PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 CHỨA THAM SỐ

Phuong trinh bac hai chua tham so

Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham số

Bài toán 1 : Giải ph ơng trình bậc hai có chứa tham số .

Ph

ơng pháp : Xét các trờng hợp của hệ số a :

- Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phơng trình bậc nhất

- Nếu a 0 thì tiến hành các bớc sau:

+ Tìm nghiệm của phơng trình theo tham số.

Bài 1 : Giải phơng trình bậc hai ( m là tham số ) sau :

 = 2 - m

+ m = 2 : x = 2 (nghiệm kép ) + m < 2 :

1 2

*1* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

Bài 4 : Giải phơng trình (m là tham số) :

1 m  m 

x

Bài 5 : Giải phơng trình (m là tham số) :

(4m2 + 4m + 1)x2 - 2m(2m + 1)x + m2 = 0

Bài toán 2 : T ìm giá trị của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép,có hai nghiệm

phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm.

=-2 1

+ m  0, m 1 :  ' 0  m > 0

Bài 10 : Cho phơng trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0

Tìm các giá trị của m để phơng trình :

a) Có nghiệm kép b) Có 2 nghiệm phân biệt

4

m m





 0 ' 0

4

m m

0 7 2

m m

2

m m

Bài 13 : Cho phơng trình (m là tham số) : (m + 3)x2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0

Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

0

2

m m m

m m

Bài toán 3 : Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc 2 nhận một số k (k R) cho

tr ớc làm nghiệm .

Ph

ơng pháp

- Thay giá trị x = k vào phơng trình tìm tham số.

- Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào x 1 x2 hoặc x1.x2 để tìm nghiệm còn lại (nếu cần).

Bài 14 : Xác định giá trị của tham số m để phơng trình :

Bài 16 : Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng 1.Tìm nghiệm còn lại :

Bài 17 : Với giá trị nào của k thì phơng trình :

a) 2x2 + kx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.Tìm nghiệm còn lại b) k 2x2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.Tìm nghiệm còn lại c) (k - 4)x2 - 2kx + k - 2 = 0 có một nghiệm bằng 3.Tìm nghiệm còn lại

HDẫn : a/ k = 8 , x2 = - 1

b/ k =

7

7 4

2 '

m m

m m m

2

m m

m x

 1 ; 0 ; 2 ; 3

2

; 1

4

6 3 6

n m n m

n m

Bài 21 : Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là

0

n mn

m m

n m

Bài 22 : Xác định các số m, n của phơng trình: x2 + mx + n = 0 sao cho các nghiệm của

2

x PT n m n n m x

m n m x x

Bài toán 4 : Chứng minh ph ơng trình bậc 2 có nghiệm .

Ph

ơng pháp :

- Cách 1 : Chứng minh   '  0

- Cách 2 : Chứng minh ac < 0 ( Chú ý : Cả 2 cách đều phải xét các trờng hợp a = 0 và a  0 nếu a chứa tham số )

Bài 23 : CMR các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m :

a) x2 + (m + 1)x + m = 0 d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0 b) x2 - mx + m - 4 = 0 e) (m + 1)x2 + x - m = 0 c) -3x2 + 2(m - 2)x + 2m + 5 = 0 f) x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0

( dùng ac < 0 )

Bài 24 : CMR phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm, biết rằng 5a + 2c = b

HDẫn :  = b 2 - 4ac = (5a + 2c) 2 - 4ac = ( 4a + 2c) 2 + 9a 2  0

Bài 25 : Cho phơng trình mx2 - (2m - 1)x + m = 0 (1) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phơng

trình (1) Chứng minh rằng nếu x21 x22  2 thì phơng trình (1) có nghiệm kép

'

m m



 a b c ab bc ca a b b c c a c/ (a + b + c)x2 - 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

