Chuyen de tuyen sinh 10

LÍ THUYẾT CẦN NHỚ: * Lưu ý: Học sinh muốn học tốt chủ đề này thì phải nhớ được các công thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông bất kì, biết xác định thành thạo cạnh đối, cạnh [r]

Chủ đề : CĂN BẬC HAI - RÚT GỌN BIỂU THỨC Cể CHỨA CĂN THỨC

I

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Điều kiện tồn tại : √ A Có nghĩa ⇔ A≥0

2 Hằng đẳng thức: √ A2=|A|

Bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ( theo thứ tự ):

1) Bình phương mụ̣t tụ̉ng : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2) Bình phương mụ̣t hiợ̀u : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3) Hiợ̀u hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b )

4) Lọ̃p phương mụ̣t tụ̉ng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5) Lọ̃p phương mụ̣t hiợ̀u : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6) Tụ̉ng hai lọ̃p phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 )

7) Hiợ̀u hai lọ̃p phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 )

Biờ́t vọ̃n dụng nó đờ̉ đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự ) viờ́t dưới dạng có dṍu căn :

2

2

3 3

1) 2

3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: √ A B= √ A. √ B ( A≥0; B≥0)

4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng: √A

B=

√A

√B ( A≥0; B>0 )

5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a Đa thừa số ra ngoài dấu căn

- Với hai biểu thức A, B mà B  0, ta có

2

A BA B

, tức là + Nếu A  0 và B  0 thì A B2 A B

+ Nếu A < 0 và B  0 thì A B2  A B

b Đa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A  0 và B  0 thì A B  A B2

+ Nếu A < 0 và B  0 thì A B A B2

c Khử mẫu của biểu thức lấy căn

- Với các biểu thức A, B mà A.B  0 và B  0, ta có

B  B

d Trục căn thức ở mẫu

- Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã

B

B 

- Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A B 2, ta cã

2

A B

A B









- Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0,B 0 vµ A B , ta cã

C

A B









II CÁC DẠNG BÀI TẬP:

1 Tìm điều kiện xác định

 Nhớ: Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:

1) A(x) là đa thức ⇒ A(x) luôn có nghĩa 2)

A( x) B( x) có nghĩa ⇔ B(x)

¿ 0

3) √ A(x) có nghĩa ⇔ A(x) ¿ 0 4)

A ( x)

√B( x) có nghĩa ⇔ B(x) > 0

Bài tập: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định ( có nghĩa):

a) 3x 6 ; b) 1 x 2 ; c) 3x4;

d) 3

x

5

x



f) x 1

3



1

i) 7 2x k) 2x

l) √x−52

+6 m) √ 3

1−2x n) √ −3

3 x+5

ĐS: a) x 2; b)  x R ; c)

4 3

x 

; d) x 0; e) x < 0; f)

1 2

x 

; g)  x R ; h) x 0 và x 4; i)

7 2

x 

; k) x 0; l)không có giá trị x nào ; m)

1 2

x 

; n)

5 3

x

2 Tính

4

25;

289

225 ;  32 ;  ( 6)  2

;

25 16





 ; 20 5 ; 12 27; 10 40; 5 45;

2 162; 90.6, 4; 8 18 98; 2,5.14, 4;

5 18

8 5 ; 0,09  0,64  0,81;

HD: có thể thực hiện đưa thừa số ra ngoài ( hoặc vào trong) dấu căn, liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n

(chia) vµ phÐp khai ph¬ng để tính những biểu thức trên.

* Bài tập bổ sung giành cho học sinh khá, giỏi.

HD: Câu a) đưa về hằng đẳng thức a 2 -b 2 ; câu b và c nhân vô và đưa về hằng đẳng thức a 2 -b 2

3.Trục căn thức ở mẫu

3

3;

3 3

3



;

5

3 20 ;

3 2

2 1



 ;

2 3

2 3



 ;

3 2

3 2



 ;

3 2 2 3

2 3



 ;

10 2

1 5



 ;

15 6

2 5



 ;

4 Rút gọn biểu thức dạng đơn giản

Bài 1

1) √ 12+5 √ 3− √ 48 2) 5 √ 5+ √ 20−3 √ 45 3) 2 √ 32+4 √ 8−5 √ 18

4) 3 √ 12−4 √ 27+5 √ 48 5) √ 12+ √ 75− √ 27 6) 2 √ 18−7 √ 2+ √ 162

7) 3 √ 20−2 √ 45+4 √ 5 8) ( √ 2+2) √ 2−2 √ 2 9) ( √ 28−2 √ 14+ √ 7) √ 7+7 √ 8

HD: vận dụng các phép biến đổi đơn giản biểu thức dưới dấu căn để đưa các số hạng của

biểu thức về các số hạng chứa căn giống nhau để rút gọn.

Bài 2:

1) ( √ 14−3 √ 2)2+6 √ 28

2) ( √ 6− √ 5)2− √ 120 3) ( 2 √ 3−3 √ 2)2+2 √ 6+3 √ 24

4) √ ( 1− √ 2)2+ √ ( √ 2+3)2 5) √ ( √ 3−2)2+ √ ( √ 3−1)2

6) √ ( √ 5−3)2+ √ ( √ 5−2)2

7) 4 x+ √ ( x−12)2( x≥2)

HD: Câu 1,2,3 khai triển các hằng đẳng thức sau đó trở về rút gọn giống bài tập 1

Câu 4, 5, 6, 7 áp dụng :

ne A 0 2

ne A 0

A











Bài 3: Giành cho học sinh khá giỏi.

a) √ 8+2 √ 15 - √ 8−2 √ 15 b) √ ( 5+2 √ 6 ) + 8  60 c)

4 3 2 4 3 2  d) 11 6 2 - 9 4 2 ; e) 4 3 2 4 3 2  ; f)

14 6 5  14 6 5

HD: Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức : A2 B dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn.

Cách làm: - Viết A2 B a 22ab b 2 (a b )2=>vấn đề đặt ra là tìm a và b hợp lí

- Thường thì ta tách B =a.b và sao cho A=a 2 +b 2 => a và b à số cần tìm

- Chú ý: Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2 và nhớ HĐT: a2 ab b  a b2

Hướng dẫn cụ thể từng bước cho một biểu thức:

Ví dụ : Biến đổi sao cho ra được:

2

Ta có: B = 15  5 3 mà ( 5)2 ( 3)2  8 A nên suy ra a= 5 và b= 3

Từ đú suy ra:

Vớ dụ:

9 4 2  1 2.2 2 (2 2)   (1 2 2)  1 2 2

5 Rỳt gọn biểu thức hữu tỷ cú chứa căn

Ph ương phỏp chung:

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)

Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại

Quy đồng, gồm các bớc:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)

Rút gọn

Lưu ý : Trong bài toán rỳt gọn căn có PHÂN THỨC chia làm hai dạng : CHỮ và SỐ + Đờ̉ có được kỹ năng rỳt gọn trờn ta cần nhắc lại 1 số kiờ́n thức của toán 6 - 7 - 8 đờ̉ giải các bài toán trờn cụ thờ̉ ta cần trả lời 1 số kiờ́n thức trước khi giải:

→ Thừa số chung được khụng? ( xem lại các cách tìm và đặt thừa số chung của lớp 8 )

→ Có hằng đẳng thức khụng? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 )

→ Liờn hợp được khụng? ( xem lại phương pháp rỳt gọn trong bài toán 7 của lớp 9 )

→ Quy đồng được khụng? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8)

Dạng 1 Rỳt gọn biểu thức căn cú phõn thức ở dạng số.

Vớ dụ: Rỳt gọn biờ̉u thức sau:

A =

3 5 3 2 3 5 3 2

3 5 3 2 3 5 3 2 6 2

B=

C

2

2

2 2

Bài tập: Rỳt gọn các biờ̉u thức:

a)



 b)



 c)

√ 6− √ 3 1− √ 2 +

3+6 √ 3

√ 3 −

13

√ 3+4

d)

:



f)

√ 7+ √ 5

√ 7− √ 5 +

√ 7− √ 5

√ 7+ √ 5 g )

2

2 4+3√2

Dạng 2.Rút gọn biểu thức căn có phân thức ở dạng chữ

Lưu ý: Tìm điều kiện xác định của ẩn x khi rút gọn hay thay biểu thức bằng 1giá trị xác định

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: ( Ta có thể quy đồng hoặc tìm và đặt nhân tử chung ngay bước đầu)

x 2 x 1 x 2 x 1

ĐKXĐ: x 0, x   1

Ví dụ 2: Cho biểu thức

2

  (Với x>0) Rút gọn A

Giải

3



Bài tập: Rút gọn

Bài 1:

a)

( , 0; )

a b



x y y x xy



(x > 0; y > 0) c)

a a b b

ab





 (a > o; b > 0)

d)

1 :

a b b a



 a b, 0;a b 

e)

    a0;a1

f)

( 0; 1) 1

x

 g)

4

x x   (x 0;x 4 ).

Bài 2: Một số bài tập trong đề thi tuyển sinh 10-Bình Phước

a)Cho G =

1



  Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G (Đề năm 2014)

b) Cho T =



  Tìm x để T có nghĩa và rút gọn T (Đề năm 2013)

c) Cho D =



  với x>0 và x≠4 Rút gọn D sau đó tính giá trị của T khi x=4 (Đề thi năm 2015)

d) Rút gọn biểu thức :

M

     

    với x0 và x≠1 (Đề năm 2012)

*Dành cho học sinh khỏ giỏi rốn luyện thờm

1

:

A

    kq:

1

x x

2

: 2

A

a

  kq:

2 4 2

a a





3

A

    kq:

1 1

x



4

:

1

x

A

x

     



  kq:

1

x x



  5

2 :



  kq:

a ab b

a b



2

A

b a

    kq: ( )

a b

a b a





7

1

A

      

8

0; 4 4

x



3 2

x A

x





, x=16 a) Rỳt gọn P

b) Tìm x để P = 2

 2 9

1

x

A

  kq x x 

6 Tớnh giỏ trị của biểu thức.

Phương pháp:

+ Thu gọn biờ̉u thức (nờ́u có thờ̉)

+ Thu gọn giá trị của biờ́n (nờ́u có thờ̉)

+ Thay giá trị thu gọn của biờ́n vào biờ̉u thức đã thu gọn

+) Lưu ý: - Nếu biếu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến đổi giá trị của biến về dạng HĐT

- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trớc khi thay vào biểu thức

Vớ dụ: Tớnh giá trị của biờ̉u thức: A x  2  3x y 2y  tại

Giải:

Ta có:

A x 3x y 2y x x y 2x y 2y

 5 2

5 4







  

2

2

5 2

9 4 5 9 4 5 9 4 5





Thay: x  5 2  ; y  5 2  vào A ta có:

Bài tập:

1, Cho biÓu thøc P =

x1 x x

a) Rót gän biÓu thøc sau P b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x =

1

2

HD a) §KX§ : x > 0 ; x  1 P =

x+1 1−x b) Víi x =

1

2 th× P = - 3 – 2 √ 2 .

2, Cho biÓu thøc : A =

x √ x+1 x−1 −

x−1

a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x =

1 4

HD: a) §KX§ : x  0, x  1 A =

√ x

√ x−1 b) Víi x =

1

4 th× A = - 1

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

1 Tính:

a 25 16 b

1 0.4 100

9

c  36 9 : 3

d 2 16 3 4 e 3 25 2 16

f

2  3 g 36 4 : 2 h

25 81

4  9

HD: a 9 ; b

11 3



; c 3 ; d 2 ; e -7 ; f 1 ; g 5 ; h

1 2



;

2 Tính:

a 0,32 b 2 ( 2,5) 2 c ( 3 1) 2 d (1 2)2 e (2a  4)2 với a 2

HD: a 0,3 b – 5 c 3 1 d 2 1 e 4 2a

3* Tính:

a 3 2 2 b 4 2 3 c 11 6 2 d 28 10 3 e 8 2 15 f 13 2 12

HD: a. 2 1 b 3 1 c 3 2 d 5 3 e 5 3 f 12 1

4* Tính giá trị biểu thức:

a A = 5 3 29 12 5 b B = 6 2 2 12 18 8 2

HD: a A = 1 b B = 3 1

5 Trục căn thức ở mẫu (rút gọn biểu thức):

a

5

3 b

7

2 7 c

2 3

1 3



 d

2 3

1 3



 e

2 1

3 2



 f  

3 5

2 5 3





g

4

3 2 2 3

HD: a.

