Chứng minh rằng khi C thay đổi a CH có giá trị không đổi b CO EF c Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định... Áp dụng bđt bunhia :.[r]
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 9 LẦN 2
NĂM HỌC 2015 - 2016
ĐỀ THI MễN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Câu 1 (4 điểm)
a) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phơng ?
b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình phơng của tổng hai chữ số của nó
Câu 2 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:
Chứng minh rằng: x = y = z hoặc xyz = 1
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trỡnh 13 x2 x4 9 x2 x4 16
b) Giải hệ phơng trình
2 1 3
Câu 4 (7 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn AB Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H Đờng tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q Chứng minh rằng khi C thay đổi
a) CH có giá trị không đổi
b) CO EF
c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện: a2b2 b2 c2 c2a2 2015 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
b c c a a b
Họ và tờn thớ sinh SBD
Trang 2Câu 1 (4 điểm)
a) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phơng ?
b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình phơng của tổng hai chữ số của nó
a)Ta thấy B là số chính phơng 4B là số chính phơng
Đặt 4B = k2 (kN) thì 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 0,5 điểm Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có các hệ
(1)
(2)
2 1 51
(3)
2 1 17
(4)
0,5 điểm Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4
Vậy các số nguyên cần tìm là n 12; 3; 4;13 0,5 điểm b)Gọi số phải tìm có dạng ab (( ,a b N ;0a10;0 b 10) 0,5 điểm
Theo giả thiết ta có 10a b ab (a b )2 b2b a( 1)a(10 a) 0,5 điểm
Ta có
2
10
2
0,5 điểm
Thay b lần lợt từ 1 đến 5 ta có ab 13;63;91. 1,0 điểm
Câu 2 (2 điểm)
- a) Giải phơng trình Bỡnh phương 2 vế ta được :
2(13 1 2 9 1 2 2) 256
- Áp dụng bđt bunhia :
(13 1 x 9 1x ) ( 13 13 13 x 3 3 3 3 ) x 40(16 10 ) x
- VT x240(16 10 ) x2 Áp dụng cosi VT VP Nghiệm
2 5
x
hoăc
2 5
x
.
2 diểm
Trang 3- b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
2
2 1 3
2 1 3
2 1 3 ( 2 1) 13 8 52 0
13 9 8 52 0 13 9 8 52 0
2 1 3
2 1 3
2 13 0
2
1 5
2 1 3 5
11 24 0
3 2 1
3 5
7 3
8
y
y
y y
x y
y
C©u 3 (3 điểm)
Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n:
Chøng minh r»ng: x = y = z hoÆc xyz = 1
§iÒu kiÖn x; y; z d¬ng
Ta cã
Trang 4(1) (2) (3)
yz
xy
xz
(*)
1,0điểm
Nếu x; y; z đôi một khác nhau, nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta có xyz = 1
Câu 4 (4 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn
AB Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H Đờng tròn tâm
H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q Chứng minh rằng khi C thay đổi
a) CH có giá trị không đổi
b) CO EF
c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định
x
I
D
K
Q
P
H F
E
O
C
a) Kẻ đường kính BD ta cú CH⊥ AB ; DA ⊥ AB ⇒AD//HC (1)
Mặt khácDCCB HA CB; DC HA/ / (2)
Từ (1) & (2) suy ra ADCH là hỡnh bỡnh hành nờn CH = AD 1,0 điểm Gọi K là trung điểm AB xột tam giỏc ADB cú OK là đường trung bỡnh nờn
AD = 2.OK ( khụng đổi) Vậy CH = 2.OK khụng đổi 1,0 điểm
Trang 5Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với (O) ta có ∠ xCA =∠CBA
Mà tứ giác AFEB nội tiếp nên ∠CFE =∠CBA nên ∠ xCA =∠CFE 1,0 điểm
suy ra Cx//EF
c) Gäi đường thẳng kẻ từ H vuông góc PQ c¾t OK t¹i I
Vậy EF // PQ, mà HI⊥ PQ // EF⇒ HI // OC
MÆt kh¸c CH//OI nên tứ giác OCHI là hình bình hành suy ra OI = CH (không
C©u 5 (2 điểm)
Cho c¸c sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a2b2 b2 c2 c2a2 2015 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
P
b c c a a b
Đặt x=√b2
+c2; y=√c2
+a2; z=√b2
Ta cã x2 b2c2 , y2 c2a2, z2 a2b2 nªn
x y z a b c a b c
Mặt khác 2(a2
+b2)≥¿
Tương tự √2 y ≥ a+c ;√2 x ≥b +c ;(2)
0,5 điểm
Từ (1) & (2) ta có
2√2( y2+z2− x2
x2+z2− y2
y2+x2− z2
1
2√2[ (x2
+y2
+z2
) (1x+
1
y+
1
z)−2 (x+ y +z )](3)
Ta có 3(x2
+y2
+z2
)≥¿nªn tõ (3) suy ra
0,5 điểm
x y z
Giá trị nhỏ nhất của
2015 2 4
P
khi x = y = z suy ra a = b = c =
2015 2 6
0,5 điểm
Hết