Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Ngọc Sơn

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân.. Hay A là một số nguyên.. c) Ch[r]

TRƯỜNG THCS NGỌC SƠN ĐỀ THI HSG LỚP 8

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số 1

Câu 1

a) Tìm x;yZthoả mãn 5x2−4xy+ y2 =169

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức:

3 2 6

A = + + có giá trị là một số nguyên

Câu 2

a) Cho hai số a  So sánh hai số b 0 1 2

1

a x

+

= + + và 2

1 1

b y

b b

+

= + +

1000 999 998 997 996 995

Câu 3

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD Các đường thẳng DN và

CM cắt nhau tại I Chứng minh tam giác AID là tam giác cân

Câu 4

Tìm cặp số nguyên (x y z thỏa mãn phương trình: ; ; )

4064497 2 15 4 2014

x +y + +z = x+ y+ z

Câu 5 Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + và 21 n + đều là các số chính phương thì n là 1 bội số của 24

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

a) Tìm x;yZthoả mãn: 5x2 −4xy+ y2 =169

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức:

3 2 6

A = + + có giá trị là một số nguyên

Hướng dẫn

a) Ta có:

169 4

5x2− xy+ y2 =

2 2

x xy y x

x y x

2 2

2 2



 



( )

;

5

;

12

x y

x

x y

x

=



=



Từ (II) ta có:

2

2

0

13 0

13

26 13

x

x y

y x

x

x y

y x





Vậy ( ), ( (5; 2 ; 5; 22 ;) ( ) ( ) ( ) (5; 2 ;) ( ) (5; 22 ; 12; 19 ; 12; 29) ( ) ( ) ( ) ( ) )

12;19 ; 12; 29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13; 26 ; 13; 26

b) Ta có:

3 2 6

2 3

Vì n n( +1)(n+ là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên 2) n n( +1)(n+2) 3 và n n( +1)(n+2) 2 mà

( )2,3 = Do đó 1 n n( +1)(n+2) 6

Hay A là một số nguyên

Câu 2 (2 điểm)

a) Cho hai số a  So sánh hai số b 0 1 2

1

a x

+

= + + và 2

1 1

b y

b b

+

= + +

1000 999 998 997 996 995

Hướng dẫn

Vì x y , 0, ta có:

1

a

+

Vì a  nên b 0 12 12

ab Vậy x y

b) Ta có:

1 2 3 4 5 6

1000 999 998 997 996 995

1001 1001 1001 1001 1001 1001

0

1000 999 998 997 996 995

1000 999 998 997 996 995

1000+999+998+997+996+995 nên x = −1001

Câu 3

Câu 3

0

90

goi K là trung điểm của DC nên AM=KC, AM KC

Nên AMCK là hình bình hành

AK MC

M



Hay AK⊥DI (1)

Goi L là giao điiểm của DN và AK K là trung điểm của DC và AK MC

suy ra AK đi qua trung điểm của DI nên L là trung điểm của DI (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AID cân tại A

Câu 4

Đặt x− =  = +1 y x y 1 Ta có:

3 1 8 1 6 3 2 1

1 2 1 1

A

y

+ − + +

I L

K

N M

C

D

2 1

3

A

= − +

Đặt 1 z

3 2

 = − +

2

2 1 2

1 2 2

Vậy min A=  =  =  =2 z 1 y 1 x 2

Đề số 2

Câu 1

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2

b) Chứng minh *

  thì 3

2

n + +n là hợp số

c) Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một

số chính phương lẻ

Câu 2

a) Giải phương trình 1 2 3 2016 2016

2016 2015 2014 1

b) Cho 2 2 2 3 3 3

1

a +b +c =a +b +c = Tính 2 2014 2015

Câu 3

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2x2+3y2+4xy−8x−2y+18

b) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác

a b c+ a b c+a b c  + + + − − + + − +

Câu 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

BC; CD; DA M là giao điểm của CE và DF

a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông

b) Chứng minh DF⊥CE và MAD cân

c) Tính diện tích MDC theo a

ĐÁP ÁN Câu 1

a) (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9

= (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)

b) Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)

=(n+1)( n2 - n + 2)

Do  n N* nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số

c) Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1

= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1

= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn  a2 + a + 1 là số lẻ

Câu 2

a) Phương trình đã cho tương đương với:

