de thi hsg cac nam truoc

Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a Chứng minh D EDF vuông cân b Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.. Gọi I là trung điể[r]

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5

số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số

là bội của 5)

Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120

b, Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:

A x



 b)

+ 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1

lÎ)

+ 1) đều phải là số chính phơng Đặt:

2

1 1

k x

k x

1 Chứng minh: ° ABF # °AMC

2.Chứng minh ∠ AFM = ∠ AEN = 90 o

3 Chứng minh S Δ AEF = 12 S Δ AMN

4 Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC

5 Gọi H là giao điểm của MF và NE Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN 2 + CM 2

G iải

Bài 4 ( 8 điểm)

I H F

1 Chứng minh: ° ABF # °AMC ( 1,25 điểm)

-Ta cm: ∠ ABF = ∠ ACM = 45 0

- ∠ BAF = ∠ MAC ( vì cùng cộng với góc CAN bằng 45 0 )

suy ra : ° ABF # °AMC

2 Chứng minh ∠ AFM = ∠ AEN = 90o ( 1,5 điểm)

C/M hoàn toàn tơng tự có ∠ AEN = 90 0

vì vậy ∠ AFM = ∠ AEN = 90 o

3 S D AEF = 1/2 S D AMN (2 điểm)

Thay vào (1) ta đợc SAEF

SAMN =

1

2 hay: S D AEF = 1/2 S D AMN

4 C/M chu vi D CMN không đổi ( 1,25 điểm)

Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN

D ADK = D ABN => AK = AN và ∠ BAN = ∠ DAK

do đó D AMN = D AKM (c.gc) => MN=KM

Vì vậy: Chu vi D CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN

= CD + KD + CN = CD + NB + CN

= CD + CB = 2a không đổi

Tức là: Chu vi D CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC

5 Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN 2 + CM 2 (2 điểm)

Kẻ HI ^ MN tại I

- Cm: ° MHI # ° MNF => MH.MF =MI.MN

- Cm: °NHI # °NME => NH.NE =NI.NM

- suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI ) = MN 2

- áp dụng định lí Pitago vào °CMN ta có: MN 2 = MC 2 +CN 2

Vậy: MH.MF + NH.NE = MC 2 +CN 2

3 2

giải

Bµi 5: ( 2 điểm)

a) ( 1,0 điểm)

Ta có: x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1 = x 3m + 1 - x + x 3n + 2 – x 2 + x 2 + x + 1 = x(x 3m – 1) + x 2 (x 3n – 1) + (x 2 + x + 1)

Vì x 3m – 1 và x 3n – 1 chia hết cho x 3 – 1 nên chia hết cho x 2 + x + 1 Vậy: x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 với mọi m, n  N

b, 2x23y24x19  2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2  2(x + 1)2 = 3(7 – y2) (*)

Xét thấy VT chia hết cho 2 nên 3(7 – y2) 2  y lẻ (1)

Mặt khác VT 0  3(7 – y2) 0  y2  7 (2)

Từ (1) và (2) suy ra y2 = 1 thay vào (*) ta có : 2(x + 1)2 = 18

HS tính được nghiệm nguyên đó là (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1)

Bài4

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Các đường cao

AE, BF cắt nhau tại H Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ

đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt

tại I và K

a Chứng minh DABC đồng dạng DEFC

b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng

IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D Chứng minh NC

Vì CN //IK nên HM CN  M là trực tâm DHNC

 MN CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên

S S +

BHC AHC BHA BHA

S  S 6 Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) 7a( a-2 )

=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nêu ĐKXĐ : a 1; a≠ 2 ;a ≠ 4 Rút gọn P= a− 2 a+1 b) P= a− 2+3 a − 2 =1+ 3

a −2 ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ớc của 3,

mà Ư(3)= {−1 ;1;− 3 ;3} 0,25

Từ đó tìm đợc a {−1 ;3 ;5}

Bài 2

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng của chúng chia hết cho 3

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Giải

a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [ (a2 +2 ab+b 2

)− 3 ab] = =(a+b) a+b¿

2

− 3 ab

¿

V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;

Do vËy (a+b) a+b¿

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng :

A = b+c − a a + b

a+c −b+

c a+b − c ≥ 3

¿

1 (x+4)(x +5)+

1 (x+5)(x +6)+

1 (x+6)(x +7)=

1 18

¿

x +41 − 1

x +7=

1 18

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

2 1

Chứng minh ΔBMD ∾ ΔCEM (1)

Suy ra BDBM= CM

CE , từ đó BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= BC2 , nên ta có BD.CE= BC2

4 b) (1đ) Từ (1) suy ra BDCM= MD

Từ đó suy ra ^D1=^D2 , do đó DM là tia phân giác của gócBDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

c) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK

Tính chu vi tam giác bằng 2AH

Bài 5

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các

số nguyên duơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi

z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)

z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2

z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®uîc :xy=2(x+y+x+y-4)

b, Áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy dấu bằng khi x=y

Bài 3

1 Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trêntia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhDEDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.Gọi I là trung điểm EF Chứng minh

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Giải

Chứng minh DEDF vuông cân

Ta có DADE =DCDF (c.g.c) DEDF cân tại D

C E

b,Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

2) Với giá trị nguyên nào của x thì A có giá trịnguyên?

