de cuong toan 12 HK I

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của S trên mpABC trùng với trung điểm H của cạnh AB, cạ[r]

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 HK I

CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa : Cho hàm số yf x( )xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửakhoảng

a Hàm số yf x( )được gọi là đồng biến trên D nếu x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( )2

b Hàm số yf x( )được gọi là nghịch biến trên D nếu x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( )2

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng D

a Nếu hàm số yf x( ) đồng biến trên D thì f x'( ) 0,  x D

b Nếu hàm số yf x( ) nghịch biến trên D thì f x'( ) 0,  x D

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

a Định lý 1 Nếu hàm số yf x( )liên tục trên đoạn a b, 

và có đạo hàm trên khoảng (a,b)thì tồn tại ít nhất một điểm c( , )a b sao cho: f b( ) f a( )f c b a'( )(  )

b Định lý 2 Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng D

- Nếu f x'( ) 0,  x D và f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm sốđồng biến trên D

- Nếu f x'( ) 0,  x D và f x '( ) 0chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm sốnghịch biến trên D

- Nếu f x'( ) 0,  x D thì hàm số không đổi trên D

4 Tính chất của hàm số đơn điệu:

a Cho hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên D thì phương trình f x ( ) 0 cónhiều nhất một nghiệm

b Cho hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên D Khi đó: phương trình

32

x





8

x x y

4( ) mx

C Dạng 3 Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 Định nghĩa : Cho hàm số yf x( )xác định trên D⊂R và x0D

 x được gọi là một điểm cực đại của hàm số 0 yf x( ) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm x0sao cho ( , )a b D và f x( ) f x( ),0  x ( , ) \a b  x0 Khi đó f x được gọi là già trị( )0cực đại của hàm số và M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số

 x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 0 yf x( ) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm0

x sao cho ( , )a b D và f x( ) f x( ),0  x ( , ) \a b  x0 Khi đó f x được gọi là giá( )0trị cực tiểu của hàm số và M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số yf x( )có cực trị tại x Khi đó, nếu0

( )

yf x có đạo hàm tại điểm x thì 0 f x  '( ) 00

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :

Định lý 1 (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )

Giả sử hàm số yf x( )liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x và có đạo hàm trên các0khoảng ( , ) và ( , )a x0 x b Khi đó :0

 Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x0

 Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực đại tại 0 x0

Định lý 2 (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số )

Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x ,0 f x  và f(x) có đạo'( ) 00hàm cấp hai khác 0 tại điểm x Khi đó:0

 Nếu f x  thì hàm số đạt cực đại tại điểm ''( ) 00 x0

 Nếu f x  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ''( ) 00 x0

BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 .Định nghĩa : Cho hàm số yf x( )xác định trên D⊆R

 Nếu tồn tại một điểm x0D sao cho f x( )f x( ),0  x D thì số M f x( )0 đượcgọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu M M x Dax ( )f x

1 Cho x2y2  Tìm Max, Min của biểu thức 1

2 2

xy y P

4 Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thõa điều kiện x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của biểu thức P(4x23 )(4y y23 ) 25x  xy

BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

lim ( )

x x f x



 

2 Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng (d):yy0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số( )

yf x nếu xlim ( )f x y0

hoặc xlim ( )f x y0

   

3 Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng (d) y ax b a  ( 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thịhàm số yf x( ) nếu lim ( ) ( ) 0

 Đường thẳng (d) y ax b a  ( 0)là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số yf x( ) khi vàchỉ khi

2( )

1 Bài toán 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( ) có đồ thị (C) tại một điểm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M x y( , ) ( )0 0  C có dang :

'( )( )

yf x x x y Trong đó f x được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm '( )0 M x y ( , )0 0

2 Bài toán 2 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( ) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước

 Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có ( , )0 0 M( )C  y0 f x( )0

Phương trình tiếp tuyến có dạng yf x'( )(0 x x 0)y0

 Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng k nên f x'( )0  , giải PT k f x'( )0  tìm đượck

Cách 1: ( Điều kiện tiếp xúc)

 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k

 Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến

Cách 2: ( Tọa độ tiếp điểm)

 Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có ( , )0 0 M( )C  y0 f x( )0Phương trình tiếp tuyến có dạng yf x'( )(0 x x 0)y0

 Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: y A f x'( )(0 x A  x0)y0 Giải ra tìm được

