Vẽ hình đúng đến câu a + Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân + Chỉ ra BE = CD Bài IV Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng 2 minh được DA.DB = R2... [r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Thanh oai ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9Năm học 2015 - 2016
Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài I: (5,0 điểm)
1) Cho biểu thức:
x 2 2 x 1 2x 3 x 2 5x 10 x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để A có giá trị nguyên
2) Tìm số tự nhiên n để 32n 3 24n 1 chia hết cho 25
Bài II: (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: x2 12 x 1 x 36
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x 2y 2xy 3y 4 0
Bài III: (4,0 điểm).
1) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của
1 x 1 y 1 z
2) Cho a, b, c dương thỏa mãn: a b c 2 abc 1 Tính giá trị biểu thức:
B =
Bài IV:(6 điểm)
Cho đường tròn (O,R) từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E là tiếp điểm) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia
AD, AE lần lượt ở B và C
1) Chứng minh: DC = EB
2) Chứng minh: DA.DB = R2
3) Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O,R) cắt
AD, AE lần lượt tại M, N Chứng minh BC2 = 4BM.CN
4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí của K để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Trang 2Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x2 5x 7 3 y
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bài I
1)a
Rút gọn
= …
2 x 3
2 x 3
x 2 2 x 1
= …=
5 x
2,0
1)b
(2điểm)
Chứng minh A > 0 do 5 x 0 và 2 x 1 0
Lại có A =
5 x
Suy ra: 0 < A < 2,5
A = 1 =>
5 x
1
9 (thỏa mãn ĐK x > 0, x 4 )
A = 2 =>
5 x
Kết luận…
0,5
0,5 0,25
Bài I
2)
(1điểm)
2n 3 4n 1
3 2
= 27.32n 2.24n 25.32n 2 3 2n 24n
Nếu n lẻ thì 9n 16n Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25 0,25 Nếu chẵn thì 9n tận cùng bằng 1, còn 16n tận cùng bằng 6 suy ra 9n 16n
tận cùng băng 7 => 2 9 n 16n
tận cùng bằng 4 =>A không chia hết cho 25
Vậy n lẻ thì A chia hết cho 25
0,25 0,25
Bài II
1)
(2điểm)
2
x 12 x 1 x 36 x2 12 x 1 x 36 0
x2 2x 1 x 1 12 x 1 36 0
x 7 x 1 x 1 x 5 0 Giải pt: x 7 x 1 vô nghiệm
Giải pt: 5 x x 1 ĐK 1 x 5
0,5 0,5 0,5
Trang 3 … x2 11x 24 0
Bài II
2)
(2điểm)
Biến đổi phương trình
x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 ⇔ (x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - 4 = 0
⇔ (y + 4)(y -1) = -(x+y)2 ¿ 0
⇒ - 4 ¿ y ¿ 1 vì y thuộc Z nên y ¿ { −4 ;−3;−2;−1;0;1 }
KL Có 6 cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
0.5 0.5 0.5 0,5
Bài III
1)
(2điểm)
Từ điều kiện xy + yz + xz = 1 => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z)
2
x y x z 2 x y x z
1 x
Tương tự 2
2 x y y z
1 y
2 z x z y
1 z
Cộng vế các bất đẳng thức
P
3 2 Tìm được dấu bằng xảy ra khi x = y = z =
3 3
0,5 0,5 0,5
0,5
Bài III
2)
(2điểm)
Từ diều kiện: a b c 2 abc 1 b 2 abc 1 c a
c 2 abc 1 b a; a 2 abc 1 b c;
Xét a 1 b 1 c a 1 b c bc a a 2 abc bc
2
Tương tự…
Khi đó B =
Kết luận…
0,5
0,5 0,5 0,5
Trang 4Bài IV
1)
(1,5điểm)
D
E A
B
C O
Vẽ hình đúng đến câu a
+ Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân
+ Chỉ ra BE = CD
0,25 1,0 0,25
Bài IV
2)
(1,5điểm)
Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng
Bài IV
3)
(2,5điểm)
O
C N
M
B
A
E
D
K
Chứng minh
180 A
B C
2
(1) Chứng minh
MON
2
180 A 2
(2)
Từ (1) và (2) ta có: B C MON
Chứng minh MON đồng dạng với MBO (gg)
Suy ra
OC NC Hay
2
Kết luận
0,5 0,5 0,5
0, 5
Bài IV
4)
(1,5điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si
BM CN BM.CN 2OB
Tính được
2R 3 OB
3
;
4R 3 2OB
3
0,5 0,5 0,5
Trang 5Kết luận: min(BM + CN) =
4R 3
3 Khi K là giáo điểm của AO với đường tròn
Bài V
(1điểm)
Nếu y = 0 thì pt trở thành x2 5x 6 0 x = 2; x = 3
Nếu y = 1 thì pt trở thành x2 5x 4 0 x = 1; x = 4
Nếu y 2 thì 3 9y
Xét x = 3k (k N ) thì VT = = 9k2 15k 7 không chia hết cho 3
Xét x = 3k +1 (k N ) thì VT = = 9k2 9k 3 không chia hết cho 9
Xét x = 3k +2 (k N ) thì VT = -= 9k2 3k 1 không chia hết cho 3
không có số tự nhiên lớn hơn 2 thỏa mãn bài toán Kết luận (x;y) = (2;0); (3;0); (4;1); (1;1)
0,25 0,25
0,25 0,25