm đúng hệ phương trình (1.7), nghĩa là ta có

đồng dư thức ( )1 0(mod i), 1,2, ,

m= p p p  nên ta cũng có đồng dư thức f x( )1 0(mod )m ,

tức x 1 cũng nghiệm đúng phương trình (1.6)

1.4.2.3 Nghiệm của hệ phương trình đồng dư

Cho hệ phương trình

Nếu x = là nghiệm đúng hệ phương trình (1.8) thì mọi số nguyên 

thuộc lớp thặng dư (mod )m đều nghiệm đúng hệ phương trình (1.8)

Từ đồng dư thức (1.9) và (1.10) ta có f i( ) 0(modm i i), =1,2, ,k

nghĩa là  nghiệm đúng hệ phương trình (1.8)

Định nghĩa

Khi số nguyên  nghiệm đúng hệ phương trình (1.8) thì ta gọi lớp thặng

dư (mod )m là nghiệm của hệ phương trình (1.8)

1.4.2.4 Phương trình và hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

i) Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Phương trình (1.12) có nghiệm khi và chỉ khi ước chung lớn nhất d của

a và m là ước của c Khi (1.12) có nghiệm thì nó có d nghiệm

Chứng minh:

Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm, nghĩa là có x0 sao choZ

ax c m Vì d= (a, m) nên d a| và d m| Suy ra d ax| 0và d m|

Theo tính chất của đồng dư thức, d phải là một ước số của ƯCLN(ax 0 , m) = ƯCLN (c, m) hay d là ước của c

Ngược lại, giả sử (a, m) = d là ước của c

Đặt a = a 1 d, c = c 1 d, m = m 1 d Phương trình (1.12) tương đương với

trong đó (a 1 , m) = 1 Do (a 1 , m) = 1 nên khi cho x chạy qua một hệ thặng dư

đầy đủ mođun m 1 thì a 1 x cũng chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ mođun m 1

Do đó tìm được duy nhất một giá trị x 0 sao cho a 1 x 0 cùng lớp với c1,

nghĩa là a x1 0 c1(modm1)

Vậy phương trình (1.13) có nghiệm duy nhất là lớp x0(modm1) Vì

phương trình (1.13) tương đương với phương trình (1.12) cho nên lớp

0(mod 1)

x m cũng là tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình (1.12) Theo

tính chất của đồng dư thức, lớp x0 là hợp của d lớp thặng dư mođun m, đó

chính là d nghiệm của phương trình (1.12):

0(mod 1), 0 1(mod 1), , 0 ( 1) 1(mod 1)

Các cách tìm nghiệm của axc(mod )m

Theo Định lý trên, ta chỉ cần tìm nghiệm của phương trình (1.12) với

điều kiện (a, m) = 1 và 1 < a < m

Cách 1: Xác định nghiệm bằng cách chia cả hai vế cho a

+ Nếu a là một ước của c thì nghiệm của phương trình là: c(mod )

a

x m

+ Nếu a không phải là một ước số của c thì do (a, m) = 1 nên tồn tại số nguyên k (1  −k a 1) để c + km chia hết cho a Thật vậy, giả sử với mọi k (1  −k a 1), c+km chia hết cho a Khi ấy theo nguyên lí Dirichlet phải tồn

tại hai số 0 k1 k2  −a 1 sao cho c + k 1 m và c + k 2 m chia cho a có cùng số

dư, tức là (k1−k m2) = +(c k m1 )− +(c k m2 )chia hết cho a Nhưng (a, m) = 1 nên (k 1 – k 2 ) chia hết cho a Vô lí vì 0 | k1−k2|a

Như vậy, phải tồn tại số nguyên k (1  −k a 1) để c+km chia hết cho a

Khi ấy phương trình (1.12) tương đương với phương trình

Việc xác định nghiệm theo cách này là đơn giản nhưng chỉ dùng được

trong trường hợp a là một số nhỏ hoặc trường hợp dễ thấy ngay số k

Cách 2: Xác định nghiệm bằng cách vận dụng định lí Euler

Vì (a, m) = 1 cho nên theo Định lý Euler ta có ( )

Trở về phương trình dạng (1.12) xét trong Trường hợp 2

Ví dụ: Giải phương trình đồng dư 3x 5(mod 4)

Giải:

Cách 1: 3x5(mod 4)3x1(mod 4)3x +1 2.4(mod 4)

3x 9(mod 4) x 3(mod 4);(3,4) 1

Vậy x 3(mod 4) là nghiệm của phương trình

Cách 2: 3x5(mod 4)3.3x3.5(mod 4)9x15(mod 4)

8x+ x 12 3(mod 4)+  x 3(mod 4)

Vậy x 3(mod 4) là nghiệm của phương trình

Cách 3: Vì (3, 4) = 1 nên theo định lý Euler ta có

Vậy x 3(mod 4) là nghiệm của phương trình

ii) Quan hệ giữa phương trình đồng dư bậc nhất và phương trình

Diophantos bậc nhất hai ẩn ax + by = c

Coi b > 0 Nếu phương trình Diophantos ax + by = c có một nghiệm

nguyên (x0, y0), nghĩa là ta có đẳng thức ax 0 + by 0 = c thì suy ra:

c−ax  b nghĩa là có số nguyên y 0 để c - ax 0 = by 0 Từ đó suy ra

ax 0 + by 0 = c, tức phương trình đã cho có nghiệm (x0, y0 )

Vậy điều kiện phương trình Diophantos ax + by = c có nghiệm nguyên

tương đương với điều kiện phương trình đồng dư axc(mod )b có nghiệm, tức

là ước chung lớn nhất của a và b là một ước của c Giải phương trình Diophantos ax + by = c được đưa về giải phương trình đồng dư