 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

a Tại điểm A(-2;3)

b Tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2

c Tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng -2

d Tại các giao điểm của (C) và đường thẳng y2x7

e Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8

f Biết tiếp tuyến song song đường thẳng d y: 32x2017

g Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d y: 2x 2017

2 Cho hàm số yf x( )x3 3x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ 2thị

a Tại điểm A(2;4)

b Tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -2

c Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

d Biết tiếp tuyến song song đường thẳng d y: 24x 2017

e Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

a Tại điểm A(-2;5)

b Tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -2

c Tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng 3

d Tại các giao điểm của (C) và hai trục tọa độ

e Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3

f Biết tiếp tuyến song song đường thẳng d y: 12x2017

g Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d y: 12x2017

4 Cho hàm số yf x( ) 4 x3 6x24x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến 1của đồ thị

a Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2.

b Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 28

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

(d) 4x y 1 0

5 Cho hàm số

2( )

a Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3.

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư

thứ hai

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

116

y x

7 Cho hàm số

2( )

đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1, -9)

9 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1 Cho hàm số yf x( )x33x2 9x (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ5thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

2 Cho hàm số yf x( )x33x210x12 (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

4

5 Cho hàm số

1( )

6 Cho hàm số

2( )

9 Cho hàm số yf x( )x3 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình Parabol đi qua 4các điểm cực trị của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y2x2

10 Cho hàm số

3 21

a Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

b Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi

c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

13 Cho hàm số

1

x y x

 



 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m  luôn cắt

đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k k lần lượt là hệ số góc của tiếp 1, 2tuyến với ( C) tại A và B Tìm m để tổng k1k2 đạt giá trị lớn nhất

1 Cho hàm số yf x( )x3 3 (C)x Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó

có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số

2 Cho hàm số yf x( )x3 3 (C)x Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà từ đó

có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số

3 Cho đường thẳng (d):x = 2 và hàm số yf x( )x3 6x29x có đồ thị (C) Từ 1một điểm bất kỳ trên (d) có thể được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C)

4 Cho hàm số yf x( )x3 3x2 có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y = -2 các 2điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

5 Cho hàm số yf x( )x4 2x2 có đồ thị (C)

a Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O

b Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và Bsao cho A là trung điểm của MB.

c Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

6 Cho hàm số yf x( )x3 3x2 có đồ thị (C) Tìm những điểm trên trục Ox sao 4cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)

7 Cho hàm số yf x( ) x33x22x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng1

2 1

y x các điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C)

8 Cho hàm số yf x( )x3 3x2 có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng 2 y3x2các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C)

9 Cho hàm số

1( )

10 Cho hàm số yf x( )x33x2 có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ

đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

 Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến

AB,AC đến đồ thị hàm số sao cho ABC đều ( Với B, C là hai tiếp điểm )

BÀI 7: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

 Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( )C2

 Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của ( )C và 1 ( )C2

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong Cho hai hàm số yf x( ) và yg x( ) có đồ thị lần lượt

là ( )C và 1 ( )C và có đạo hàm tại điểm 2 x 0

 Hai đồ thị ( )C và 1 ( )C tiếp xúc với nhau tại một điểm chung 2 M x y nếu tại ( , )0 0điểm đó chúng có chung cùng một tiếp tuyến Khi đó điểm M được gọi là tiếp điểm

 Hai đồ thị ( )C và 1 ( )C tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có 2nghiệm

( ) ( )'( ) '( )

Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ của tiếp điểm.

a Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

2 Cho hàm số yf x( )x3 6x29x 6 (C).Định m để đường thẳng (d):

y mx  m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

3 Cho hàm số yf x( )x42(m2)x2 2m 3 (C Định m để đồ thị ( ) m) C cắt trục m

Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

4 Định m để đồ thị hàm số yf x( )x3mx2 m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt 1

5 Cho hàm số yf x( )x4 (3m2)x2 3m có đồ thị (C Tìm m để đường thẳng m)

1

y  cắt đồ thị (C tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 m)

6 Cho hàm số yf x( )x3 3x2 (C) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm 4I(1,2) với hệ số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời

I là trung điểm của AB

hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

9 Cho hàm số yf x( )x3 2x2(1 m x m)  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x thõa mãn điều kiện 1; ;2 3 2 2 2





 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho

b Tìm k để đường thẳng y kx 2k1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau

 Tính các giới hạn và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

 Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 (nếu có)