Bài 27 : Cho phơng trình (a, b là tham số ) :

ax2 + (ab + 1)x + b = 0

a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm

b) Tìm giá trị của a, b để phơng trình có một nghiệm kép là

1 0 1

a ab ab

b a

Bài 28 : CMR : Nếu phơng trình cx2 + bx + a = 0 (1) có nghiệm

thì phơng trình ax2 + bx + c = 0 (2) cũng có nghiệm

HDẫn : 2= b 2 - 4ac = 1  0

Bài 29 : CMR phơng trình sau có nghiệm với mọi a và b :

Bài 30 : Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)

CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm

HDẫn : 1 2 26 > 0  có 1 biệt số không âm

Bài 31 : Cho hai phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) và ax2 + bx - c = 0 (2)

CMR với mọi a, b, c ít nhất 1 phơng trình có nghiệm

HDẫn : 1 2 2 b2  0  có 1 biệt số không âm

Bài 32 : Cho hai phơng trình : x2 + (m - 1)x + m2 = 0 (1) và x2 + 2mx - m = 0 (2)

CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm

HDẫn : 1 2 (m + 1) 2 0  có 1 biệt số không âm

*7* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

Bài 33 : Cho hai phơng trình : x2 - 3x - a - 2 = 0 (1) và x2 + ax + 1 = 0 (2)

CMR với mọi a trong 2 phơng trình trên luôn có ít nhất 1 phơng trình có hai

HDẫn : 1  (m 1 )(m 4 ) ; 2  16 ( 1  m)(m 4 )

0 ) 4 ( ) 1 ( 16

 a1a2  2 (b1b2) ( mâu thuẫn với giả thiết)

bài toán 6:Tìm giá trị của tham số để 2 ph ơng trình có ít nhất một nghiệm chung

*8* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

- Thế giá trị của tham số vào phơng trình còn lại tìm x

- Thay giá trị của x tìm m

HDẫn : (m - 4)x0= m - 4 : + m = 4 : hai phơng trình có dạng : x 2 + 2x +3 = 0 ( vô nghiệm)

+ m 4 : x0= 1 ; m = -2

Bài 41 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.

2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1) 6x2 + (7m - 15)x - 19 = 0 (2)

* Cách 2 : (1)  m =

x

x x

3

5 2

9  2 

(x 0 ) thay vào (2) : 4x 2 - 10x + 6 = 0 ta có x1= 1 ; x2 =

2 3

)

Bµi 42 : Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× 2 ph¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.

2x2 - (3m + 2)x + 12 = 0 (1) 4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2)

HDÉn : (1)  m =

x

x x

3

12 2

Bµi to¸n 7 : Khi ph ¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm , h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a 2 nghiÖm x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m

Bµi 45: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0

mµ hÖ thøc nµy kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 47 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y

t×m 1 hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2kh«ng phô thuéc vµo m

2

2 '

m

m m

Bµi 48 : Cho ph¬ng tr×nh : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm,

h·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m

Bµi 49 : Cho ph¬ng tr×nh : (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm,

h·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m

0 18 9

9 2 '

m

m m

m m

m =

2 2

Bµi 50 : Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau, gi¶ sö chóng cã nghiÖm x1vµ x2 H·y t×m mét hÖ thøc liªn

hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña mçi ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè k

4 5

30 3

0 60 56

13 2

k

k k

k

k =

3

3 12

0 1 6

0 1

m m m

+

1 5

7 0

7 5

1

1 2

2 1 2 1

x x x

Bài 52 : Cho phơng trình :

3

1 1

1





x = m Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm

hãy biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia

2

m m

+

1

1 2

2 1 2

2 5 0

5 2

2

x

x x

x x x x

Bài toán 8 : Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn

một đẳng thức liên hệ giữa 2 nghiệm.

'

a

- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x1 và x2 .

- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phơng trình gồm 3 phơng trình.

- Giải hệ phơng trình tìm tham số.

- Đối chiếu điều kiện, thử lại, rút kết luận.