Ước của 2013 gồm -2013;-671; -183; -61; -33; -11; -3; -1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671; 2013

Từ đó tìm và đối chiếu điều kiện ta có với x nhận các giá trị

là -2014; -672; -184; -62; -34; -12; -4; -2; 2; 10; 32; 60; 182; 670; 2012 thì A nhận giá trị nguyên

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M

kẻ các đường thẳng song song với AC và AB thứ tự cắt AB

và AC tại E và F

1)Chứng minh

ME MF

AC  AB có giá trị không đổi

2) Cho biết diện tích của các tam giác MBE và MCF thứ

tự là a2 và b2 Tính diện tích của tam giác ABC theo a vàb

3)Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn

3) Từ phần 2 suy ra dt(AEMF) = 2ab

liờn tiếp nờn phải cú 1 số bằng 0

Vậy cú 2 cặp số nguyờn ( ; ) ( 1;1)x y   hoặc ( ; ) ( 2; 2)x y  

Bài IV nờn sửa a>0, b> 0

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong

đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5)

Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120.Đặt x2  5x 6 y  Khi đú B y 2 7xy 12x 2

A x

+ 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1

lÎ)

+ 1) đều phải là số chính phơng Đặt:

2

1 1

k x

k x

1 Chứng minh: ° ABF # °AMC

2.Chứng minh ∠ AFM = ∠ AEN = 90o

3 Chứng minh S Δ AEF = 12 S Δ AMN

4 Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi Mchuyển động trên DC

5 Gọi H là giao điểm của MF và NE Chứng Minh:MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2

Giải

I H F

1 Chứng minh: ° ABF # °AMC

-Ta cm: ∠ ABF = ∠ ACM = 450

- ∠ BAF = ∠ MAC ( vì cùng cộng với góc CAN bằng 450 ) suy ra : ° ABF # °AMC

2 Chứng minh ∠ AFM = ∠ AEN = 90o

C/M hoàn toàn tơng tự có ∠ AEN = 900

vì vậy ∠ AFM = ∠ AEN = 90o

4 C/M chu vi D CMN không đổi

Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN

D ADK = D ABN => AK = AN và ∠ BAN = ∠ DAK

do đó D AMN = D AKM (c.gc) => MN=KM

Vì vậy: Chu vi D CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi

Tức là: Chu vi D CMN không thay đổi khi M chuyển độngtrên cạnh DC

5 Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2

Kẻ HI ^ MN tại I

- Cm: ° MHI # ° MNF => MH.MF =MI.MN

- Cm: °NHI # °NME => NH.NE =NI.NM

- suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI) = MN2

- áp dụng định lí Pitago vào °CMN ta có: MN2 = MC2 +CN2

3 2

3 2

2 1

x

y

E D

C B

Cho DABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của

BC Một góc xMy = 600 quay quanh điểm M sao cho 2cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Chứng minh :

a Tam giác D BMD đồng dạng với D CEM, Từ đó suy ratích BD.CE không đổi

b DM, EM lần lượt là tia phân giác của góc BDE vàgóc CED

c Chu vi DADE không đổi

Giải

+ Vẽ hình đúng

a, Chứng minh D BMD D CEM(g-g)

c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh: Từ tính chất tia phân giác ta có: DH = DI,

EI = EK

Chu vi : PADE = AD+DE+EA =AD+DI+IE+KA

= AD +DH +AE+EK = AH +AK = 2.AH (không đôỉ)

D H

M

+ax+b chia cho

x+1 dư 7; chia cho x − 2 dư 4

b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B

2 2

Dấu “=” xẩy ra khi x=2011

Vậy GTNN của B là 20102011 đạt được khi x=2011

2011+11 2011+2000

b/Ta có 4 m2

+m=5 n2

+n ⇔5(m2− n2 ) +m −n=m2⇔ (m− n)(5 m+5 n+1)=m2 (*)Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n ⋮ d ⇒

10m+1 ⋮ d

Mặt khác từ (*) ta có: m2 ⋮ d2 ⇒ m ⋮ d Mà 10m+1 ⋮ d nên 1

Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa

mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương

Bài 4

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của

hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song

song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N

c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác

bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy tương ứng Do vậy : SAOB

Tương tự SBOC=ab Vậy SABCD=(a+b )2

d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

Do ^D<^ C<900 nên H, K nằm trong đoạn CD

c Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minhrằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một sốchính phương lẻ.

Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 +

Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3

vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a+ b + c > 0;

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F;G;H lầnlượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA M làgiao điểm của CE và DF.

a Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông

b Chứng minh DF CE và D MAD cân

C

B

H A

Gọi N là giao điểm của AG và DF Chứng minh

tương tự: AG  DF  GN//CM mà G là trung điểm

DC nên  N là trung điểm DM TrongD MAD có AN

vừa là đường cao vừa là trung tuyến D MAD cân tại

A

2 2

1 4