Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên Kỹ thuật chọn [r]
Trang 1MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKIPhần một: Phần Mở Đầu
Lí do chọn đề tài
Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là
hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng trong giải toán Chúng được sử
dụng nhiều trong chương trình giải toán phổ thông đặc biệt là trong các kì thi
tuyển sinh đại học và các kì thi học sinh giỏi Đề tài về hai bất đẳng thức này
là không mới Tuy nhiên em vẫn chọn đề tài này do đây là mảng kiến thức em
thích, em đã giải khá nhiều bài toán có ứng dụng hai bất đẳng thức này nhưng
bản thân em vẫn chưa tổng kết được các phương pháp sử dụng hai bất đẳng
thức trên trong giải toán Vì vậy khi nghiên cứu đề tài này sẽ giúp em hệ thống
lại các kỹ thuật sử dụng hai bất đẳng thức này một cách rõ ràng hơn Và sau
này khi trở thành giáo viên em sẽ thấy tự tin hơn khi giảng dạy về mảng kiến
thức này từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn Bên cạnh đó, em thấy đề tài này
cũng hợp với khả năng của mình, đặc biệt em thực hiện đề tài này với sự
hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn cùng với nguồn tài liệu không ít
nên em tin mình có thể hoàn thành tốt đề tài này
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu là chủ yếu
Phần hai: Nội Dung Nghiên Cứu
MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng
ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định
hướng cách giải nhanh hơn
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó
giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải
Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán
cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù
một số bài không yêu cầu trình bày phần này
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính
xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất
đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các
dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến
Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị
thường đạt được tại vị trí biên
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến
trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các
biến đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ
ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Cho n số thực không âm a1, a2, ., a n , n ∈ Z , n ≥ 2 , ta luôn có:
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
(a+b) (b+c) (c+a)≥ 8 abc
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(a+b ) (b+c ) (c+a) ≥2√ab 2√bc 2√ac=8 abc (đpcm)
Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:
2(a+b a+b+
c+d c+d)=1
⇒√ac+√bd ≤√(a+b )(c +d ) (đpcm)
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
¿
a>c b>c
¿{
¿
Chứng minh rằng:
√c ( a− c )+√c (b − c )≤√abGiải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Trang 21+c 1+c)=1
2 (2)Cộng theo vế (1) và (2), ta được:
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
a (1+b)+b (1+c )+c (1+a )≥ 33
√abc(1+3
√abc)Giải:
Trang 3Dấu “=” xảy ra
⇔ a
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=a+2
3
√4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a2=2
a2 hay a=√34 Vậy GTNN của A=3
2
3
√4Bài 7: Chứng minh rằng: a+ 1
Trang 42 CMR:1
Trang 5c +a+
c a+b ≥
32
(Bất đẳng thức Nesbit)
Giải:
Ta có:
a b+c+
b
c +a+
c a+b=(1+ a
b+c)+(1+ b
c +a)+(1+ c
a+b)− 3
¿a+b+c b+c +
b +c +a
c +a +
c+a+b a+b −3
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: c
2
a+b+
a2b+c+
b2
c +a ≥
a+b+c
2Giải:
c2a+b+
a2b+c+
b c+a)−(a+b+c )
(a+b +c )(a+b c +
a b+c+
b c+a −1)
Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:
a b+c+
b
c +a+
c a+b ≥
32
Do a+b +c ≤ 1 ta có:
Trang 6Kỹ thuật đổi biến số
Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận
biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về
dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn
Bài 1: Cho Δ ABC, AB=c , BC=a , CA=b CMR:
Bài 2: Cho Δ ABC, AB=c , BC=a , CA=b CMR:
a b+c − a+
b c+a −b+
c a+b − c ≥ 3 (1)
Bài 3: Cho Δ ABC, AB=c , BC=a , CA=b CMR:
a2b+c − a+
b2c+a −b+
c2a+b − c ≥ a+b+c (1)
Giải:
Trang 7c2a+b − c ≥ a+b+c (đpcm)
Bài 4: Cho Δ ABC, AB=c , BC=a , CA=b , p= a+b+c
Ta có: p− a= b +c − a
2 >0 Tương tự:
3
2 (1) Giải:
Đặt:
¿
b+c=x
c +a= y a+b=z
Trang 8b
c +a+
c a+b ≥
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện
xyz=1 Tìm GTNN của biểu thức:
Vậy GTNN của A là 2
Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trang 9Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong
bất đẳng thức xảy ra
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại
tâm
Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại
biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ
thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên
Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 ⇔ a=1
a ⇔a=1 vô lý vì theo giả
Dấu “=” xảy ra ⇔ a
4=
1
a hay a=2 Vậy GTNN của A là 52
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật
chọn điểm rơi trong bất đẳng thức
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt
GTNN khi a=2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a=2 ” Ta
không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1a vì không
thỏa quy tắc dấu “=” Vì vậy ta phải tách a hoặc 1
a và ta có lời giải như trên.
Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số (α a ,
1
a) ta có thể chọn các các cặp số sau: (αa ,1
4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ a ≥ 2⇒√ 1
2 a ≥√ 1
2 2 là
sai”
Trang 10Dấu “=” xảy ra ⇔ ab=1
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a=6 Ta
có sơ đồ điểm rơi: hoctoancapba.com
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+2 b+3 c ≥ 20 Tìm GTNN của A=a+b+c+3
Trang 11Dấu “=” xảy ra ⇔ a=2 , b=3 , c=4
12112Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi
¿
ab=12bc=8
43
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 ⇔ a=b=1
Trang 12
a=b=1
2⇒ a
Sơ đồ điểm rơi:
a=b=c=1
2⇒ a
2=
132Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c=1
Sơ đồ điểm rơi:
Trang 13Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c=1
b +c=
b c+a=
c a+b=
12
A=(b+c a +
b c+a+
c a+b+
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
2 ab=2 α
⇒2 α=2⇒ α=1
¿{Giải:
Trang 14Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
Dấu “=” xảy ra
⇔ 1+a2
+b2=6 ab
a=b a+b=1
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
Trang 15
a=b=1
2⇒
4 ab=11
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
(a+b )3+ab (a+b)
Trang 16Kỹ thuật nhân thêm hệ số
Bài 1: Tìm GTLN của : A=a2(1 -a) , a∈ (0,1)
⇒ A ≤ 4
27Dấu “=” xảy ra ⇔ a=2 −2 a=2
⇔6 − 2 a=12 −3 b=2 a+3 b=6 ⇔
a=0 b=2
¿{
Vậy GTLN của A là 36
Trang 17Bài 4: Cho các số thực a, b, c thỏa
¿
a ≥2 b≥ 6
Trang 18Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b +c=3 Chứng minh rằng:
c +2 a=3
¿{ {Giải:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=”
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b +c=1 (*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a2
của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp
dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a2
, b2 và c2 cùng với 1 hằng sốdương tương ứng khác để làm xuất hiện a , b và c Do a, b, c dương và
có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a=b=c , từ (*) ta có a=b=c=1
3 Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy
ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau Khi đó ta có lời giải như sau: hoctoancapba.com
Trang 19Vậy GTNN của A là 1
3
Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a3+b3=1 (*) Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức A=√a+√b
Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số
bậc giảm 6 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a3 và
b3 cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện √a và
√b Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn
nhất khi a=b , từ (*) ta có a3=b3=1
2 Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau Khi đó ta có
lời giải như sau:
a3+b3+5≥ 6 61
√25( √a+√b)⇔1+5 ≥6 61
√25( √a+√b)⇔√a+√b ≤√625Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=31
3 b5+2 ≥5 b3 (2) ; 3 c5
+2≥ 5 c3 (3)Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3 a7+3 b7+1 ≥ 7√7a21 b211=7 a3b3 (1)Tương tự:
3 b7+3 c7+1≥ 7 b3c3 (2) ; 3 c7
+3 a7
+1 ≥7 c3a3 (3)Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Trang 20a2+4 ≥ 2√a2 4=4 a (1); b2
+4 ≥ 4 b (2) ; a2
+b2≥ 2 ab (3)Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Lưu ý: Bất đẳng thức chúng ta vừa chứng minh sẽ được sử dụng trong chứng
minh các bài toán sau này.
Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc=1 Chứng minh bất đẳng
1
c3+a3+1≤
b a+b+c (3)
10 a2+10 b2
+c2≥ 4 (ab+bc+ca)=4 1=4
Trang 21mắc tại sao lại tách được 10=8+2 Nếu tách cách khác, chẳng hạn
10=6 +4 liệu có giải được không? Tất nhiên mọi cách tách khác đều không
dẫn đến kết quả, và tách 10=8+2 cũng không phải là sự may mắn Bây giờ
ta sẽ tìm lí do việc tách 10=8+2 ở bài toán trên
Khi đó ta có lời giải bài toán như trên
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=5 CMR: :
Trang 223
√33
b3=89
⇔
¿a=
3
√33
b=2
3
√33
b=√β6
c=√γ3
⇒√α4+√β6+√γ3=3
¿{ { {Chọn α , β , γ sao cho 4 α=6 β=3 γ
Trang 234 a2=4
6 b2
=83
3 c2
=163
⇔
¿a=1 b=2
Trang 24Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ
thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.
Ví dụ: hoctoancapba com
Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán
dấu “=” xảy ra khi a=b=c Khi đó a
dấu “=” xảy ra khi a=b=c Khi đó a2
Trang 25√abc −3
4=
34(đpcm)
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau:
b3
c +a+
c3a+b ≥
32Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a3b+c+
a3b+c+
b3
c +a+
c3a+b+
+b m+n
+c m +n ≥ a m b n
+b m c n
+c m a n
Trang 26b3b+2 c+
c3c+2a ≥
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a3a+2 b+
a3a+2 b+
b3b+2 c+
c3c+2a+
c3c+2 a+
a3a+2 b+
b3b+2 c+
c3c+2a+
Trang 2716 c2a+b ≥
Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều:
1
3
√abc≥
32
thức ban đầu sẽ không đổi chiều hoctoancapba com
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a+b +c=3 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Trang 2832Giải:
1+bc≥1 −√
bc
2 (2) ;
11+ca≥ 1 −√
ca
2 (3)Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
1
1+ab+
11+ bc+
11+ca≥ 3 −
minh các bài toán khác.