Bài 53 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = 0 Tìm các giá trị của m để phơng trình có các

nghiệm x1, x2 thoả mãn : x 1 3x2

HDẫn : *

3

4 0

3 4 '     

Bài 54 : Xác định giá trị của tham số k sao cho hai nghiệm x1, x2 của phơng trình

x2 - 6x + k = 0 thoả mãn điều kiện : 3x1 2x2  20

HDẫn : * '  9  k 0  k 9 *k = -16 (t/m)

Bài 55 : Cho phơng trình : x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 Xác định m để giữa hai nghiệm x1, x2 ta

*12* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

3 4 7 0

1 14

2

m

m m

3 1 '     

6 2 0

2

m m m m m

* m = -1 (t/m)

Bài 59 : Gọi x1 và x2 là những nghiệm của phơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0

) 4 3

Bài 61 : Cho phơng trình : x2 + (2 - 3m)x + m2 = 0 Tìm các giá trị của m để phơng trình

2 0

4 12

5 2

m

m m



 2

7 6 '      

HDẫn : *   1  m 0  m 1 *

3

10 2

5

1

2 1

x x x x

6 7 '     

HDẫn : *

4

9 0

0 144 136 41 0

Bài 72 : Cho phơng trình bậc hai : (2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = 0 Xác định m để

giữa hai nghiệm x1, x2 ta có hệ thức : x21 x22  4

2

m m m m m

Bài 73 : Cho phơng trình : x2 + 2x + 3k = 0 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, không giải phơng trình hãy tìm giá trị của k để :

a) x21 x22  10 b) x21 x22  20

HDẫn : *

3

1 0

3 1 '     

 k k * a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - 8 (t/m)

Bài 74 : Cho phơng trình : x2 + (m - 3)x - 2m + 1 = 0 Xác định m để giữa hai nghiệm

*15* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

Bài 75 : Tìm giá trị của m để phơng trình : x2 - 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả

1

m

m m

1 0

1 2 1 2

6

m

m m

m m

2 1

Bài 76 : Cho phơng trình : x2 - 4x + m = 0 Tìm giá trị của m để giữa hai nghiệm x1, x2

2 2 2 1

x x x x

x x

3

13 4

n m n

m n m

3 3 2 1

x x x x

3 3 2 1

x x x

1 2

2 2

x x

+ Từ (1): 2(/ )

3 2

1

m t n m n m n m

4 2

m t n m n

m n m

Bài 79 : Xác định các hệ số p và q để hai nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình: x 2 +px + q = 0

thoả mãn điều kiện 

3 3 2 1

x x x x

15 25 4

2

m t q m t q q

q p

2

2 1 2

m m

m m x x x x

1

2 1

1

2

33 7 0

2 7

6 2

x x

m x

Bài 83: Cho phơng trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0 Tìm các giá trị của m để phơng

trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x1<x2<4

HDẫn : *= 1>0 * x1= m , x2= m + 1  x1 < x2

3 2 4 2 2 1

Bài 84: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phơng trình: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) có các

nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện 3

2

1 2 2

1 2 2

x x

x x

5

2 2

2 1

2 1

2 2 1

x x x

x

*17* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

5 4

1 2 2

x x

x x

9

2 2

2 1

2 1

2 2 1

x x x

a   



Bài 86:

a) Cho hai phơng trình a2x2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a2 = 0 (2) (Với a>c>0)

Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 ; phơng trình (2) có hai nghiệm x1', x2'Chứng minh rằng: x 1 x 2 + x1'.x2' 2

b) Cho các phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) và cx2 + dx + a = 0 ( c 0) (2)

Biết rằng phơng trình (1) có các nghiệm là m và n, phơng trình (2) có các nghiệm là p

b)

a

c mn n

2 2 2 2

c q

p n m

a)Phơng trình ( 2 ) có 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi:

*18* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

0 0 0 4

2

4 3 4 3 2

ac ac b

c

c a x x

c b x

x

ac b

0

0 0 0 4

2

2 1

2 1

2

ac ab ac b

c

a c x

x

a x

x

ac b

0

2

a c

a c b

c

(II)

- Từ (I) và (II)  kết luận ?

b) Cách 1: Nếu  là nghiệm của ( 1 ) thì a 2 b c 0

1 ,

1

x

x x

x   là 2 nghiệm của ( 2 )

2 2 1

Cách 2: x1 x2  x3 x4 2 x1x2  x3x4=

4 1 2 2

2 2

c c

a a c

Bài toán 9 : So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với số 0

Ph

ơng pháp : Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

1) PTB2 có 2 nghiệm trái dấu  P< 0  ac 0

- Đặc biệt PTB2 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm

'



 0 0

S P

'

S P

'

S P

*19* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

3) P TB2 có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau  

'



 0 0

S P

Bài 88: Tìm các giá trị của m để phơng trình:

a) x2 - 2x + m = 0 có 2 nghiệm trái dấu ( m < 0) b) x2 - 2mx + (m - 1)2 = 0 có 2 nghiệm dơng (12m1)

c) 2x2 - 2(m + 1)x + m = 0 có 2 nghiệm âm.    1 

2

m không xảy ra.

Bài 89: Tìm các giá trị của m để phơng trình:

a) x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu ( m < 4) b) x2 - 2(m + 1)x + m 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng (- 0

2

1



m ) c) x2 - 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều là số dơng ( 0<m<1)

Bài 90: Xác định điều kiện của k để phơng trình:

1

m m

Bài 92: Tìm giá trị của m để phơng trình:

m có 2 nghiệm đối nhau ( m = 2)

Bài 96: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0 Xác định điều kiện của m để 2

nghiệm x1 và x2 là độ dài hai cạnh một hình chữ nhật.

0 3

1

m m

Bài 97: Xác định m để phơng trình x2 - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao

cho x 1 , x 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

0

3 5 0

m m m x

Bài 98: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai

m S m

5 2

1 1

1

2 2

2 2 1

m t m x

Bài 99: Tìm các giá trị của m để phơng trình x2  mxm2  m 3  0 (m>0) có hai nghiệm

x 1 , x 2 tơng ứng là độ dài hai cạnh AB, AC của ABC vuông ở A và BC = 2

*21* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

Bài toán 10 : Tìm giá trị của các tham số để hai ph ơng trình bậc hai đã cho t ơng

đ ơng với nhau ( Trong trờng hợp mỗi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt)

4 3 2 1

x x x x

x x x x

- Giải hệ phơng trình tìm giá trị của các tham số.

2 2

n m n m

n m n m mn

n m

3

3 2

n m m

n m n m

4 3 3 4

n m n m

* Thử lại, rút kết luận.

Bài toán 11 : Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph ơng trình bậc

hai theo tham số.

a

- Tính tổng S, tích P theo tham số.

- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện S, P.

- Thay giá trị S, P tính giá trị của biểu thức theo tham số.

trình có nghiệm, tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm.

*22* Chuyên đề PTB2 chứa tham số

0 1 2

'

m m m

*S =  

1 2

4 2

2 5





m m

2 4 2 0

14 2

2

m

m m

1 2 1

m x

x

m x

1 1

11

m m m

2 2 1

2 2

a) M = 5x1 3x25x2 3x1 b) N =

2 1

2 1

2 1 2

1

15 64

15

a

b ac x

x x

2 2 2 1 2 1

2 1

2 2 1

316

83

16

8

b ac

ac b

x x x x

x x x

a

- Tính tổng S, tích P theo tham số.

- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện S, P.

- Thay giá trị S, P tính giá trị của biểu thức theo tham số.



chất của bất đẳng thức tìm giá trị của tham số.

- Đối chiếu điều kiện rút kết luận.

