+ gọi P là nửa chu vi tam giác r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác S là diện tích tam giác ta chứng minh được S = Pr... Nguyễn Mai Phương.[r]
Trang 1PHÒNG GD-ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán 9 (Thời gian 150 phút )
Năm học 2015-2016 Bài 1: ( 5điểm )
1) Cho biểu thức:
1 : 1
P
a Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P
b Cho
6
x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
2) Cho x 3 2 Tính giá trị của biểu thức: B x 5 3x4 3x36x2 20x2020
Bài 2: ( 4 điểm )
1) Cho hàm số y = ( m- 1) x + m2 -1 ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tạo độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB là tam giác cân 2) Giải phương trình : 2x2 3x23 x38
Bài 3 : ( 3 điểm )
1) Tìm số tự nhiên n để A 20124n 20134n 20144n 20154n là số chính phương
2) Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 2015.
3 2
Bài 4: ( 6 điểm )
Cho đường tròn ( O,R ) Đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O).Trên đường tròn lấy E ( E khác A,B).Tiếp tuyến tại E cắt Ax,By lần lượt tại C và D Vẽ EF vuông góc với
AB tại F BC cắt EF tại I EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N và K là trung điểm của AC
1 Chứng minh I là trung điểm của EF và K, M, I, N thẳng hàng
2 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD Chứng minh
r R
3 Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE Chứng minh rằng r2 r12r22
Bài 5: ( 2 điểm )
Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn a3 + b3= 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của (a+b )
Trang 2Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN (2015-2016)
Câ
u
Bài
1
(5đ)
1) Đkxđ : x 0; y 0; xy 1
1 : 1
P
:
P
x P
1
P
xy
b)+ Chứng minh được BĐT
2
+ từ gt biến đổi ta được :
1
xy
+ Tìm được dấu bằng :
1 9
x y
+ KL : max P= 9 khi
1 9
x y
2) x + 3 = 2=>x 2 3 (x 2)2 3 x2 4x 1 0
B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2020
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2015
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2015
B = 2015
0,5đ
0,5
0,5 0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ
0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,25 đ
Bài
2
(5đ)
+ HS lập luận được để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2
điểm A và B sao cho tam giác OAB cân tại O thì đồ thị hàm số đã cho song
song với đường thẳng y = x ( hoặc y = - x )
+ Từ đó dẫn đến 2
1 1
1 0
m m
1 0
m m
giải hệ pt ta tìm được
1đ
Trang 3m = 2 hoặc m = 0 và trả lời bài toán
1đ
2 đk x 2
Biến đổi pt đưa về pt 2x2 2x4 2(x2) 3 ( x2)(x2 2x4)
Nếu x= -2 không là nghiệm của pt
Nếu x 2 Biến đổi đưa pt về:
Đặt
( 0) 2
x
PT đưa về dạng 2t2 – 3t – 2 =0
Tìm được 2 nghiệm t = -0,5 ( loại ) ; t = 2 ( thỏa mãn )
Từ đó tìm được x 3 13
Kết hợp đk và kết luận nghiệm
S 3 13
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25đ
0,25đ
Bài
3
(3đ)
1) + Xét n= 0 thì A= 4 là số chính phương ( thỏa mãn )
+ Xét n là số tự nhiên khác 0
A = (20124)n + (20134)n + (20144)n+ (20154)n
- Lập luận để tìm được chữ số tận cùng
(20124)n có CSTC là 6
(20134)n có CSTC là 1
(20144)n có CSTC là 6
(20154)n có CSTC là 5
Vậy A có CSTC là 8
Từ đó kết luận A không thể là số chính phương
0,5đ 0,25đ
1đ 0,25đ
Trang 4y x
Q
B
D E
K C
A
M
I
N
1) + ta có 2015 + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b ) ( a + c )
+ Áp dụng BĐT cô si ta được
(a b ) ( a c ) 2 ( a b a c )( )
a b a c
a b a c
a b a c a b a c
2
Chứng minh tương tự ta có
1 2
1 2
b c b a
b c b a
c b c a
c a c b
Cộng theo vế các BĐT trên ta được
a b b c c a
0,25đ
1đ
0,25đ
0,5đ
Bài
4
(6đ)
N I
Trang 51 + kéo dài BE cắt Ax tại Q
+ chứng minh được CEQ cân tại C và CAE cân
Suy ra CA = CQ ( 1)
+ EF//CQ nên
IF
CQ BC CA CQ AC (2)
1 2 EI IF
EF
EF / /
EF,
EM CA
EI EM
+ Cm EMI đồng dạng AMK (c-g-c)
Suy ra EMI = KMA
Suy ra KMA + AMI =1800
Vậy K , M , I ,N thẳng hàng
0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2 + đặt CD = a ; OC =b ; OD =c ( a > b; a > c )
+ vì r là bán kính đường tròn nội tiếp COD
COD
R a b c
+ Trong COD có b+c > a suy ra a+ b +c > 2a
(3)
+ Vì
a b a c a b c a
Từ (3) (4) suy ra đpcm
0,5đ
0.5đ
0,5đ
3 + gọi P là nửa chu vi tam giác
r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác
S là diện tích tam giác
ta chứng minh được S = Pr
Trang 6+ Cm : COD đồng dạng với các CEO ; OED
1
2
CEO COD
(5)
Cm tương tự ta có :
1
OD CD
(6)
Từ (5) (6)
( đpcm)
0,25đ
0,5đ
0,75đ
Bài
5
(1đ)
+ Ta có a3+b3= (a+b) (a2-ab +b2) Mà a3+b3 = 2 và a2-ab +b2 > 0
Suy ra : a+ b >0 (1)
+ đặt a= x + 1; b = y +1
a3+b3 = 2 hay x3 + y3 +3(x2+ y2) +3(x+y) =0
mà 3(x2+ y2) 0 x3 + y3 +3(x+y) 0 ( x + y)( x2-xy+y2 +3) 0
x+y 0 ( vì x2-xy+y2 +3 >0 )
a+ b 2 (2)
Mặt khác a+b là số nguyên (3)
Từ (1) và (2) , (3) a+ b =1 ; a+ b =2
+ Nếu a+b =2 thì ta luôn chọn được cặp số a=b =1 ( thỏa mãn đầu bài )
+ Nếu a+ b = 1 khi đó ta có a+ b = 1 và a3+b3 = 2
2
1 1
a b
Vì hpt (I) có nghiệm a,b nên tồn tại cặp số thực để a+b = 1
Vậy để thỏa mãn các dữ kiện của đề bài thì chỉ tồn tại 2 giá trị nguyên của
a+ b = 1 ; hoặc a+b =2
0.25
1đ
0,5đ 0,25đ
Người ra đề Tổ chuyên môn Ban giám hiệu
Nguyễn Mai Phương