1 1 1 1 2012 2012

2012 2011 2010 1

x− − + x− − + x− − + +x− − + = 

2013 2013 2013 2013

2012 2011 2010 1

2012 2011 2010 1

2013

b) a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1a; b; c  − 1;1

a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1)  0

 a3 + b3 + c3  1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1

b2012 = b2; c2013 = c2;  S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1

Câu 3

a) Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18

A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1

A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1  1

Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3

b) vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0;

a - b + c > 0 Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0

ta có: x + y + z = a + b + c; ; ;

( )( ) ( )( ) ( )( )

+ − − + + − +

1

1

4

x y z x y z

y x z x y z z x y

x y z

z x z y y x

x y z x y z x y z

Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh

Câu 4

a) Chứng minh: EFGH là hình thoi

Chứng minh có 1 góc vuông

Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vuông

b) BEC= CFD c g c( )ECB=FDC mà CDF vuông tại C

Hay CE ⊥ DF

Gọi N là giao điểm của AG và DF Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF GN//CM mà G là trung điểm DC nên  N là trung điểm DM Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến  MAD cân

tại A

Do đó :

CMD

FCD

FCD

Vậy :

2

2 2

1 4

CMD

CD

FD

Trong DCF theo Pitago ta có :

Do đó :

2

2

4

MCD

CD

CD

Đề số 3

N

M

G

F E

C

B

H

A

D

Câu 1: (4.0 điểm)

Cho biểu thức M =

1 Rút gọn M

2 Tìm x để M ≥ 1

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M

Câu 2: (4.0 điểm)

1 Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p2 + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12

2 Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1 2 1 2 1

− + − =

Chứng minh M =x +y -xy2 2 là bình phương của một số hữu tỷ

Câu 3: (4.0 điểm)

1 Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y) + 4 = 40 x + 1

2 Giải phương trình: ( )( ) ( 2 )

Câu 4: (6.0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Trên cạnh AB lấy M (0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho 0

MON=90 Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE

1 Chứng minh ΔMON vuông cân

2 Chứng minh: MN // BE và CK⊥BE

3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H Chứng minh: KC KN CN

Câu 5: (2.0 điểm)

Cho hai số không âm a và b thoả mãn a +b2 2 a+b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2020

2019

S

ĐÁP ÁN Câu 1

a) M =

4 2

1

x x

=

x x x

x x x

= ( )( ) ( )

=

=

4 2

( 1)

1

x x

Vậy M=

2

4 2

1

x

x −x + với mọi x b) Để M ≥ 1 thì

2

4 2

1 1

1

x



− +

  − +

2

1 0

x

 − 

Do ( )2

2

1 0,

Suy ra: x2 -1 = 0

Vậy x = ± 1

c) Ta có M=

2

4 2

1

x

x −x + với mọi x

- Nếu x=0 ta có M=0

- Nếu x , chia cả tử và mẫu của M cho x0 2 ta có M=

2 2

1 1 1

x x

Ta có

2

+ − = − + + = −  + 

2

1

1 1

1

M x x

với mọi x , dấu “=” xảy ra khi 0 x 1 0

x

− = x = ±1

Vậy Mmax = 1 khi x = ±1

Câu 2

a) Ta có: p2 + a2 = b2  p2 = (b + a)(b - a)

Mà ước của p2 là 1; p và p2

Do b + a > b – a với mọi a, b nguyên dương và p nguyên tố lớn hơn 3

Nên không xảy ra trường hợp b + a = b – a = p

Do đó

2

2

2 1 (p 1)(p 1) 1

b a p

a p

b a

 + =



− =

Mà p nguyên tố và p > 3, suy ra p lẻ

nên p + 1 và p – 1 là hai số chẵn (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p + 1)(p -1) chia hết cho 8

Suy ra 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho 4 (3)

Lại có p nguyên tố và p > 3 Nên p không chia hết cho 3 và p2 là số chính phương lẻ Do đó p2 chia 3 dư 1 Suy ra p2 – 1 chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho 3

Suy ra a chia hết cho 3 ( vì (2, 3) = 1) (4)

Tư (3) và (4) suy ra a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm)

1− −y 2x+2xy+ − −1 x 2y+2xy= − − +1 x y xy 3 1

2

xy

 + =

x +y −xy= x+y − xy= +  − xy= = − 

Vì x, yQ nên 3 1

2

xy −

là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ Câu 3

a) Ta có: (x + y)4 = 40 x + 1(1)

Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + 1 < 40x + 40y

Suy ra 41  + (x y)4  40 x + 40 y

Nên 16 < (x + y)4 và (x + y)3 < 40 Suy ra 2 < x + y < 4

Mà x, y nguyên dương; nên x + y = 3 (2)

Thay (2) vào (1) ta có: 40x + 1 = 34 x = 2, thay vào (2) tìm được y = 1

Vậy (x; y) = (2; 1)

3x−2 x+1 3x+ = − 8 16 3x−2 3x+3 3x+ = −8 144 Đặt 3x+ = 3 t 3x− = −2 t 5;3x+ = +8 t 5 Ta có PT ( ) (2 )

5 5 144

t− t t+ = −

2

4 16

t t

-Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x=−2; x=1

3 ; x=

7 3

−

-KL

Câu 4

a) -Ta có 0 0

vì MON=900 BOM +BON =900 BOM =CON

-Ta có BD là phân giác góc ABC  450

2

ABC

45 2

BCD NCO=DCO= = Vậy ta có MBO=NCO

-Xét OBM và OCN có OB=OC ; BOM =CON;MBO=NCO  OBM = OCNOM =ON

*Xét MON có 0

90 ;

MON= OM =ON MON vuông cân tại O

Ta có AB//CD AB/ /CE AN BN

/ /

 =  ( theo định ký Ta- lét đảo )

+ Vì MN//BE BKN =MNO=450 ( 2 góc đồng vị và có tam giác MON vuông cân)

BNK ONC

Xét BNO;KNCcó BNO=CNK; NB NO

45

Vậy ta có BKC=BKN+CKN=450+450 =900 CK ⊥BE

90

mà NKC=450 CKH =450BKN =NKC=CKH=450

H

E

O

N M

K

B A

Xét BKC có BKN =NKCKN là phân giác trong của BKC , mà KH ⊥KN KH là phân giác

ngoài của BKC KC HC

 =

Chứng minh tương tự ta có KN BN

-Vậy ta có KC KN NC HC BN CN BH 1

Câu 5

a +  a b +  ba +b +  a+ b + a b (do a2+b2  +a b)

+ Chứng minh được với hai số dương x y, thì 1 1 4

+ + Do đó

S

+ Kết luận: GTLN của S là 2020, đạt được khi a= = b 1

Đề số 4

Câu 1 Giải phương trình:

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2

+ +

+ + +

+ +

x

Câu 2 Cho x y z 1

a+ + =b c và a b c 0

x+ + =y z Chứng minh rằng :

Câu 3 Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1 1 1 0

a+ + =b c Rút gọn biểu thức:

2 c 2ac 2ab

M

Câu 4 Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mãn a + b + c = 2014 và 1 1 1 1

2014

a+ + =b c Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau

Câu 5 Tìm GTNN của

2 2

3 8 6

2 1

A

− +

=

− +

ĐÁP ÁN

Câu 1 Giải phương trình:

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2

+ +

+ + +

+ +

x

2

x + x+ = x+ x+

2

x + x+ = +x x+

ĐKXĐ: x−4;x−5;x−6;x−7

Giải phương trình:

(x 4)(x 5)+(x 5)(x 6)+(x 6)(x 7) =18

18

1 7

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1

= +

− +

+ +

− +

+ +

−

x

18

1 7

1 4

+

−

+ x

x

18 x+ −7 18 x+ = +4 x 7 x+ 4

(x+13)(x− = 2) 0

13 2

x

x

= −



  =



Câu 2 Cho x y z 1

a+ + =b c và a b c 0

x+ + =y z Chứng minh rằng :

Hướng dẫn

+ +

0

Ta có:

2

a+ + = b c a+ +b c =

+ +

 + + =

Câu 3 Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1 1 1 0

a+ + =b c Rút gọn biểu thức:

2 c 2ac 2ab

M

Hướng dẫn

Theo đề bài ta có:

1 1 1

0

a+ + =b c

abc

+ +

0

ab ac bc

bc ab ac

Ta có:

2

2

a bc ac ab

a a c b a c

a c a b

Tương tự ta có:

