chuyen de GTLN GTNN lop 8

Biểu thức là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: *Phương pháp: Cách 1: Viết biểu thức dưới dạng tổng một số với một biểu thức không âm... HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ + Nắm chắc địn[r]

CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ VỀ DỰ GIỜ LỚP 8A

Chuyên đề

TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

(TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC)

A LÝ THUYẾT

I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC:

1 Giá trị lớn nhất:

Cho biểu thức f(x;y; ) Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y ), nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y ta có f(x,y ) M (M hằng số) (1) 

- Tồn tại (xo,yo ) sao cho: f(xo,yo ) = M (2)

kí hiệu maxf = M 0

0

x x

y y





 





A LÝ THUYẾT



I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC:

1 Giá trị lớn nhất:

2 Giá trị nhỏ nhất:

Cho biểu thức f(x;y; ), ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) nếu hai điều kiện sau

được thoả mãn:

- Với mọi x,y ta có f(x,y ) m (m hằng số) (1’)

- Tồn tại (xo,yo ) sao cho: f(xo,yo ) = m (2’)



kí hiệu minf = m 0

0

x x

y y





 





3 Chú ý:

Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói

gì về cực trị của một biểu thức

Chẳng hạn, xét biểu thức: A = (x- 1) 2 + (x – 3) 2

Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được

minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0

Ta phải giải như sau:

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2

A = 2 x -2 = 0 x = 2

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2





A LÝ THUYẾT

II KIẾN THỨC LIÊN QUAN:

1 Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một

tổng, bình phương của một hiệu:

 a b 2 0 Với mọi a; b

2 a  b  a  b và a  b  a b  a b  0

3 a  b  a  b và a  b  a b  a  0b

Hoặc a  0b

4 Đôi khi ta cần thay đổi điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

-A lớn nhất A nhỏ nhất

lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0

C lớn nhất C2 lớn nhất với C > 0

Và một số tính chất của phân số…

 1

B 



B CÁC DẠNG BÀI TẬP

TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC

B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

2

2

C



 

2 2

3 8 6

2 1

D

 



 

2

3 4

1

x E

x







F = x3 + y3 – xy Biết x + y = 1

2

5 4 1

5x 4x 1

A   

VD1: Tìm GTLN của biểu thức

2

5 25 5

5

x

    



GIẢI

Ta có:

Vậy Max A = 2

5

9 5

0

           

     

Vì:

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

I TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT BIẾN

1 Biểu thức là tam thức bậc hai:

Phương pháp:

Ta có: f x( ) ax2 bx c a x( 2 b x) c

a

     

2

2

4

b

k c

a

 

Do đó: nếu a 0 f x( ) k 

nếu a 0 f x( ) k 

Bài tập 1: a)Tìm GTLN của biểu thức: M = 5 – 8x – x2

N = x2 – 5x + 1 b)Tìm GTNN của biểu thức:

Bài tập tự luyện: 418 (NC&PT/trang 69)

2 Biểu thức là đa thức có bậc lớn hơn

2:

B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

VD2: Tìm GTNN của biểu thức

GIẢI

Ta

có:B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x) (x2 – 7x +12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì B = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36

Vì y2 0 với mọi y Suy ra MinB = -36 y = 0

x2 – 7x + 6 = 0 x = 1 và x = 6





 Vậy GTNN của B là MinB = -36 x = 1 và x = 6

Bài tập tự luyện: 419 (NC&PT/trang 69)

2 Biểu thức là đa thức có bậc lớn hơn

2:

*Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ (điều kiện của ẩn nếu cần) đưa đa thức

đã cho về đa thức bậc hai đối với ẩn phụ

- Tìm GTLN, GTNN đa thức bậc hai đối với ẩn phụ.

- Kết luận.

Bài tập 2 Tìm GTNN của biểu thức

M = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

N = (x-1)(x-3)(x – 4x + 5)

3 Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

VD3: Tìm GTNN của biểu thức

C   x  x 

GIẢI

Ta

có:

7 7

a  a  x    x

4; 4

        

      

      

   

   

3 x 7

  

Không có giá trị của x thoả mãn

Vậy MinC = 4    3 x 7

Bài tập tự luyện: 420; 443 (NC&PT/trang 69; 73)

3 Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

*Phương pháp:

Áp dụng

Bài tập 3 Tìm GTNN của biểu thức:

a  b  a  b và a  b  a b  a b  0

a  b  a  b và a  b  a b  a  0b

Hoặc a  0 b

2 3 2 1

P  x   x  Q   x 2  x  3  x  4

a  a

4 Biểu thức là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

VD4: Tìm GTNN của

Ta

có:

Vậy Min

2

2

6 5 9

C



 

C

Ta thấy nên  3x  12 0  3x  12  4 4

Do đó:

3x 1 4 3x 1 4

Hay 1 ; 1  3 1 0  1

C  C   x     x

C    x

*Phương pháp:

- Tìm GTLN, GTNN của mẫu theo dạng 1

Bài tập 4

a) Tìm GTLN của biểu thức:

2

1 R

x 4x 9



 

- Áp dụng tính chất với a và b cùng dấua b 1 1

a b

- Kết luận

2

3 S

x 6x 6



  

b) Tìm GTNN của biểu thức:

4 Biểu thức là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

5 Biểu thức là phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức.

VD5: Tìm GTNN của

2 2

3 8 6

2 1

x x D

x x

 



 

Cách 1: Viết D dưới dạng tổng một số với một biểu

thức không âm

2

2 2

D

2 2

2

1

x D

x





Vậy minD = 2 khi và chỉ khi x = 2

GIẢI

5 Biểu thức là phân thức có mẫu là bình

phương của một nhị thức.

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :

VD5: Tìm GTNN của

2 2

3 8 6

2 1

x x D

x x

 



 

Vậy minD = 2 khi và chỉ khi x = 2

   

3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1

2 1 2 2 1

1 2 1 1

D

          

    

   

GIẢI

2 2

2 1 1

3 ( 1 ) 2

y y y

D      Do đó

2; D 2 y 1 x 1 1 x 2

D        

*Phương pháp:

5 Biểu thức là phân thức có tử là hằng số,

mẫu là tam thức bậc hai:

Cách 1: Viết biểu thức dưới dạng tổng một số với một

biểu thức không âm

Cách 2: Đổi biến, đưa biểu thức đã cho về dạng đa thức

bậc hai đối với biến mới (có thể đổi biến 1, 2 lần)

Bài tập 5 a) Tìm GTNN của biểu thức:

2

2

x 4x 1 A

x

 



2

x B

(x 10)





b) Tìm GTNN của biểu thức:

Bài tập tự luyện: 427; 428; 429 (NC&PT/trang 70)

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

+) Nắm chắc định nghĩa GTLN; GTNN của biểu thức +) Nắm được 5 dạng bài tập và phương pháp giải

+) Đặc biệt chú ý điều kiện tồn tại GTLN; GTNN

+) Làm bài tập tự luyện

CHÚC CÁC THẦY CÔ MẠNH KHỎE

CHÚC CÁC EM HOÀN THÀNH TỐT CÁC BÀI TẬP

TIẾT HỌC KẾT THÚC