Bài 109: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình 2 2 1 2 10 0

9

2 '

m

m m

0 1

15 4

15 4

15 2

9 8

9 8

9 4

9 2 2 9 18

2 2

15 15 1

x của phơng trình sao cho tổng x 21 x22 có giá trị nhỏ nhất

* Giả sử phơng trình có nghiệm ta có: 2 2 2 2 ( 1 2)min 2

a) Với a 1 ;b 2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 với

mọi giá trị của m.

b) Tìm m để cho x 21 x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tính nghiệm trong trờng hợp này.a) 2 2 2 1 0

4

5 16

3 16

3 16

3 4

2

5 2

Bài 120: Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình sau, tìm giá trị của m để x 21 x22 có giá trị

11 2

3 2 5 6 4

11

min 2

5 2

1 2 3 2 4

5

min 2

3 2

2 '

m

m m

6

2 '

m

m m

5 2 4 10 4

2 2

5 3 2 3

5 2 2 2

Bài 122: Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình sau, tìm giá trị của m để x 1 x2 có giá trị

1 0

1 2

3 2 '

m

m m

1 0

min 2 1

m

m x

x (1) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình (1)

Tìm giá trị của m để biểu thức B = x21x2  x1x22 đạt giá trị lớn nhất

1 4

1 4

1 2

1 )

2 2

2 1 2

Bài 125: Cho phơng trình mx2  2mx 3m 1  0 Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2

*27* Chuyên đề PTB2 chứa tham số của phơng trình trên có tích x1x2 lớn nhất

1 0 0 2 0

* x1x2=

m m

313

4

2 '

m

m m

0 7 10

3

7 9

1 1

2 2

m m S

3

13 2 3

13 2 3

52 0

3 4 13 3

13 2

3 4 13 3

13 2

2 1 2

2 1 2

2 1

x

x x A

2

1 0 1

max   m

A

Bài toán 13 : Chứng minh một biểu thức giữa hai nghiệm x1, x2 của ph ơng trình bậc

hai không phụ thuộc vào giá trị của tham số.

a

- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện x 1 +x 2 , x 1 x 2

- Thay giá trị của x 1 +x 2 , x 1 x 2 (tính theo m)

x có hai nghiệm x1, x2 Chứng minh rằng

Biểu thức H = x11 x2x21 x1 không phụ thuộc vào m.

4

19 2

1 '

x có hai nghiệm x1, x2 Chứng minh rằng

Biểu thức Q = x12007 2006x2x22007 2008x1 không phụ thuộc vào giá trị

của m.

* 0

4

15 2

1 '

Bài toán 14 : Lập ph ơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một điều kiện

nào đó của giả thiết

Ph

ơng pháp : - Tính tổng (S), tích (P) của hai nghiệm.

- áp dụng định lý đảo định lý Viét lập phơng trình X 2 – SX + P=0

Bài 133: Cho phơng trình ax2 bxc 0 a 0 ,c 0 với các nghiệm  và  Hãy lập

Bài 134: Lập một phơng trình bậc hai mà các nghiệm của nó bằng tổng và tích các nghiệm

của phơng trình ax2 bxc 0 a 0

*

a

b x x

y1  1 2   ;

a

c x x

y2  1 2 

*

a

b c y

y1 2   ; 1 2 2

a

bc y

2 2

b c y

Bài 135: Gọi x1 và x2là hai nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 bxc 0 a 0

Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là x21 và x22

2 2 1

2 2 1 2

2

a

ac b x x x

x x

x       ; x21.x22 =   2

2 2 2 1

a

c x

2

2 2

2 2

ac b x

Bài 136: Cho phơng trình x2  5mx 1  0 (1) có hai nghiệm x1, x2 Lập phơng trình bậc

hai có các nghiệm y1, y2 thoả mãn:

a) Là số đối các nghiệm của phơng trình (1)

b) Là nghịch đảo các nghiệm của phơng trình (1)