2

2 =

b + ac b a b c− −

2

2 =

c + ab c a c b− −

2 c 2ac 2ab

M

M

a c a b b a b c c a c b

M

a c a b a b b c a c b c

(b c a c a b)( )( )

M

a b a c b c

− − + + −

=

M

a b a c b c

Câu 4 Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mãn a + b + c = 2014 và 1 + + = 1 1 1

Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau

Hướng dẫn

Theo đề bài ta có:

+ + =

1 2014

abc

+ +

1

+ +

+ + (vì a + b + c = 2014 )

2 2 2 2 2 2

0

a b c ab b c ac b c bc b c

2

0 0

b c a ab ac bc

b c a a c b a c

 +  + + + =

(b c)(a c)(a b) 0

= −





 = −

 = −



Vậy trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau

Câu 5 Tìm GTNN của

2 2

3 8 6

2 1

A

− +

=

− + Hướng dẫn

Đặt x− =  = +1 y x y 1 Ta có:

3 1 8 1 6 3 2 1

1 2 1 1

A

y

+ − + +

2

2 1

3

A

= − +

Đặt 1 z

3 2

 = − +

2

2 1 2

( )2

1 2 2

Vậy min A=  =  =  =2 z 1 y 1 x 2

Đề số 5

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

b) Rút gọn biểu thức:

2

2

Câu 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:

b) ( )( )( )2

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = 0

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh:

AF = AC ; và AEF CED = b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D Giao điểm của EF với AM là N

Chứng minh: HN.AD=AN.DM

c) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

( 1) ( 1) ( 1)

bc a +ca b +ab c

ĐÁP ÁN Câu 1

a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120

= (x2 + 7x + 11)2 - 112

= (x2 + 7x)( x2 + 7x + 22)

= x(x + 7)( x2 + 7x + 22)

b)

2 2

=

2

=

A

− với x  2

−

1

Câu 2

x

x + 2020 = 0 vì

x = -2020

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=- 2020

b) (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6

Đặt 6x + 7 = t, ta có:

(*)  (t 1)(t 1)t + − 2 = 72  − − t4 t2 72 =  =  0 t 3

3

−

3

−

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 3

) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0

(x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – 7 = 0

(x+1)2 - (y + 2)2 = 7

(x – y - 1)(x + y + 3) = 7

Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0

 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1

x = 3 ; y = 1









Vậy phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y) =(3;1)

b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) thì

B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2

= (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2 Z

 x2 + 5xy + 5y2  Z

Vậy B là số chính phương

Câu 4

a) Xét AEB và AFC có :

EAB chung

0

Do đó AEB đồng dạng AFC( g.g) AE AB

Xét AEF và ABC có : BAC chung

AE AF

Do đó AEF đồng dạng ABC (c.g.c)  AEF = ABC

Chứng minh tương tự ta được : CED = CBA Do đó : AEF = CED

0

N

M

K

I

H F

E

B

A

Tam giác NED có EH là tia phân giác của DEN nên: HN EN

HD = ED (1)

Vì EA⊥ EH nên EA là tia phân giác ngoài tại đỉnh E của DEN

Từ ( 1) và (2) suy ra : HN AN

HD = AD , mà HD=DM ( Do M là điểm đối xứng của H qua D) Nên HN AN

+

+

AMI có HF//MI( cùng ⊥ AB) AF AH

 = (định lí Ta lét),

Mà AN AH

AD = AM nên AF AN

AMK có HE//MK (cùng ⊥ AC) AE AH

 = (định lí Ta lét),

IK / /FE

AI = AM = AK  ( Định lí Ta lét đảo) (4)

Từ (3) và (4) suy ra I, K, D thẳng hàng

Câu 5

Áp dụng ta có:

bc a abc bc ab bc ca bc ab bc ca bc

dấu bằng xảy ra khi b = c

Tương tự:

ca b ab ca bc ca

+  + +  dấu bằng xảy ra khi c = a

ab c ab bc ca ab

+  + +  dấu bằng xảy ra khi a = b Suy ra

( ) ( ) ( )

1 1 1 1

bc a ca b ab c

ab bc ca bc ab ca bc ca ab bc ca ab

bc a ca b ab c

ab bc bc ca ca ab

bc a ca b ab c a b c

bc a ca b ab c

+ Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3

Vậy GTLN của P= 1

4 khi a = b = c = 3

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí