Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, AC, BC... - Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa; - Bài 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ [r]
Trang 1PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU
ĐỀ THI VÒNG II, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút)
-Bài 1 (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức:
32 3 4 2 44 16 6.6
4
2 3 7 4 3
9 4 5 2 5
.
x
x
Bài 2 (4 điểm).
a, Chứng minh rằng: 3 3 2 2 3 3 2 2 8 36
b, Cho a, b, c > 1 Chứng minh rằng:
12.
b c a
Bài 3 (4 điểm) Giải các phương trình:
a,
2
b, (x1)(x 2) x 3 x 2 (x1)(x3) = 0
Bài 4 (6 điểm)
1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD không là đường kính Gọi M
là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D; N là giao điểm các đường thẳng
AC và BD Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lượt tại E, F
Chứng minh:
a MN vuông góc với AB
b NE = NF
2, Cho ∆ABC vuông ở A Biết: BC = 4 4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 Tính số đo góc B và góc C của tam giác ABC
Bài 5 (2 điểm) Với số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt
quá a và kí hiệu là a
Cho dãy số: x0 , x1 , x2 , x3 ,…,xn ,…(nN) được sác định bởi công thức:
1
n
x
với mọi giá trị của n Hỏi trong 2015 số {x0, x1, x2,…, x2014} có bao nhiêu số khác 0 ?
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG II – NĂM HỌC 2015-2016
1
A=
2
3 2 3 4 2 (2 3 4 2) 6
= 3 (2 3 4 2)(2 3 4 2) 0,5
B=
2
2 4
2 3 (2 3) x x
(2 5) 2 5 x
0,5
=
3 2 3 23 3 x x
5 2 2 5 x
0,5
=
1 x x
1 x
0,5
Đặt: a = x + y , với x = 3 3 2 2 , y = 3 3 2 2 .
Dễ thấy: x3 + y3 = 6 và x.y = 1
0,5
(Vì: x > 1, y > 0 nên: a > 1)
0,5
Do đó: a9 (3 ) 2 3 a a8 3 6 0,5
Vậy : 3 3 2 2 3 3 2 2 8 36
0,5
b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số dương:
a
b 1 ,
b
c 1 ,
c
a 1 ta
có:
3
b c a b c a
0,5
Mạt khác, từ: a - 4 a + 4 0
a
a 1 4, tương tự:
b
b 1 4 và
c
c 1 4
0,5
3 3
0,5
Trang 3Vậy:
12.
b c a
0,5
Đặt:
1 x 4
= t, (t 0) x +
1
2 = t2 +
1
4
0,5
=
2
1 (t ) 2
= t +
1
2 , (vì t 0)
0,5
Vậy phương trình đã cho trở thành:
t2 + t +
1
4 = 2 (t +
1
2 )2 = 2 t +
1
2 = 2, (vì t 0)
0,5
1 x 4
= t = 2-
1
2, giải ra ta được: x = 2 - 2
0,5
b Ta có: VT =( x 1 1) ( x 2 x 3 ) 0,5
PT trở thành:( x 1 1) ( x 2 x 3 ) = 0, vì: x 2 x 3 0 0,5
x 1 1 = 0 x = 2 0,5 Vậy nghiệm phương trình là: x = 2 0,5
4
1.a Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm PAB PN
AB
0,5
Gọi giao điểm tiếp tuyến của (O) tại D với PN là M’
Do: PDM ' = ABD PDM ' = DPM '
0,5
PM’D cân tại M’ PM’ = DM’ M’ là trung điểm PN 0,5
Tương tự tiếp tuyến tại C của (O) cắt PN tại trung điểm M” của PN
M’, M” trùng M Đpcm
0,5
1.b Trên tia đối của tia NB lấy điểm Q sao cho NQ = NB
QA // NO QA NE
0,5
A là trực tâm của QNE NA QE ( tại H) 0,5
FB // EQ mà N là trung điểm của BQ 0,5
N cũng là trung điểm của EF NE = NF (Đpcm) 0,5
Q
A
B
C D
F
P
M
E H
N
O
Trang 4+ Nếu: AB AC Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, AC, BC
Ta có: AB + AC = AI + AH + BI + CH = AI + AH + BK + KC
(AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = BC2 + 2AB.AC
= (8 + 4 3)2 AB.AC =
24 16 3 2
C
(2)
0,5
Từ (1) và (2), kết hợp với AB < AC
AB = 2 + 2 3; AC = 6 + 2 3
0,5
sin C
C 30 ; B 60 0 0 + Tương tự, nếu: ABAC Thì: B 30 ;C 60 0 0
0,5
5
Vì: a - 1 < a a, nên: [n+1√2 ] - [ √n2] < n+1√2 - ( √n2 - 1) =
1
√2 +1 < 2
0,5
⇒ 0 x ❑n 1, vậy: x0 , x1 , x2 , x3 ,…,x2014 chỉ nhận giá trị
0 hoặc 1
0,5
Cho nên số các số khác 0 là:
2014 k
k 0
x
= [ √12] - [ √02] + [ √22] - [ √12] + +
2015 2
-2014 2
=
2015 2
0,5
Mà: 1424<
2015
2 <1425 ⇒
2015 2
=1424 Vậy có tất cả 1424 số khác 0
0,5
Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang;
Trang 5- Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
- Bài 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm.