trong của góc ABC Câu 5: 4 điểm Cho tam giác ABC có độ dài đường phân giác trong CD và độ dài đường phân giác ngoài CE bằng nhau, D, E thuộc AB nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN- CẤP THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)
Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức A x 1 1 8 x : 1 3 x 2
9x 1
−
1) Rút gọn A
2) Tìm các giá trị của x để A 6
5
=
Câu 2: ( 4 điểm)
Cho hệ
2
x (m 3)y 2m 3
≠ và m ≠ −4 1) Với giá trị nào của m hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x≥y
2) Với các giá trị của m tìm được ở ý 1 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y
Câu 3: ( 3 điểm)
Một nhóm người chơi đấu cờ với nhau, người nào cũng đấu với người khác trong nhóm một ván Hỏi có bao nhiêu người trong nhóm biết rằng tổng số ván cờ là 15
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc ABC=120O, AB = 6 (cm), BC = 12 (cm), phân giác trong của góc ABC cắt AC tại D Tính diện tích tam giác ABD
Câu 5: ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài đường phân giác trong CD và độ dài đường phân giác ngoài CE bằng nhau, ( D, E thuộc AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R
1) Chứng minh: O
ABC =90 +BAC 2) Chứng minh hệ thức: R2 1(AC2 BC )2
4
Câu 6: ( 2 điểm)
Cho 3 số thực x, y, z thuộc đoạn [0;2] và thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3 Chứng minh rằng: x2 +y2 +z2 ≤5
Hết _ (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CÂP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN - CẤP THCS
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Điều kiện
x 0 1 x 9
≥
≠
mẫu thức chung: 9x – 1
0,25
( x 1)(3 x 1) (3 x 1) 8 x 3 x 1 3 x 2
3x x 3 x 1 3 x 1 8 2 1
3 (3 x 1)
−
3x 3 x (3 x 1).3
+
=
−
0,5
1
(2đ)
x x
3 x 1
+
=
Với đ/k đã cho A 6 x x 6 5x 13 x 6 0
+
Đặt t= x t≥0 ta có phương trình: 2
t 2
t 5
=
=
0,5
Với t=2 thì x=4 Với t 3
5
= thì x 9
25
=
0,25 0,25
1
(4 điểm)
2
(2đ)
Vậy với x 4 hoÆc x = 9
25
5
=
0,5
Hệ:
2
mx 4y m 4 (1)
x (m 3)y 2m 3 (2)
≠ và m≠ −4
Từ (2) có x = 2m + 3 – (m + 3) y (3) thay vào (1) ta được:
2m2 +3m−m(m+3)y+4y =m2 +4 0,5
2
1
(2đ)
(m 3m 4)y m 3m 4
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Thay y = 1 vào (3) ta được x = m 0,25 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (m;1) 0,25
x≥y⇔m≥1, vì m≠1 nên ta có m > 1 0,5
Hàm số f(m)=m 1+ đồng biến trên khoảng (1;+∞)và có miền giá trị là (2;+∞)
0,5
Do đó không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1;+∞) 0,5
2
(2đ)
Vậy với m > 1 tổng x + y không đạt giá trị nhỏ nhất 0,5 Gọi số người chơi cờ là n ( n là số tự nhiên và n≥2 ) 0,5
Vì một người đấu với n-1 người còn lại do đó có n(n – 1) ván cờ 0,5
Có tất cả n người nên có n(n – 1) ván cờ, nhưng mỗi cặp chỉ đấu
với nhau một ván nên có tất cả n(n 1)
2
− ván cờ
0,5
Ta có pt: n(n 1) 15 n2 n 30 0
2
−
n 5 (Lo¹i)
n 6 (NhËn)
= −
⇔
=
0,5
3
(3 điểm)
Vẽ hình đúng, đẹp
0,5
Kẻ AK//BC cắt BD kéo dài tại K, khi đó:
= = = = Do BD là đường phân giác trong góc B 0,75
Trang 4Tam giác ABK có o
AKB=KBC (so le trong) = ABK =60 (gt) nên
tam giác ABK đều, đồng thời DK 1
DB 2
= nên BD = 4 (cm)
0,5
Kẻ đường cao AH của tam giác ABK ta có:
o
AH =6 sin 60 =3 3(cm)
0,5
Khi đó : S ABD 1BD.AH 1.4.3 3 6 3 (cm )2
4
(3 điểm)
Vẽ hình đúng, đẹp
0,25
CDB=45 =BAC+ACD O
ADC=135 =ABC+BCD
0,5
ADC CDB 90 ABC BAC
1
(2đ)
Vậy O
Vẽ đường kính CK O
KAC 90
O
KAB 90 BAC ABC
0,5
⇒AK =BC ⇔AK=BC 0,5
5
(4 điểm)
2
(2đ)
Xét tam giác vuông AKC:
1
R (BC AC )
0,5
Trang 5Vì x∈[0;2] nên (x−2)(y−2)(z−2)≤0 (1)
(xy 2x 2y 4)(z 2) 0 xyz 2(xy yz zx) 4(x y z) 8 0 xyz (x y z) (x y z ) 4(x y z) 8 0
0,5
⇒ + + ≤ − (2) ( do x + y + z = 3) 0,5 Mặt khác x≥0 ; y≥0 ; z≥0 nên từ (2) ta có:
2 2 2
x +y +z ≤5 (3)
0,5
6
(2 điểm)
Từ (1), (2) đẳng thức xảy ra trong (3)
(x 2)(y 2)(z 2) 0 xyz 0
x y z 3
+ + =
⇔Trong 3 số x, y, z có một số bằng 0, một số bằng 1 và một số bằng 2
0,5
-Hết -
Lưu ý chung toàn bài:
+ Điểm của một câu trong bài thi là tổng của các điểm thành phần của câu ấy Điểm của bài thi là tổng điểm các câu trong bài thi, phần lẻ được tính đến 0,25 điểm theo thang điểm 20
+ Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn cho điểm tối đa bài đó