gọi P là giao điểm của AC và KE atính các góc của tam giác ABP bgọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và QA.cm H,I,K thẳng hàng cGọi F là giao điểm AK v
Trang 1Đề thi HSG
I Trắc nghiệm:
Hãy chọn chữ cãi đứng trớc câu trả lời đúng trong các câu sau:
Câu 1: Để đa thức f(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b là bình phơng của một đa thức thì:
A a = 3; b = 1 B a = 3; b = 0 C a = 4; b = 1 D a = 1; b = 1
Câu 2: Cho phân thức x(x-1)2
2x Giá tri của phân thức bằng 0 khi:
A x = 0 B x = 0 hoặc x = 1 C x = 1 D Không có giá trị của x
Câu 3: Kết quả của phép tính (a6 - 1) : (a2 - 1) là:
A a4 + 1 B a4 + a2 + 1 C a4 + 2a2 + 1 D Không thực hiện đợc
Câu 4: Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 3cm và 8cm, góc xen giữa bằng 600 Độ dài cạnh còn lại là:
2
<
x-1 Kết quả nào sau đây là đúng?
A x = 0 B x = 1
2 C 1 3
2 < <x 2 D x = 4
Câu 6 Biết 5− =x 4 thì (x - 5)2 bằng:
Câu 7 Tổng A = 3 - 32 + 33 - 34 + - 3100 đợc kết quả là:
A 3 3101
4
− B 3 3101
2
− C 3 - 3101 D 3101 - 3
Câu 8 Một tam giác có góc B - góc C = 300, tia phân giác của góc A cắt BC tại D Số đo góc ADB là:
A 300 B 450 C 600 D 750
II Tự luận:
Câu 5: Giải các phơng trình sau:
a/ 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0
b/ 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0
c/ 2x− + 1 2x+ = 1 4
Câu 6: Cho P = 2 28 7
1
x
− + + Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P
Câu 7:
a/ Cho ba số chính phơng A, B, C Chứng minh rằng: (A - B)(B - C)(C - A) chia hết cho 12
b/ Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a, b, c khác 0 Tính giá trị của biểu thức:
P = 1 a 1 b 1 c
+ + +
Câu 8: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 5cm; BC = 6cm Vẽ các đờng phân giác AD,
BE, CF
a/ Tính độ dài EF
b/ Tính diện tích tam giác DEF
Câu 9:
a/ Chứng minh rằng nếu a + b + c ≥3 thì a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
b/ Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Trang 2ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 8
Đề 1
Bài 1: Trên cạnh AB<BC<AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy
các điểm M,N,P sao cho Tính diện tích MNP theo diện tích ABC theo k
Tính k Sao cho diện tích MNP đạt GTNN
Bài 2: Cho tú giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O Kí Hiệu S là diện tích.
Cho diện tích AOB và diện tích COD với a,b là 2 số cho trước
1, Hãy tìm GTNN của diện tích ABCD ?
2, Giả sủ diện tích ABCD nhỏ nhất Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao
Trang 3cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chéo AC, BD chia thành 3 phần bằng nhau
Đề 2
Bài 1 Rút gọn biểu thức:
A=
Bài 2 Giải phương trình
a)
b)
Bài 3 Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=4
chứng minh rằng: a2+b2+c2 lớn hơn hoặc bằng 4
Bài 4 cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB),đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vuông AHKE gọi P là giao điểm của AC và KE a)tính các góc của tam giác ABP
b)gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và QA.cm H,I,K thẳng hàng
c)Gọi F là giao điểm AK và HE cm AI.AK=AF.AQ
Đề 3
Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x4-7x3-2x2+13x+6
1) Phân tích P(x) thành nhân tử
2) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x thuộc Z
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD) Vẽ CE vuông góc với AB và CF vuông góc với AD Chứng minh rằng: AB.AE+AD.AF=
Bài 3: Cho phân thức F(x)=
1) Rút gọn phân thức
2) Xác định x để phân thức có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC bằng 289 và đường cao AH bằng 120 Tính hai cạnh AB và AC
2) Giải phương trình:
.2đ
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz= x + y + z
2.2đ:
a,giải phương trình
Trang 4b,cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz=100.tính giá trị biểu thức:
3.(2đ)
a,CMR nếu các số x,y,z có tổng là 1 số ko âm thì:
b, cho m,n là các số thỏa mãn điều kiện tìm min của :
4.(1,5đ).trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m - 4)x+ (m-3)y=1( m là tham số ).tìm m để KC từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất
5.(2,5đ).Cho (O) đường kính BC = 2R từ điểm P trên tia tiếp tuyến tại B của đường tròn,vẽ tiếp tuyến thứ hai PA với đường tròn(A là tiếp điểm).Gọi H là hình chiếu của A trên BC,E là giao điểm của PC và AH
a,CM : E là TĐ của AH
b,tính AH theo R và khoảng cách d=PO
Trang 5Sở GD-ĐT Hà TĩNH Đề THI họC SINH GiỏI LớP 8 NĂM HọC 2008-2009
PHòNG GD-ĐT HƯƠNG SƠN MÔN : TOáN(Thời gian 120 phút)
Câu: 1Cho biểu thức A= )( 1004)
1
1 4 1
1 1
1
2
x
x x
x x x
x x
−
−
− + +
−
−
−
+ a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A <
2
1 Câu :2 Cho hai số dơng x và y thoả mãn x+y=1
a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y(y+34) +2xy +65
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(1- 12)( 1 12)
y
Câu :3 Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1
Giả sử P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0 Hãy tính giá trị của biểu thức :
Q= P(-2)+7P(6)
Câu : 4 Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn
(n+5)2 =[4(n-2)]3
Trang 6Câu :5 Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB; vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB Lấy điểm C trên Ax, lấy điểm D trên By sao cho góc COD=900
a) Chứng minh ∆ACO đồng dạng với ∆ BOD
b) Chứng minh CD=AC+BD
c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M Gọi N là giao điểm của AD với BC Chứng minh MN // AC
Trường THCS Tiến Thịnh Đề Khảo sỏt học sinh giỏi
Mụn: Toỏn Lớp 8
Thời gian: 120 phỳt
Cõu 1( 2đ):
Biết: a - b = 25 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức:
A = a( a + 2) + b( b - 2) - 2ab – 75
b) Cho: x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tớnh giỏ trị của biểu thức: B = x3 + y3
Cõu 2( 2đ):
Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c
Chứng minh: a3 - 3ab +2c = 0
Cõu 4( 2đ): a) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giỏc thỡ:
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2
Cõu 5( 2đ): Giả sử AC là đường chộo lớn của hỡnh bỡnh hành ABCD Từ C, vẽ đường vuụng gúc CE với đường thẳng AB, đường vuụng gúc CF với đường thẳng AD ( E, F thuộc phần kộo dài của cỏc cạnh AB và AD) Chứng minh rằng:
AB AE + AD AF = AC2
UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố
PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1 x2 + 7x+ 6
2 x4 + 2008x2 + 2007x+ 2008
Bài 2: (2điểm)
Giải phơng trình:
1 x2 − + + − = 3x 2 x 1 0
+ + + − + + = +
Bài 3: (2điểm)
1 Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau: 64 6= + 4
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng
d-ới dạng nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó
Trang 72 Tìm số d trong phép chia của biểu thức (x+ 2) (x+ 4) (x+ 6) (x+ + 8) 2008 cho đa thức
2 10 21
x + x+ .
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo
m AB=
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
òng GD & ĐT Nam Trực
đề thi khảo sát chất lợng hsg năm học 2008-2009
Môn: toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(4đ)
Giải các pt sau:
1
3 1
2 1
1
2 2
−
+ +
−
−
+
x
2004
4 2003
3 2002
2 2001
1
2000x + x+ + x+ + x+ + x+ =
Bài 2 (4đ)
a)Tích của 4 sốtự nhiên liên tiép cộng thêm 1 là một số chính phơng
4
1 3
1 2
1
2 2
2
2 + + + + <
n
Bài 3 (3đ)
Hai bể nớc chứa đầy cùng một lợng nớc và mỗi bể có1 vòi để xả nớc ra Nừu mở vòi ở bể thứ nhất thì trong 20 phút bể sẽ hết nớc Nếu mở vòi ở bể thứ hai thì trong
10 phút bể sẽ hết nớc Hỏi nếu mở hai vòi cùng một lúc thíau bao lâu số nớc còn lại trong bể thứ nhất nhiều hơn số nớc còn lại trong bể thứ hai là 3 lần, biết vận tốc dòng chảy của mỗi vòi là không đổi
Bài 4(3đ)
Cho tam giác ABC cân tại A Một điểm D bất kì lấy trên cạnh BC, kẻ DE⊥AB,
DF⊥ac Chứng minh rằng tổng DE+DF không đổi khi D di chuyển trên cạnh BC Bài 5 (4đ)
Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 20cm, Trên cạnh CD lấy điểm M Đờng vuông góc với BM cắt AD tại N
a) Tính DN biết MC=5cm
b) Tìm vị trí điểm M để độ dài DN lớn nhất
Bài 6 (2đ)
Xác định a để phơng trình 4x2+31y2=a + 6 - 17xy có nghiệm nguyên duy nhất