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x + 11y = 47

Thay x = 9 + 11t vào phương trình ban đầu ta được y = 1 – 4t

Nghiệm tổng quát của phương trình là 9 11 ( )

iii) Hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Xét hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn có dạng

x m và x(mod )m của hệ phương trình (1.14) là trùng nhau

1.4.3 Định lý Trung Hoa về thặng dư

Nếu các m 1 , m 2 , …, m k đôi một nguyên tố cùng nhau thì hệ phương trình

(1.14) có nghiệm duy nhất theo mod m = m 1 m 2 m k

Chứng minh

Tính duy nhất của nghiệm ta đã chứng minh ở trên Bây giờ ta đi chứng

minh sự tồn tại của nghiệm theo mod m = m 1 m 2 m k

Theo giả thiết m 1 , m2, , m k đôi một nguyên tố cùng nhau nên bội chung

nhỏ nhất của chúng là m = m 1 m 2 m k Đặt m = m i M i với i =1,2, ,k Khi đó ta

có (m i , M i ) = 1 và M i 0(modm j),i  Vì (m j i , Mi) = 1 nên tồn tại số nguyên

M’ i sao cho M M i i' 1(mod m i), i = 1, 2, , k

+ Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể chứng minh được rằng:

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình (1.14) có nghiệm là ước chung lớn nhất

(m i , m j ) chia hết b i – b j với i j(1i j,  k)

+ Giả sử 1 2

k

m= p p p  là phân tích tiêu chuẩn của m Khi ấy phương

trình đồng dư f x( )0(mod )m tương đương với hệ phương trình đồng dư

Vậy trong trường hợp tổng quát giải một phương trình đồng dư dẫn đến

giải hệ (1.14) Với các môđun m 1 , m 2 , …, m k đôi một nguyên tố cùng nhau

Cách giải hệ phương trình đồng dư

+ Đầu tiên giải hệ hai phương trình nào đó của hệ đã cho, rồi thay trong

hệ hai phương trình đã giải bằng nghiệm tìm thấy, ta sẽ được một hệ gồm k -

1 phương trình tương đương với với hệ đã cho Tiếp tục như vậy sau k - 1

bước ta sẽ được nghiệm cần tìm (phương pháp thế)

+ Đặc biệt nếu (m m i, j) 1,= i j(1i j, k)ta sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa để tìm ngiệm như sau:

Gọi m = m 1 m 2 m k , ta tìm M1, M2, …, Mk dựa vào đẳng thức m = m i M i với

i =1,2, ,k với (m i , Mi) = 1 Tìm M’ i theo hệ M M i i' 1(mod m i)

x x x

 t2 2(mod7) = +t2 2 7t3

Thay t 2 vào (**) ta có x=280t3 +103 x 103(mod 280)

Vậy x 103(mod 280) là nghiệm của hệ

Cách 2: Vì 5; 7; 8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên theo định lý thặng

dư Trung Hoa ta có: m = 5.7.8 = 280

CHƯƠNG II KHAI THÁC CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ

CẤP BẰNG LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ

2.1 Dạng toán tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa ([2],[4],[7],[9])

2.1.1 Tìm một chữ số tận cùng

Bài toán 1: Chứng minh rằng với nN:

a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc n bất

kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ (2n+1)

thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n thì

chữ số tận cùng là 1

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n thì

chữ số tận cùng là 6

e) Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 thì chữ số tận

cùng vẫn không thay đổi

f) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ

số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3

sẽ có chữ số tận cùng là 3

g) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ

số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3

sẽ có chữ số tận cùng là 2

h) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng

Phân tích cách làm bài toán:

Đây là bài toán tổng quát của dạng tìm 1 chữ số tận cùng mà phần lớn các giáo viên (cũng như hầu hết các tài liệu tham khảo hiện hành) khi hướng dẫn học sinh làm bài dạng này đều cho học sinh thừa nhận và ghi nhớ để áp dụng vào làm bài Tuy nhiên để hiểu rõ được bản chất của bài toán ta có thể phân tích cách làm như sau:

- Chữ số tận cùng của một lũy thừa là số dư trong phép chia giá trị của lũy thừa đó cho 10

- Việc tính giá trị của một lũy thừa với số mũ rất lớn là khó khăn (dùng máy tính bỏ túi bấm thì sẽ bị tràn màn hình)

- Vì vậy ta viết cơ số của lũy thừa đó thành tổng của 1 số tròn chục với chữ số hàng đơn vị (Xr=X0+r), chữ số hàng đơn vị là số có 1 chữ số việc nhẫm lũy thừa để phát hiện ra quy luật là dễ hơn nhiều Theo hệ quả 10 của đồng dư thức ta có Xrr(mod10)Xr n r n(mod10) từ đó ta chứng minh bài

toán trên bằng lập luận hoặc theo quy nạp

Chứng minh:

a) Gọi Xr là số có chữ số tận cùng là r, r 0;1;5;6

Ta có Xrr(mod10) Xr n r n(mod10),nN

Vì 0n 0(mod10),1n 1(mod10), hiễn nhiên

Ta chứng minh (*) theo quy nạp

- Với n = 1 ta có 55(mod10),66(mod10), đúng

- Giả sử (*) đúng với n = k 5k 5(mod10),6k 6(mod10)

- Với n = k + 1 ta có:

5k+ =5 5 5.5 5(mod10),6k   k+ =6 6k 6.66(mod10), đúng nên theo nguyên lý quy nạp ta có điều cần chứng minh