* Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng.. * Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng.[r]
Trang 1Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
- -
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN Ngày thi 02/11/2011 (Hướng dẫn chấm này gồm có 02 trang) Bài 1
(7 điểm) Đặt S x y P, xy
= + = ĐK : S2 ≥4P
Ta có x2 +y2 +xy= ⇔3 S2− = ⇔P 3 S2 = + ≥ ⇒ ≥ −P 3 0 P 3
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x= = −y 3
Vì S2 ≥4P và S2 = +P 3 nên P+ ≥3 4P⇔P≤1
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x = y = 1
Tóm lại, tập giá trị của P là [−3 ; 1]
Ta có, M =x y3 3−3xy x( 2+y2+xy+xy)=P3−3 (3P +P)=P3−3P2−9P
1 [ 3;1]
P
P
= ∉ −
( 3) 27, ( 1) 5, (1) 11
M − = − M − = M = −
[ 3;1]
minM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 3) 27
[ 3;1]
maxM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 1) 5
0,5đ 1,5đ
1,0đ
0,5đ 1,0đ 1,0đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Bài 2
(6 điểm) 1 Ta có ∆AOB cân đỉnh O nên 0
180 2
AO C= − CAO
AOB+AO C = − BAO CAO+ =
Suy ra OB // O’C
IB = OB = R ⇒= R
Vậy I là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’)
Vì vậy, BC luôn luôn đi qua điểm I cố định ( đpcm )
3
AG= AM
Gọi K là trung điểm của OO’ Vì MK là đường trung bình của hình thang
2
R R
KM = +
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ 1,0đ
Trang 2Trang 2
2
R+R
( , ) 3
( ) A
2
R+R
) cố định nên G chạy trên đường tròn cố
2
R+R
3
K
M
I
C
B
0,5đ 0,5đ
0,5đ
Bài 3
(7 điểm)
* Xây dựng được các bộ nghiệm
* Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng
* Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng
Chẳng hạn,
Ta xây dựng các bộ nghiệm nguyên dương ( , , )x y z như sau :
Đặt z= + ta có y 1 2 2
(2 1)
y −z = − y+ Khi đó ta có
2
2
x n
{ 2k | | 1: }
A= x= + n + k∈ ℕ gồm vô số phần tử x là số nguyên dương, khác tính chẵn−lẻ với n.và thỏa điều kiện x2− − > Vì vậy, n 1 0
2 1 2
x n
y= − −
là số nguyên dương với mọi x thuộc A
Rõ ràng mỗi bộ
x y z = x − − − +
, với x∈ , đều là nghiệm của A phương trình đã cho
4đ 2đ 1đ
HẾT