Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
2
1
xdx
I
x
=
+
∫
3
2
1
1
7
I
x
−
=
−
∫
6
3
2
1
=
∫
4
dx
I
x x
=
+
∫
10
5 5
dx
I
=
∫
1
6
0
1
1
7
0
x
x
+
=
+ +
∫
0
4
+
=
∫
9
1
1
x
−
=
∫
2 2
10
0
1
0
sin
3 cos
x
π
=
+
∫
( )2
1
12 2
0
1
1
x
x
+
=
+
∫
3 2
2
1 1
x
− +
=
−
∫
2
14
0
sin
sin cos
x
π
=
+
∫
3
3
6
sin
cos
x
x
π
π
= ∫
3
4
1 cos sin
π
π
= ∫
2
17 0
π
2
0
sin 2
2 sin
x
x
π
=
+
∫
2
0
sin 2
2 sin
x
x
π
= +
∫
4
0
cos 2 sin cos 2
x
π
=
∫
2
21 0
π
= ∫ −
3 2 22 0
4sin
1 cos
x
x
π
= +
∫
3 2
0
sin cos
1 cos
x
π
= +
∫
ln 3 24
0 x 2
dx I
e
= +
∫
1 2 25
x x
e
e
=
−
∫
2 26
0 sin cos
π
=∫
1
ln 1
e
e
x
+
= +
∫
10 2 28
1 lg
2 29 0
1 2 2
x
x e
x
= +
∫
1 2 31 0
ln 1
2
2
2
cos
4 sin
x
π
π
−
+
=
−
∫
4
sin 34
0
π
2 35
1
3 ln
ln 1
=
+
∫
36 1
3 2ln
1 2ln
−
=
+
∫
4 37 0
x
x
+
=
∫
2 38 0
sin 2
3 4sin cos 2
x
π
=
∫
2
x
−
∫
2
0
sin sin 2 3sin 4
x cos x
π
+
=
+
∫
0
3 41
1
1
x
−
ln3
x x
e
e
=
+
∫
1
44 0
1
x
4 45
0 1 cos 2
x
x
π
= +
∫
Trang 2Lời Giải: Chuyên đề nguyên hàm – tích phân
3 1
xdx
2,
2
1 ( 1) 6
( )323
1
3 2 1
( 1) 7
I
x
−
′ =
−
∫
Để tính
3
2
1
( 1) 7
I
x
−
′ =
−
∫ ta đặt x− = ⇒ = +1 t x t2 1
2 2
0
2 6
t dt I
t
′
−
∫
2 2
2
t
3
I
3,
6
3
2
1
=
∫ Đổi biến t= 4x+ ⇒ =1 t2 4x+ ⇒1 tdt=2dx
I
3
t
t
+
4, ( )
4
3
1
x x
+
5, 5 510
2 1 2ln 2 1
dx I
6,
1
6
0
1
I =∫x −x Đổi biến t= 1−x3 ⇒ = − ⇒t2 1 x3 2tdt= −3x dx2
2
6
1
6 5 3
0
Trang 37,
1
7
0
x
x
+
+ +
∫ (đổi biến t= 2x+ +1 1)
2
+
+ +
2
1
x
−
1
1
−
10
2
11, 11 2
0
sin
3 cos
x
π
=
+
∫ Đổi biến t= − ⇒ = −π x dt dx
π π
3 tan
6
3 1 tan cos
I
π π
π
+
−
2
13,
3 2
2
x
− +
−
14, 14 2
0
sin sin cos
x
π
=
+
0
sin cos ' 1
1
dx
π
π +
+
∫
15,
6
cos
π
Trang 416, ( )
sin
x
−
( )
2 3
1 1
1 1
dt
t t
−
3 2 2
2
t
17
18,
2
2
t t
t
+
20,
sin cos cos sin cos 2
x
Đặt t =sinx+cosx+ ⇒ =2 dt cosx−sinx, khi x= → =0 t 3; x=π4→ = +t 2 2
Do đó:
2 2
t
+
21
2
0
cos
x
π
Trang 522, 22 2 3 2 2 ( )
cos
cos
2
x
π π
∫
2
1 cos
1 1
ln
t
t
ln 3 ln 3 ln 3
24
x
x
d e dx
ln3 0
x x
e e
25
1
1
0
π
x
π π
∫
27, 27 ( )2 ( )
ln
1 1
x x
+
+
1 1
28, 10 2 10 2 ( )2 2 2 10 10 2 ( 2 )
10
1
10
1
xdx
∫
29, 2( ) ( ) 2 ( ) ( 2 )
Trang 6( ) ( )
2 2
0
2 2
0
2
x
30, ( )
2 2
1 1 1
x
x
x e
x x
+
+
0
0 1
0
1
2
x
x
31, 1 2 ( ) 1 ( ) ( )3
31
1
3
1
0
1
3 2
0
ln 1
x
x
−
33,
+
0
t x
−
=−
Trang 7( )
2
2
π
+
Vậy 33
ln 3 2
I = + = −A B
34
sin
cos
x
0
π
π π
35,
2 35
1
3
ln
ln 1
=
+
x
2
35
1
t
t
−
36, 36 1
3 2ln
1 2ln
−
=
+
∫ Đặt t 2lnx 1 t2 2lnx 1 tdt 1dx
x
2 36
t
−
37,
4
37
0
x
x
+
=
t= + x+ ⇒ −t = x+ ⇒dx= −t dt
4
37
2
sin sin sin 2
x
1 1
2
tdt
t t
−
+
+
∫
4
Trang 83
x
t
+
cos sin
2 2
3 3tan
A
u
+
2 2
4 sin sin 2
x
π
−
ln 3
2 2 3 2
41
1
9
t x
−
Vậy 41
37 2 28
I = + =A B e−
2
2
2 1
I
⇒ = ∫ = ∫ = − = − 43,
ln3
x x
e
e
=
+
Đặt t = e x+ ⇒ = + ⇒1 t2 e x 1 2tdt e dx= x
44, 1 ( 2 ) 1 2 1
44
0
1 0
x
e
2 2 2
π
+
Trang 94
0
π