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 8 QUẬN 1 TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002-2003
( Thời gian làm bài : 90 phỳt)
Bài 1: (3 điểm)
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử
Trang 8a) x 2 +6x +5
b) (x 2 -x +1) (x 2 –x+2) -12
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho x+y+z = 0 Chứng minh x 3 +y 3 +z 3 =3xyza
b) Rỳt gọn phõn thức :
3 3 3
3
+ − −
Bài 3 : (4 điểm)
Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của tam giỏc
A= 4x 2 y 2 –(x 2 + y 2 –z 2 ) 2 Chứng minh A >0
Bài 4 : (3 điểm)
Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức
( x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2002 cho x 2 +8x +12
Bài 5: (6 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC >AB) ,đường cao AH Trờn tia HC lấy HD= HA Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE Tớnh gúc AHM
Đề thi học sinh giỏi toán 8
Bài 1: C/m rằng
A=75( + + + +4+1)+25 là số chia hết cho 100
Bài 2: Cho a+b+c=1 và Chứng minh
Bài 3: Tớnh giỏ trị của đa thức
Bài 4:
An và Bỡnh cựng lỳc từ làng sang làng B ở cựng một bờ sụng rồi quay về A ngay An đi bộ, Bỡnh đi thuyền với vận tốc riờng của thuyền bằng vận tốc đi bộ của An Hỏi ai quay về sớm hơn?
Bài 5:
Cho tam giỏc ABC Gọi M là trung điểm của BC C/m rằng AM<
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A Trực tâm H chia đờng cao AE theo tỉ số 7:1 Hỏi giao
điểm I các đờng phân giác trong tam giác chia đờng cao AE theo tỉ số nào
Đề thi học sinh giỏi trờng
năm học 2008-2009
Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu1: Cho A = (
4
4
2 −
2
1 +
-x
4 8
3
− ) : 4 4
7
−
x
Trang 9a Rút gọn biểu thức A.
b Tìm x ∈Z để A ∈Z
c Tìm x để A - A > 0
Câu2: a Giải phơng trình:
79
11 81
9 84
6 87
3+ − + − + −
x
= 4
b Cho x-2y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2+4
c Tìm số d của phép chia đa thức x2008 – x3 + 5 cho đa thức x2 – 1
Câu3: Cho AD là đờng phân giác của tam giác nhọn ABC(AB<AC), phân giác ngoài tại
A của tam giác ABC cắt BC tại K và cắt đờng vuông góc với AC qua D tại N AC cắt DN tại M
a Chứng minh:AN2 =NM ND
b Từ D kẻ DH // AB (H thuộc AC) , DE//AC (E thuộc AB)
Chứng minh: EH // KN
c Chứng minh: AH KC = HC KB
Câu4: Chứng minh: A = n2 + n + 4 không chia hết cho 25 với mọi n ∈N
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN 1 TP HỒ CHÍ MINH
* Mụn : Toỏn * Khúa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phỳt
Bài 1 : (3 điểm)
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử :
a) x 2 + 6x + 5
b) (x 2 - x + 1) (x 2 - x + 2) - 12
Bài 2 : (4 điểm)
a) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz
b) Rỳt gọn phõn thức :
Bài 3 : (4 điểm)
Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giỏc
A = 4x 2 y 2 - (x 2 + y 2 - z 2 ) 2 Chứng minh A > 0
Bài 4 : (3 điểm)
Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức :
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x 2 + 8x + 12
Bài 5 : (6 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH Trờn tia HC lấy HD = HA Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE Tớnh gúc AHM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN YấN LẠC - TỈNH VĨNH PHÚC
* Mụn thi : Toỏn * Thời gian :150 phỳt * Khúa thi : 2002 - 2003
Cõu 1 : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a 3 + 2a 2 - 4a - 8)
a) Rỳt gọn A
b) Tỡm a thuộc Z để A là số nguyờn
Trang 10Câu 2 : (2,5 điểm)
a) Cho a + b + c = 1 và 1/a + 1/b + 1/c = 0 Tính a 2 + b 2 + c 2
b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn :
a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) = 0
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương
Câu 3 : (2 điểm)
Giải phương trình :
a) |x + 1| = |x(x + 1)|
b) x 2 + 1 / x 2 + y 2 + 1 / y 2 = 4
Câu 4 : (1 điểm)
Tổng một số tự nhiên và các chữ số của nó bằng 2359 Tìm số tự nhiên đó
Câu 5 : (2,5 điểm)
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng
b) Chứng minh BEFC là hình thang Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không ?
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THÀNH PHỐ PLEIKU-GIA LAI
* Môn thi : Toán * Th i gian : 150 phút ờ * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 :
Tìm số có 4 chữ số , biết rằng nếu đem số ấy nhân với 2 rồi trừ đi 1004 thì kết quả nhận được là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như số ban đầu nhưng theo thứ tự ngược lại.
Bài 2 :
a) Phân tích đa thức : x 4 - 30x 2 + 31x - 30 thành nhân tử.
b) Giải phương trình : x 4 - 30x 2 + 31x - 30 = 0.
Bài 3 :
Cho m 2 + n 2 = 1 và a 2 + b 2 = 1.
Chứng minh -1 am + bn 1
Bài 4 :
Cho tam giác ABC có B = C = 70 o ; đường cao AH Các điểm E và F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho ABE = CBE = 30 o Gọi M là trung điểm AB.
a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giácBHE.
b) Chứng minh AB x BE = BC x AE
Môn Toán lớp 8 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
o Bài 1 : (5 điểm) Cho
a) Rút gọn A
b) Tìm A để x = 6013
Trang 11c) Tỡm x để A < 0
d) Tỡm x để A nguyờn
o Bài 2 : (3 điểm)
Cho A = (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3
a) Rỳt gọn A
b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyờn
o Bài 3 : (4 điểm)
Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hựng, Dũng, Cường (mỗi người bắn một viờn), người bỏo bia cho biết cú ba điểm khỏc nhau là 8, 9, 10 và thụng bỏo :
a) Hựng đạt điểm 10
b) Dũng khụng đạt điểm 10
c) Cường khụng đạt điểm 9
Đồng thời cho biết trong 3 thụng bỏo trờn chỉ cú một thụng bỏo là đỳng, hóy cho biết kết quả điểm bắn của mỗi người
o Bài 4 : (5 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB = c, AC = b Lần lượt dựng trờn AB, AC, bờn ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD tại D, ACE tại E
a) Chứng minh cỏc điểm E, A, D thẳng hàng
b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giỏc DIE vuụng
c) Tớnh diện tớch tứ giỏc BDEC
d) Đường thẳng ED cắt đường thẳng CB tại K Tớnh cỏc tỉ số sau theo b và c : img
src="Images/22dethi6.gif">
o Bài 5 : (3 điểm)
Cho tứ giỏc ABCD, M là một điểm trờn CD (khỏc C, D)
Chứng minh rằng MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kớ hiệu max {CA + CB ; DA + DB} là giỏ trị lớn nhất trong 2 giỏ trị CA + CB ; DA + DB).
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬNN HOÀN KIẾM, HÀ NỘI 2003 - 2004
Mụn toỏn lớp 8 (Thời gian : 120 phỳt
Bài 1 : (4 điểm)
Giải phương trỡnh
Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x để hàm số y = x/(x + 2004)2 cú giỏ trị lớn nhất
Bài 3 : (4 điểm)
Cho phương trỡnh
Với giỏ trị nào của a thỡ phương trỡnh cú nghiệm khụng nhỏ hơn 1 ?
Bài 4 : (4 điểm)
Từ điểm O thuộc miền trong của hỡnh thang cõn ABCD (AB = CD) nối với cỏc đỉnh của hỡnh thang được 4 đoạn thẳng OA, OB, OC, OD Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận được, cú thể dựng được một tứ giỏc nội tiếp hỡnh thang này (mỗi đỉnh của tứ giỏc nằm trờn một cạnh của hỡnh thang cõn)
Bài 5 : (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cú AB = c, BC = a, CA = b Gọi Ib, Ic theo thứ tự là độ dài của cỏc đường phõn giỏc của gúc B và gúc C Chứng minh rằng nếu b > c thỡ Ib < Ic</SưUB> phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: toán - lớp 8