Độ dài dây cung vuông góc với một bán kính tại trung điểm của bán kính ấy là:9. Độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:.[r]
Trang 1ĐỀ 1
I Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau:
1 Khi rút gọn biểu thức 8 60 ta có kết quả là:
2 Giá trị bé nhất của biểu thức:
x + 4 2 4 1
x + 9 2 6 1
3 Tập nghiệm của phương trình:
19 x2 1 + 5 x 1 + 91 x2 3x 2 = 3 là
4 Để hàm số
Y = (m- 3m)x3 + ( m-3)x2 + 2 x + 7 là hàm bậc nhất thì giá trị của m phải là:
5 Điểm cố định mà đường thẳng Y = mx -
2
m
- 1 luôn luôn đi qua khi m thay đổi có toạ độ là:
a ( ; 1
2
1
2
1
6 Cho ABC vuông tại A có AB = 2AC, AH là đường cao Tỷ số HB:HC là:
7 Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 16; AB = 12 Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở D và
E Độ dài DE là :
8 Cho góc thoả mãn 00 < < 900 ta có các kết luận sau:
a sin < cos b tg> cotg c sin<tg d Chưa thể kết luận được
9 Cho đường tròn có bán kính 12 Độ dài dây cung vuông góc với một bán kính tại trung điểm của bán kính ấy là:
10 Cho ABC cân tại A; đường cao AH = 2; BC = 8 Độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
II Phần tự luận
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
b B = x x2 4 x x2 4 ( với x2)
Câu 2: Chứng minh rằng nếu a> b> 0 thì: 2a3 - 12ab + 12b2 + 1 0
Câu 3: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại D Gọi K là hình chiếu của D trên AC
a Chứng minh ABD cân
b Biết BC = 25 cm; DK = 6cm Tính độ dài AB
ĐỀ 2
I.Tr¾c nghiÖm
Trang 2
Câu 1: Điều kiện của x để biểu thức
4
1
2
x có nghĩa là:
a x>2 ; b x 2 ; c: x < - 2 ; d: x >2 hoặc x< -2
Câu 2: trong các số sau có bao nhiêu số vô tỉ:
-
2
1
9; - 4 ; ( 1 , 25 ) 2 ; 3
64
1
; 2 3 - 2 3
Câu 3: Giá trị của biểu thức (
5 8
8 5
+
5 8
5 8
) 27 ( :
a: -
9
338
13
16
Câu 4: Tam giác MNP có M (-1;0) , N(1;0), P (0;1) là:
Câu 5: Giá trị lớn nhất của biểu thức: 2x2 5x
a:
8
25
4
5
4
2
2 5
Câu 6: Có thể nói gì về số đờng tròn đi qua 3 điểm A,B,C cho trớc
a: Có thể không có đờng tròn nào ; b: có ít nhất 1 đờng tròn
Câu 7: Trong các hình sau hình nào có vô số trục đối xứng
Câu 8: Cho ABC O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB Nếu góc A góc Bgóc C thì có thể nói gì về quan hệ giữa ba đoạn thẳng OD,OE,OF
Câu 9: Giá trị của biểu thức: tg + cotg = 3.Giá trị của A = Sin cos là:
3
1
; d: Một kết quả khác
Câu 10: Hàm số y = (t2 – 2)x + 3 đồng biến khi và chỉ khi
II Tự luận
Câu 1: Cho biểu thức A =
x x x
x x x x x x
x x x
4
4 4
4
2 2 2
2
a.Rút gọn A b Tìm x để A< 5
Câu 2: 1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh : a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca)
2 Tìm số chính phơng abcd biết ab – cd = 1
Câu 3: 1 Cho ABC vuông ở A Đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC, biết BH = 4cm, CH
= 9 cm
a Tính độ dài đoạn DE
b Chứng minh AD.AB = AE.AC
2 Cho ABC vuông ở A có AB<AC và trung tuyến AM, ACB = , AMB =
Chứng minh (sin + cos )2 = 1 + sin
ĐỀ 3
I Trắc nghiệm Hãy chọn phơng án trả lời đúng ứng với lời dẫn của mỗi câu sau:
Câu 1: Giá trị của biểu thức M = 3 5 2 13 + 3 5 2 13
A Số hữu tỷ âm B Số hữu tỷ dơng C Số vô tỷ âm D Số vô tỷ dơng
Câu 2:Giá trị nhỏ nhất của biểu thức : y = x 3 5 x là:
Câu 3: Giải phơng trình x34 x1 x8 6 x1 5 ta có nghiệm là
Trang 3
A x = 1 B x= 10 C 1 x 10 D Một nghiệm khác
Câu 4: Biểu thức 2x 35 2x xác định khi :
A Không có giá trị của x B Mọi x thuộc R C -1,5 x 2 , 5 D.Một kết quả khác
Câu 5: Cho P =
2007
1
3
1 2
1 1
1
A P < 2007 B 2007 < P < 2 2007 C P > 2 2007 D.Một kết quả khác
Câu 6: Đơn giản biểu thức
A = ( 1 + tg2 )( 1 – sin2 ) - ( 1 + cotg2 )( 1 – cos2 ) ta đợc:
A A = 0 B A = 1 C A = cos2 - sin2 D Một kết quả khác
Câu 7: Các chiều cao của một tam giác bằng 3; 4; 5 Tam giác này là:
A Tam giác vuông B Không phải tam giac vuông C.Tam giác đều D.Tam giác cân
Câu 8: Cho x2 +
x2
1
= 7 ( x > 0 ) Giá trị của x5 +
x5
1
là :
II Tự luận
Câu 1: Cho A =
3
1 9
3 3
4 3 2
2
x x x
x x
x
x x
x
a Rút gọn A b.Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
Câu 2: Tìm x, y nguyên dơng sao cho : x2 = y2 + 13 + 2y
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có đờng cao AH Gọi D, E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA Chứng minh rằng :
a AH AE = 2AD AF
b
AF AD
1 1
4
ĐỀ 4
I Trắc nghiệm Hãy chọn phơng án trả lời đúng ứng với lời dẫn của mỗi câu sau:
I Trắc nghiệm :
Câu1: Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: x32 x2 x6 4 x2 bằng:
a 3 b 2 c x 2 d Một đáp số khác
Câu2: Biểu thức: 2 2 4 6
a Với mọi x R b x 1 hoặc x3 c 1x3 d Một đáp án khác
Câu3: Giá trị của biểu thức:
3 2 3 2
2
là:
a 2 b 2 c 1 d Một đáp án khác
Câu4: Luỹ thừa bậc 4 của 1 1 1 là:
a 2 3 b.3 c 1 2 3 d 3 2 2
Câu5: Cho hàm số:f(x) = ax 3 (a ) ; g(x) = 0 2 1 1
a f(x) + g(x) đồng biến b f(x) - g(x) đồng biến c g(x) – f(x) nghịch biến
Trang 4
Câu6: Đơn giản biểu thức: A =
2 cos 2
sin cos
2 2
2
2 2
a A =
2
1
b A =
2
1
c A=sin2 d Cả a, b, c đều sai Câu7: ABC có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp Độ dài ba cạnh của tam giác đó là:
a 4, 5, 6 b 5, 6, 7 c 2, 3, 4 d Cả a, b, c đều sai
Câu8: Ta có các phát biểu sau:
1) Một điểm O cho trớc và một số phụ r cho trớc xác định một đơnggf tròn tâm O bán kính r
2) Qua 2 điểm A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn đờng kính AB
3) Qua 3 điểm chỉ xác định đợc một và chỉ một đờng tròn
Các phát biểu đúng là:
a Chỉ 1) b Chỉ 2) c Chỉ 3) d Chỉ 1 và 2
II/ Phần tự luận:
Câu1: Cho biểu thức: A =
2 2
2 4
2
x x
x
a) Rút gọn A b)Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu2: Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0 Chứng minh rằng: c(a c) c(b c) ab
Câu3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B đến CD a) Chứng minh rằng: CH = DK
b) Chứng minh rằng: SAHKB = SACB + SADB
c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
ĐỀ 5
I Trắc nghiệm Hãy chọn phơng án trả lời đúng ứng với lời dẫn của mỗi câu sau:
Câu1: Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: x32 x2 x6 4 x2 bằng:
a 3 b 2 c x 2 d Một đáp số khác
Câu2: Biểu thức: 2 2 4 6
a Với mọi x R b x 1 hoặc x3 c 1x3 d Một đáp án khác
Câu3: Giá trị của biểu thức:
3 2 3 2
2
là:
a 2 b 2 c 1 d Một đáp án khác
Câu4: Luỹ thừa bậc 4 của 1 1 1 là:
a 2 3 b.3 c 1 2 3 d 3 2 2
Câu5: Cho hàm số:f(x) = ax 3 (a ) ; g(x) = 0 2 1 1
a f(x) + g(x) đồng biến b f(x) - g(x) đồng biến c g(x) – f(x) nghịch biến
Câu6: Đơn giản biểu thức: A =
2 cos 2
sin cos
2 2
2
2 2
a A =
2
1
b A =
2
1
c A=sin2 d Cả a, b, c đều sai Câu7: ABC có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp Độ dài ba cạnh của tam giác đó là:
a 4, 5, 6 b 5, 6, 7 c 2, 3, 4 d Cả a, b, c đều sai
Câu8: Ta có các phát biểu sau:
4) Một điểm O cho trớc và một số phụ r cho trớc xác định một đơnggf tròn tâm O bán kính r
5) Qua 2 điểm A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn đờng kính AB
Trang 5
6) Qua 3 điểm chỉ xác định đợc một và chỉ một đờng tròn.
Các phát biểu đúng là:
a Chỉ 1) b Chỉ 2) c Chỉ 3) d Chỉ 1 và 2
II/ Phần tự luận:
Câu1: Cho biểu thức: A =
2 2
2 4
2
x x
x
a/Rút gọn A b/Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu2: Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0 Chứng minh rằng: c(a c) c(b c) ab
Câu3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B đến CD aChứng minh rằng: CH = DK
bChứng minh rằng: SAHKB = SACB + SADB
cTính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
ĐÁP ÁN de 1
I Trắc nghiệm ( Mỗi ý đỳng cho 0,4 điểm)
II Tự luận
Cõu 1: ( 2 điểm)
a Ta cú:
2
) 1 7 ( 7 4
2
2
) 1 7 ( 7 4
2
2
1 7 1 7
2
2
B2 = x + x + 2 2 2 4
x
Cõu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
2a3 - 12b ( a-b) + 1 0 ( 0,25 điểm)
- Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:
a2 4b( a- b) (2)
( a - 2b)2 0; (đỳng) (2) đỳng (0.25đ)
từ (2) 3a2 12b(a-b) (3) (0.25đ)
Muốn chứng minh (1) đỳng ta chứng minh
2a3 – 2a2 – a2 + 1 0
2a2(a - 1) – (a - 1)(a + 1) 0 (a - 1)(2a2 – a - 1) 0 (a - 1)(a2 – a + a2 - 1) 0
a1 a(a 1)(a 1)(a1)0 a 1 a 1(2a1) 0
Trang 6
(a - 1)2 (2a + 1) 0 đỳng (vỡ a > 0) (4) đỳng (0.25đ)
Vỡ 3a2 12b (a-b) theo (3)
2a3 – 12b (a-b) + 1 2a3 – 3a2 + 1 0 (theo (4)) (0.25đ)
Cõu 3: (2,5đ)
Vẽ hỡnh đỳng (0.25đ)
a) (1đ)
+ Vỡ AHD = AKD (Cạnh huyền và gỳc nhọn bằng nhau) (0.25đ)
+ Suy ra D ˆ1 Dˆ2 (cặp gúc tương ứng)
(0.25đ)
b) (1.25đ)
+ Ta cú:
Hay: y2 = 25y – 150 (0.25đ) y2 = 25y + 150 = 0 (y – 10) (y – 15) = 0 (0.25đ)
Đáp án toán 9 (de 2)
I Trắc nghiệm (4đ)
II. Tự luận (6đ )
Câu 1: (1,5đ)
x 0
a
) 4 (
) 4 4
)(
4 4
( ) 4 )(
4 (
) 4 (
) 4 (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
A
x x x
x x
x
4 4
2 4
x
Kết hợp với điều kiện ta có
x 4 hoặc x <0 -1<x<0
Vậy : Để A< 5 thì -1 <x<0 hoặc 4 x 5
Câu 2: 1 áp dụng bất đẳng thức CôSi ta có
1 +b2 2b a(1 + b2) 2ab
1 +c2 2c b(1 + c2) 2bc
1 +a2 2a c(1 + a2) 2ac
a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2ab +2bc +2ac
a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2 (ab +bc ca)
2 abcd = n2 (nN)
abcd = n2 100 ab + cd = n2
100(1 + cd ) + cd = n2
Trang 7
100 + 101 cd = n2
101 cd = n2 – 100 = (n-10)(n+10)
ta có n<100 và 101 là số nguyên tố nên suy ra
Thử lại abcd = 912= 8281
a Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
b Xét AHC vuông tại H có HE AC
AH2 = AE.AC (1)
AHB vuông tại H có DH AB AH2 = AD.AB (2) Từ (1) và (2) ta có: AE.AC = AD.AB
2 (1đ) (sin cos)2 1 sin
sin22cos.sincos2 = 1 +sin 1 + 2cos sin 1 sin 2 cos sin sin (1) Chứng minh (1):
Ta có: 2
BM
AH BM
AH BC
AH BC
BC
AH BC BC
AB BC
AB
2
2 2
2
2.cos
AM
AH BM
AH
2 cos sin sin
Vậy: (sin cos)2 1 sin
Đáp án toán 9 De 3
I Trắc nghiệm ( 4 điểm ) – Mỗi câu đúng 0.4 điểm
II Tự luận ( 6 điểm )
a A =
3
2 x
b A là số nguyên khi x chia hết cho 3 x = 3k ( k N* ) x = 9k2 (k N* ) Vậy A nguyên khi x = 9k2 với k là
số nguyên dơng : 0.75 điểm
Câu 2: ( 2 điểm )
Từ x2 = y2 + 2y + 13 ta có : x2 = ( y + 1 ) 2 +12 ( x + y + 1 )(x – y – 1 ) = 12
