Tính giá trị của biểu thức: 3.. Gọi M là giao của AB và EF; N là giao của AE và BF..[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – TT KIM BÀI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2015-2016
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I: (6đ)
1 Tính giá trị của biểu thức:
A=[ (√1x+
1
√y). 2
√x +√y+
1
x+
1
y]:√x3+y√x+x√y+√y3
√x3y+√xy3
Với x=√8+√15
2 −√8 −√15
2 ; y=√35+2√13+√35− 2√13
2 Tìm tất cả các số hữu tỉ x để B=3√x +11
√x +2 là số nguyên
3 Cho các số thực x, y thỏa mãn(x +√1+x2)(y+√1+ y2)=1
Tính giá trị biểu thức C=x2015+y2015
Câu II(4,5đ)
Giải các phương trình sau:
a)√x+x2
+√x − x2
=x +1
b) x3
+2 x2− 4 x = − 8
3
c) x(x2
+x +1)=4 y ( y +1) ( x , y ∈ Z)
Câu III(1,5đ)
Tìm GTNN của biểu thức D=(x
3
+y3)−(x2
+y2)
(x − 1)( y −1) trong đó x, y là số thực lớn hơn 1
Câu IV (8đ)
1) Cho (O) và (O/) ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và chung trong EF (
A , E ∈(O);B , D ∈(O❑
)) Gọi M là giao của AB và EF; N là giao của AE và BF Chứng minh
a) Δ AOM ∞ Δ BMO❑
b) AE BF
c) O, N, O/ thẳng hàng
2 Cho Δ ABC nhọn Chứng minh rằng Cos2A + Cos2B + Cos2C < 1
===Hết===
ĐÁP ÁN TOÁN 9
Câu 1: (6đ)
Trang 21 (2,5)
Đặt đk : x>0, y>0
Rút gọn A=(√x+√xy√y.
2
√x +√y+
1
x+
1
y):(√x+√y )(x −√xy + y)+√xy(√x+√y)
√xy (x+ y)
= (√2xy+
x + y
xy ):((√x +√y)(x + y )
√xy (x+ y) )
=(√x +√y)
2
√xy
√x +√y
=√x +√y
√xy
Biến đổi x=√16+2√15
4 −√16 −2√15
4
¿√15+1
√15 −1
2
= 1
y3=5+2√13+5 −2√13+3√352−( 2√13 )2 y
y3=10− 9 y
y3
+9 y − 10=0
} }
¿
¿
(y −1)(y2
+y+10)=0
y=1
}
¿
¿
⇒A= √1+√1
√1 1 =2
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
2, ĐK x 0
B= 3√x +11
√x+2 = =3+
5
√x+2 là số nguyên
√x+2là số nguyên
Lập luận 0< 5
√x+2 ≤
5 2
0,25 0,25 0,25
0,25
√x+2=1hoặc 5
3, Ta có (√x2
+1+ x)(√x2 +1− x)=1
⇒√x2+1− x =√y2+1+ y
Tương tự √y2
+1− y=√x2 +1+ x
0,25 0,25
Trang 3⇒√x2+ 1+√y2+1 − x − y=√x2+1+√y2+1+x+ y
⇒2(x + y )=0
⇒ x + y=0⇒ x=− y ⇒C=0
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2:(4,5đ)
1 (1,5đ)
ĐK
x +x2≥ 0
x − x2≥ 0
¿ {
¿
¿
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có
√x+x2
+√x − x2
=√(x +x2).1+√(x − x2) 1≤ x +x2+1
x − x2 +1
2 =x +1
Dấu “ =” xảy ra
⇔
x +x2 =1
x − x2=1
¿ {
⇒ x¿∈
¿ o
2, (1,5đ)
x3+2 x2− 4 x = − 8
3
⇔3 x3
+6 x2−12 x +8=0
⇔ 4 x3
−(x3− 6 x2+12 x −8)=0
⇔ 4 x3
=( x − 2)3
⇔3
√4 x=x − 2
1 −√34
3 (1,5đ)
x(x2+x +1)=4 y ( y +1)
⇔ x3
+x2+x+1=4 y2+4 y +1
⇔ (x +1)(x2
+ 1)=(2 y+1)2
Đặt d = ƯCLN (x +1 , x2 +1)
⋮
d= 1
⇒ x +1 và x2
+ 1 là các số chính phương ⇒ x2
+1=k2 ((k ∈ Z )
⇒( k − x )(k +x )=1⇒
¿
¿
¿
¿
Câu III Biến đổi D= x2
y −1+
y2
x −1
Do x >1, y >1 ⇒ x −1>0 , y − 1>0
Áp dụng BĐT Cô si ta có D ≥ 2 xy
√x −1 √y −1
Theo BĐT Cô si ta có
√x −1=√( x −1) 1 ≤ ( x −1)+1
x
2
0,25
0,75 0,5
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,5 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 4√y − 1=√( y −1) 1 ≤ ( y − 1)+1
y
2
⇒ D ≥
2 xy
x
2.
y
2
= 8
D = 8
⇔
x , y >1
x2
y − 1=
y2
x − 1
x −1=1
y − 1=1
¿ { {{
⇔ x=2 y=2
¿ {
Vậy Min D = 8 ⇔ x=2, y=2
Câu IV.
a) Δ AOM ∞ Δ BMO❑
Vì AOM = BMO/ (cùng phụ với OMA)
b) MOAE, MO/ BF, MO MO/⇒ AEBF
c) ΔOIN ∞ Δ OMO/ : vì AI và BK là hai đường cao tương ứng của hai Δ
đồng dạng AOM và BMO/ (câu a)
⇒OI
OM=
MK
MO ❑ mà MK = IN⇒OI
OM=
IN
MO ❑
⇒ ΔOIN ∞ ΔOMO❑(c.g.c)
⇒ I ^ O N=M ^ OO❑⇒O , N ,O❑ thẳng hàng
2)
0,25
0,25
0,25
0,75 1đ
0,5 0,5đ
0,25
B
OO’
IA MENF
A E F
Trang 5Kẻ 3 đường cao AD, BE, CF
Δ AEB ∞ ΔAFC(g.g)
AF =
AB
AC ⇒AE
AB=
AF AC
⇒ ΔAEF ∞ Δ ABC (c.g.c)
⇒ SAEF
SABC=(AEAB)2= Cos 2A
Tương tự SBDF
SABC
=Cos 2B; SCDE
SABC
= ¿ Cos2C
⇒Cos2
A +Cos2B+Cos2C= SAEF+SBDF+SCDE
SABC <1
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5đ
C