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a+b +c=3 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Trang 29Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a+b +c=3
b2c+1 ≥ a−
1
4(ab+abc ) (1) Tương tự ta có:
a
2 b3+1+
b 2c3+1+
c
2 a3+1≥ a+b+c −
2(ab +bc +ca )
3 =a+b +c − 2 (1') Mặt khác ta có:
(a+b+ c )2
3 ≥ab+bc +ca
⇒a+b+c ≥√3 (ab+bc+ca )=3 (2') Cộng theo vế (1’) và (2’) ta được:
a
2 b3+1+
b 2c3+1+
c
2 a3+1+a+b +c ≥ a+b+c +1 ⇒ a
Trang 30√(ca )2 (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
a2a+2 b3+ b2
Trang 31c +a a+b+c)=6
c2a+b) [2 (a+b +c )]
Trang 324 ≤ −2 a+b+5≤
254
(b+3 c4 )4≤ b4+3 c4
4 (2)
(c+3 a4 )4≤ c4+3 a4
4 (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
(a+3 b4 )4+(b+3 c4 )4+(c+3 a4 )4≤ a4
+b4
+c4
(đpcm)Bài 9: Cho a , b , c ∈(0,1) CMR √abc+√(1 −a )(1 −b )(1 −c )<1
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
(√abc+√(1 − a)(1 −b ) (1 − c))2≤[a+(1 −a )][bc+(1 −b )(1 − c)]=bc +(1− b) (1− c )
⇒√abc +√(1− a) (1− b) (1− c )≤√bc +(1− b) (1− c )<√bc+√(1 −b ) (1 − c) Mà
(√bc+√(1− b) (1− c ))2≤[b+(1− b)] [c+(1− c )]=1
⇒√bc+√(1− b) (1− c )≤ 1 Vậy ta có:
(√abc+√(1 − a)(1 −b ) (1 − c))2<1 hay
√abc+√(1 −a )(1 −b )(1 −c )<1 Lưu ý: Trong cách chứng minh trên ta đã sử dụng bất đẳng thức
Trang 334 ( a+b+c) hoctoancapba com
c (a+b )2]
32 (bất đẳng thức Nesbit, đã chứng minh trong phần trước)
⇒(b+c a +
b
c +a+
c a+b)2≥9
4
⇒( a+b+c)[(b+c ) a 2+
b (c + a)2+
c (a+b )2]≥9
α=
1
βb b
α=
1
βc c
¿{ {
, chọn
¿
α=4 β=1
Trang 341
b b
4=
1
c c
α=
1
βb b
α=
1
βc c
¿{ {
, chọn
¿
α=4 β=1
Trang 351
βb b
α=
1
βc c
¿{ {
, chọn
¿
α=4 β=1
¿ ≥(4a+a)+(4b+b)+(4c+c)+(2a+ bc )+(2 b+ac )+ (2 c+ab )+6 (a+b +c )
¿ ≥2√4a a+2√4b b+2√4c c +2√2 abc ++ 2√2 abc ++ 2√2 abc+6 (a+b+c )
Trang 36Như vậy đề tài đã giới thiệu bảy kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy
và hai kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski trong chứng minh các bất đẳng thức và các bài toán cực trị
Chứng minh bất đẳng thức là một quá trình đầy sáng tạo Ngoài các kỹ thuật này thì còn rất nhiều kỹ thuật hay và sáng tạo hơn nữa Tuy nhiên trên cơ
sở các kỹ thuật được trình bày trong đề tài, em mong có thể giúp người đọc tìm được nhiều ý tưởng mới về phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy vàbất đẳng thức Bunyakovski
Sau này, nếu có điều kiện thì em sẽ tiếp tục tìm nghiên cứu đề tài này,
để có thể tìm ra nhiều kỹ thuật mới nữa Từ đó, ngày càng hoàn thiện vốn kiến thức của mình và giúp cho công tác giảng dạy của mình tốt hơn
Tài Liệu Tham Khảo
EE Vrosovo, NS Denisova, Thực hành giải toán sơ cấp, người dịch Hoàng
Thị Thanh Liêm, Nguyễn Thị Ninh, Nguyễn Văn Quyết, NXBGD, 1986
Lê Duy Thiện , Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski để giải một bài toán cực trị đại số, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Lang Chánh, Thanh
Hóa
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ, Bất đẳng thức Cauchy, Trung tâm bồi
dưỡng kiến thức Quang Minh, Thành phố Hồ Chí Minh
Nguyễn Việt Hải, Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM
(CAUCHY), Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước.
Nguyễn Văn Mậu, Bài giảng Chuyên đề đẳng thức và bất đẳng thức, Chương
trình bồi dưỡng chuyên đề toán, Hà Nội, 11/12/2009
Nguyễn Ngọc Sang, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy, Sáng
kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Nguyễn Huệ, Thanh Hóa
Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri thức.
Tạp chí Toán học Tuổi trẻ
Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán, Nhà xuất bản Hà Nội, 2004.