Do ( x + y + 1 ) - (x – y – 1 ) = 2y + 2 và x, y N* nên x + y + 1 > x – y – 1 Vì vậy x + y + 1 và x – y – 1 là hai số nguyên dơng chẵn Mà 12 = 2 6 nên chỉ có một trờng hợp : x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2 Vậy x = 4 và y = 1
Câu 3: ( 2 điểm ) Mỗi ý 01 điểm
a) Do AH BC ( gt ) ; BAC = 900( gt ) nên AH BC = AB AC (1 )
A
B
D
Trang 8Mà BC = 2AE ( Tính chất đờng trung tuyến trong tam giác vuông )
AB = 2AD ( gt ) ; AC = 2AF ( gt ) nên (1 ) trở thành 2AH AE = 4AD AF
Vậy AH AE = 2AD AF
b) Xét tam giác ABC có : A = 900 Đờng cao AH (gt) nên :
AC AB
1 1
1
Hay
AF AD
4
1 4
1 1
Vậy
AF AD
1 1
4
Dap an de 4
Đáp án và biểu diểm:
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
II/ Phần tự luận ( 6 điểm)
2 2
3
2 2
6 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 4
2
x x
x
x x
x x
x
b (0,5đ) A =
3
6 3
2 3
2
x Dấu “ =” xảy ra x = 0 Vậy giá trị lớn nhất của A =
3
6 khi x = 0.
Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a – c > 0 và b – c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
ab
bc ab ca a
c a b
c ab
c
a
2
1 2
ab
ac ab cb b
c b a
c ab
c
b
2
1 2
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có:
ab
c a
c
ab
c b
c
1
a c cb c ab
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)
Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2)
Từ (1) và (2) => CH = DK
b (1,5đ) Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F Ta có: HIE KIFg c g => SAHKB = SAEFB
Kẻ II’, CC’, DD’ vuông góc với AB
Mà SAEFB = AB II’ (vì AB = EF) nên SAHKB = AB.II’ (3)
2
' ' 2
'
2
'
II AB DD
CC AB AB DD AB
CC
Trang 9
Từ (3) và (4) Ta có: SAHKB= SABC + SADB.
c.(0,75đ) Trong tam giác vuông ICO co: OI2 = OC2 OI2 15 2 9 2 12 (cm)
SAHKB = AB II’ AB IO = 30 12 = 360(cm2) (vì IO II’ )
Vậy SAHKB lớn nhất bằng 360cm2
Dap an de 5
Đáp án và biểu diểm:
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
II/ Phần tự luận ( 6 điểm)
2 2
3
2 2
6 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 4
2
x x
x
x x
x x
x
c (0,5đ) A =
3
6 3
2 3
2
x Dấu “ =” xảy ra x = 0 Vậy giá trị lớn nhất của A =
3
6 khi x = 0.
Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a – c > 0 và b – c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
ab
bc ab ca a
c a b
c ab
c
a
2
1 2
1
(1)
ab
ac ab cb b
c b a
c ab
c
b
2
1 2
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có:
ab
c a
ab
c b
c
1
a c cb c ab
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)
Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2)
Từ (1) và (2) => CH = DK
b (1,5đ) Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F Ta có: HIE KIFg c g => SAHKB = SAEFB
Kẻ II’, CC’, DD’ vuông góc với AB
Mà SAEFB = AB II’ (vì AB = EF) nên SAHKB = AB.II’ (3)
2
' ' 2
'
2
'
II AB DD
CC AB AB DD AB
CC
Từ (3) và (4) Ta có: SAHKB= SABC + SADB
c.(0,75đ) Trong tam giác vuông ICO co: OI2 = OC2 OI2 15 2 9 2 12 (cm)
SAHKB = AB II’ AB IO = 30 12 = 360(cm2) (vì IO II’ )
C
O I’
H
E
I
F
Trang 10VËy SAHKB lín nhÊt b»ng 360cm2