 Lập bảng biến thiên

 Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số

 Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số (như giao với trục tung, trục hoành (nếu có)

và lấy thêm một số điểm đặc biệt khác)

 Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét

II BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

 Với a  thì 0 a 0 1 , a1 a,

1

n n

a a

B Các phép toán về lũy thừa

Cho a, b là các số thực dương, m,n là hai số thực tùy ý

1 a a m. n a m n

2

m

m n n

a

a a

b  và a > 0 , b > 0

Hàm số y x  với   được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa y x  tùy thuộc vào giá trị của  , cụ thể:

 Với  nguyên dương, tập xác định là 

 Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ 0 

 Với  không nguyên, tập xác định là 0;

(x  )0

2 Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số y x  với   có đạo hàm với mọi x  và 0  x .x  1

Hàm số luôn nghịch biến

Tiệm cận ngang là trục Ox

Tiệm cận đứng là trụcOy

Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1)

II BÀI TẬP

Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

4

2 74

x y

x y x

x y

x y x

2

1

18 2

x y

1 4

x y

x y x

21

2 2 

3 3

log 27 log 3

3

4 log 15 log 5 log 35  2  5 10

5 5

log 2 2 log 3

3



1 3 log 2

3 81log 53  27log 369  34log 79

7 7

log 3 2 log 2

2



6 log 8.log 813 43

4 log 12 log 15 log 20 8  8  8 8 8 6

2 Cho loga b  và log4 a c  Tính 2 Alogaa b b c. . 3

3 Cho log 3 a2  , log 5 b2  Tính log 2 3 , 2 3

2log 2 135 , log 180 , 2 log 37,5 ,3 3

log 1875 , log 24 , 54 log 1030

4 Cho log 6 m2  Tính log 24 theo m.54

5 Cho log 3 a5  Tính log 15 theo a.25

6 Cho log 7 a25  , log 5 b2  Tính 3 5

49log

8

7 Cho log 5 a , log 3 b Tính log 8 30

8 Cho log 2 a5  , log 3 b5  Tính các logarit sau theo a và b

a log 27 5 c log 12 5

b log 15 5 d log 305

9 Cho log 5 a27  , log 7 b8  , log 3 c2  Tính log 35 theo a, b, c.6

10 Cho log 3 a2  , log 5 b3  , log 2 c7  Tính log 63 theo a, b, c.140

+ Nếu a 1 thì hàm số đồng biến trên 

+ Nếu 0a1 thì hàm số nghịch biến trên 

Chẳng hạn:

+

43

x

y  

  là hàm đồng biến trên  vì

413

a  

+

13

+ Nếu a 1 thì hàm số đồng biến trên khoảng 0; 

+ Nếu 0a1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 

Chẳng hạn:

+ log x3 là hàm đồng biến trên khoảng 0;  vì a  3 1

8) y2x e x9)

ln x

y x

 10) y 1 lnxlnx

e y e



 6) y log 3 2 x 47)

2 1ln

1

x y

8) ylog3 3x2 x 4 10) 2

3 2log

1

x y

1) yx1e x

, y y e x2) y e xs inx , y2y2y0

3)

212

x

, y 2yy e x4)

1ln1

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : a f x( )a g x( ) (1)

 Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) f x( )g x( )

 Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì

0(1)

Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa

Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng f x( )g x( ) (*)

 Bước 1 : Chỉ ra x là một nghiệm của phương trình (*)0

 Bước 2 : Chứng minh f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm nghịch biến hoặc f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm hằng hoặc f x( ) là hàm nghịch biến, g x( ) là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm

BÀI 6: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng

3 log (2 x23x2) log ( 2 x27x12) 3 log 3  2

4 2log92xlog log ( 23x 3 x 1 1)

5 log2xlog3xlog log2x 3x

6 log5xlog3xlog 3.log 2255 9

Bài 1 : Giải các phương trình sau

 loga f x( ) log b g x( ) đặt t suy ra

( )( )

t t

5 2log cot3 xlog cos2 x

Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng f x( )g x( ) (*)

 Bước 1 : Chỉ ra x là một nghiệm của phương trình (*)0

 Bước 2 : Chứng minh f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm nghịch biến hoặc f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm hằng hoặc f x( ) là hàm nghịch biến, g x( ) là hàm hằng Từ

đó suy ra tính duy nhất nghiệm