5 3

3 b

7

2 c

1 3 2



d

5 3 3 2



 e ( 2 1).( 3  2) f

2

( 5 3) 8



g

2(3 2 2 3)

3



6 Rút gọn các biểu thức sau:

a

  b

  c

1 :

C        

HD: a A = 1 b B = 2 15 c C = 5 15

7 Rút gọn biểu thức:

M

a b a b ab

   với a0;b0 và a b

HD: M = 2 b

8 Cho biểu thức:

4

P

x



a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tìm x để P = 2

HD: a) ĐK: x0;x4. b)

3 2

x P

x



 c) x = 16

9 Cho biểu thức:

:

Q

        

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q

b) Tìm a để Q dương

HD: a)

2 0; 4; 1;

3

a

a



b) a 4

10 Cho biểu thức:

2

A

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa

b) Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a

HD: a) a0;b0;a b . b) Rút gọn ta được : A2 b A không phụ thuộc vào a

11 Cho biểu thức:

3 3

1 1 1

x

    với x 0và x 1.

a) Rút gọn B ; b) Tìm x để B 3.

HD: a) B x 1 ; b) x 16

12 Cho biểu thức:

: 9

C

x

    với a 0 và x 9.

a) Rút gọn C ; b*) Tìm x sao cho C  1

HD: a)  

3

x C

x







; b) x 16

 BÀI TẬP LUYỆN THấM CHO HỌC SINH GIỎI

Bài 1 Cho biểu thức:

P= ( 1+ √ a

a+1 ) : ( √ a−1 1 −

2 √ a

a √ a+ √ a−a−1 )

a Rút gọn P b Cho a=19−8 √ 3 Tính P.

H

ớng dẫn: a

P= a+ √ a+1

√ a−1 ; b

P= 24−9 √ 3

3− √ 3

Bài 2 Cho biểu thức

P= x √ x+26 √ x−19

x+2 √ x−3 −

2 √ x

a Rút gọn P b Tính giá trị của P khi x=7−4 √

H

ớng dẫn: a

P= x+16

√x+3 b. P=

103+3√3

22

Bài 3 Cho biểu thức

P= ( 2− 2+ √ √ x x +

√ x

2+ √ x −

4 x+2 √ x−4 x−4 ) : ( 2− 2 √ x −

2 √ x−x )

a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P= -1

H

ớng dẫn: a

P= 4 x

√x−3 b x=

9 16

Bài 4 Cho biểu thức

P= ( 3 √ √ x−1 x−1 −

1

3 √ x+1 +

8 √ x

9 x−1 ) : ( 1− 3 √ x−2

3 √ x+1 )

a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để

P=6

5 H ớng dẫn: a P= x+ √ x

3 √ x−1 b x=4 ;

9 25

Bài 5 Cho biểu thức

P= ( x √ x−x+ 2 √ x √ x−1 −

1

√ x−1 ) : ( 1+ √ x

x+1 ) Rút gọn P

H

ớng dẫn: a

P= 1− √ x

1+ √ x+x

Bài 6 Rỳt gọn biểu thức

P= ( 1− √ x

√ x+1 ) : ( √ √ x−2 x+3 +

√ x +2

3− √ x +

√ x +2 x−5 √ x +6 )

H

ớng dẫn: a

P= √ x−2

√ x+1

Bài 7 Cho biểu thức

P= ( √ √ x−1 x+1 +

√ x

√ x

1−x ) : ( √ √ x−1 x+1 +

1− √ x

a Rút gọn P b Tìm giá trị của P khi

x=2−√3

2

H

ớng dẫn: a

P= 2x+1

4√x

H C B

A

Bài 8 Cho biểu thức

P= ( 1−a 1− √ √ a a + √ a ) ( 1+a 1+ √ √ a a − √ a ) Rút gọn P

H

ớng dẫn: a P=(1−a)2

Bài 9 Rỳt gọn biểu thức

P= 2 √ x−9 x−5 √ x+6 −

2 √ x+1

3− √ x

H

ớng dẫn:

P= √ x+1

√ x−3

Bài 10 Cho biểu thức

P= ( √ √ x−1 x+1 −

√ x+1 ) : ( √ x+1 1 −

√ x

1− √ x +

2

x−1 )

a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để

P=1

2

Chủ đề : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG – GIẢI TAM GIÁC

VUễNG

I LÍ THUYẾT CẦN NHỚ:

* Lưu ý: Học sinh muốn học tốt chủ đề này thì phải nhớ được cỏc cụng thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng bất kì, biết xỏc định thành thạo cạnh đối, cạnh kề của mụ̣t gúc và cạnh huyền Biết cụng thức nào để tìm cỏi cần tớnh trong cụng thức

Sau đõy là mụ̣t số lý thuyết liờn quan đến cỏc cụng thức học sinh cần học thuụ̣c.

 4 hệ thức về cạnh và đường cao trong

vuụng ABC:

.

.





 

.

a h b c

h b c





Trong đó: AB=c; AC=b; BC=a; AH=h, BH= c’;

CH=b’ (b’,c’ lần lượt là hình chiờ́u của AC,AB

trờn BC)

 4 tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn trong

vuụng:

1) sin α =

AC BC

2) cos α =

AB BC

3) tan α =

AC

AB

4) cot α =

AB AC

Nhận xột:

+ Tỉ số lượng giác của góc nhọn luụn dương + 0 < sin α < 1 và 0 < cos α < 1

M C B

A

/ /

\

|

A

D

 zÁp dụng định lí pytago vào:

1) vuông ABC: AB2 + AC2 = BC2

2) vuông ABH: AH2 + BH2 = AB2

3) vuông ACH: AH2 + CH2 = AC2

 BH + HC = BC (H ¿ BC)

 Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:

Nếu α +  = 90 0 thì

sin α = cos

cos α = sin

tan α = cot

cot α = tan

Một số tính chất của tỉ số lượng giác:

1)

tan α= sin α

cos α 2) cot α= cos α

sin α 3)

sin2α +cos α=1 4)

tan α cot α=1

 4 hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:

1) cgv = ch sin(góc đối) 1) AC = BC sinB

AB = BC sinC 2) cgv = ch cos(góc kề) 2) AC = BC cosC

AB = BC cos B

3) cgv = cgv tan(góc đối) 3) AC = AB tanB

AB = AC tanC 4) cgv = cgv cot(góc kề) 4) AB = AC cotB

AC = AB cotC

 Đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền:

AM =1

2BC (AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

BC)

 Tính chất đường phân giác của tam giác:

DB

DC=

AB AC

(AD là đường phân giác của ABC)

Tỷ số 

2

2 2

3 2

2

2 2

1 2

y x

4 1

Hình 2

A

4 3

?

C B

?

? Hình 3

7 5

y x

Hình 4

3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

A ÁP DỤNG MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM

GIÁC VUÔNG ĐỂ TÍNH CÁC YẾU TỐ CẦN TÌM

1 Các dạng bài tập:

 Dạng 1 : Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông (hoặc hai cạnh góc vuông),

tính các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và ngược lại.

* Phương pháp giải:

Vận dụng hệ thức (1) b2=ab'; c2=ac'

* Ví dụ minh hoạ:

VD1: Tìm x và y trong hình

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ thức (1) c2=ac' được x2=5.1 => x= 5

y2=5.4 => x= 20

VD2: Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường

cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pitago ta tính được cạnh huyền

BC= 32 42 5

Áp dụng hệ thức: b2=ab' => b'=b2:a

=> b’=3,2

=> c’=1,8

Áp dụng hệ thức: h2=b' c' hoặc a h b c.  . hoặc 2 2 2

h b c Tính được h2, 4

 Dạng 2 : các bài toán liên quan đến độ dài đường cao ứng với cạnh huyền.

*Phương pháp giải

Vận dụng các hệ thức (2) h2=b'c' hoặc (3) bc=ah

*Ví dụ minh hoạ:

a) AC = 100 cm và Ĉ = 300AB = 50 cm và Ĉ = 450

B̂ = 350 và BC = 40 cm

b) AB = 70 cm và AC = 60 cm

c) AB = 6 cm và B̂ = 600

d) AB = 5 cm và BC = 7 cm

Bài 10: Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và AH = 12 cm ; BC = 25 cm.

a) Tìm độ dài của BH; CH; AB và AC

b) Vẽ trung tuyến AM Tìm số đo của AM̂H

c) (*)Tìm diện tích của AHM

Bài 11: Cho ABC có CH là chiều cao; BC = 12 cm , B̂ = 600 và Ĉ = 400

a) Tìm độ dài CH và AC