chuyen de phuong trinh bac 2 va tham sohe thucvietluyen thi len lop 10

Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1;x2 của phơng trình bậc hai... *Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và Ptổng và tích các nghiệm..[r]

Chuyên đề hệ thức viét và các ứng dụng :

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định lý viét:

Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 +bx + c = 0 (a 0 ) thì :

1 2

1 2

b

x x

a c

x x a









2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hhai nghiệm của phơng trình :

X 2– SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 2– SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 4P 0

Các dạng toán :

Dạng 1 Không giải phơng trình , tính tổng và tích các nghiệm số

Phơng pháp giải :

* Tính 0để phơng trình có nghiệm

* áp dụng định lí vi-ét: S = 1 2 1 2

Dạng 2 : Giải phơng trình bằng phơng pháp nhẩm nghiệm :

Phơng pháp giải :

áp dụng định lí vi-ét: 1 2 1 2

* Nếu a + b + c = 0 Thì x1 = 1 ; x2 =

c

a

* Nếu a – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S b + c = 0 Thì x 1 = 1 ; x2 =

-c a

*Nhẩm nếu có 2 số m,n để m+n = S, m.n = P thì phơng trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 ;x 2 của phơng trình bậc hai.

*)Biểu thức giữa x1;x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không thay đổi

*)Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P(tổng và tích các nghiệm)

1

1

1 2

2

)

2 )

x x S

x x



Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2:

ax 2 + bx + c = 0 (a≠0).

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi : P =

0

c

a 

(Hoặc ac < 0)

+)Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi :

D ³ 0; P>0

+) Phương trỡnh có hai nghịệm âm khi :

+)Phương trình có hai nghiệm dương khi :

+) Phương trình có hai nghiệm không âm khi

D ³ 0;S³ 0; P³ 0

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm

d-ơng khi:P<0 và S < 0

……

* Chỳ ý: Nếu b i toán yêu cài toán yêu c ầu có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện n o ài toán yêu c đó thì cần có

Δ > 0

Dạng5: Xác định tham số ( m chẳng hạn) để phương trình bậc

hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện (T) cho trước.

Phơng pháp giải:

Bớc 1- Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x1;x2 :

0 0

a 







V

(*)

Bớc 2-áp dụng định lý Vi-ét ta đợc tính S = x1+x2; P = x1.x2

Bớc 3- Từ ĐK (T) và S tính x1,x2 theo m thế vào P để tìm m thử lại điều kiện (*) rồi kết luận

Ví dụ 1:Cho phơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)

a/ Giải phơng trình (1) với m = 3

b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 2

2

x  x 

(Trích đề thi vào lớp 10 THPT Năm học 2009 - 2010 -Bắc Ninh)

LG:

a)Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0

 4x2 - 4x + 1 = 0

2

(2x 1) 0

 ) Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2

b)Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì

2

m 1 0 ' m 2m 1 (m 1)(m 2) 0

 





       



m 1 0

' m 2m 1 m m 2 0

 



 

       



(*)

Mà theo ĐL Vi-ét ta có: 1 2 1 2

ta có:

1 2





2(m 1) m 2 3

:

m 1 m 1 2

2(m 1) m 1 3

.

m 1 m 2 2









  4m 4 3m 6     m  2 thoả mãn (*)

Vậy m phải tìm là -2

Dạng 6 * :thức liên hệ giữa các nghiệm x 1 ;x 2 của phơng

trình bậc hai

ax  bx c   a  không phụ thuộc tham số.

(Giả sử tham số là m)

Bớc1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2:

Bớc 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2

Bớc3 Khử m từ bước 2 bằng phương pháp thế (Rút m theo x thế vào S hoặc P) hoặc cộng đại

số ta sẽ được biểu thức cần tìm

Ví dụ1:Cho phơng trình x2 - mx + 2m - 3 = 0

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Giải:

+)Phơng trình trên có nghiệm khi:  =m2 - 8 m + 12 ≥ 0

(m- 2)(m-6)) ≥ 0

6 2

m m











+)Theo hệ thức Vi-ét ta đợc :

1 2

1 2

(1)

x x m

x x m







+)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta đợc : x1x2=2(x1+x2) - 3

Cách 2:Nhân cả hai vế của(1) với 2 rồi trừ vế với vế cho (2) ta đợc:

3 =2(x1+x2)- x1x2

Ví dụ 2:Cho phơng trình: (m - 1)x2- 2(m - 4 )x +m - 5 = 0

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Giải:

Trớc hết ta cần tìm m để pt có 2 nghiệm x1;x2 :

,

1 0

m

m





1 11 2

m m















11 1

2

m

Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x1;x2. Theo hệ thức Vi-ét ta đợc :

1 2

1 2

1 5

1

m

x x

m

m

x x

m









1 2

1 2

6 2

1 4 1

1

x x

m

x x

m





1+x2) - 3 x1x2=1

Ví dụ 3:Cho phơng trình: m x2- (2m + 3 ) x+ m - 4= 0

a)Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Giải:

a)Phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:

2

0

m







0

m m







 

0 9 28

m m









 



Vậy với

9 0

28

m

thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt

b)Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn:

1 2

1 2

4

m

x x

m m

x x

m











1 2

1 2

3 2 4 1

x x

m

x x

m









1 2

1 2

12

12

x x

m

x x

m







4(x1+x2) +3 x1x2=11 Đây chính là hệ thức cần tìm

Ví dụ 4 :Giả sử x1;x2 là nghiệm của phơng trình:

x2- 2 (m - 1 ) x+m 2 - 1= 0

Tìm hệ thức giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m

Giải:

Phơng trình có nghiệm



, (m 1)2 (m2 1) 2m 2

áp dụng hệ thức Vi-ét ta đợc:

2

1(2)

P m







Từ (1)suy ra m=

2 2

S 

Thay vào (2) ta đợc:

P =

2

2 1 2

S 



Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) 2 +4(x1+x2 =) 4 x1x2

Phơng pháp giải : Trong một phơng trình có hai ẩn số Ta xem 1 ẩn là tham số rồi giải phơng này theo ẩn còn lại phơng pháp giải này đợc gọi là Đặt tham số mới “Đặt tham số mới “ “Đặt tham số mới “

Bài 34 : CMR Chỉ có một cặp số duy nhất thoa mãn phơng trình :

x  x y  y 

Cách 1 : đặt tham số mới : Xem x là ẩn , y là tham số (y 0) ta có

Vì - y  32 0

PT chỉ có nghiệm khi

Khi đó phơng trình có nghiệm kép x = -2 Vậy cặp số (2 ; 9)là cặp số duy nhất thoả mãn PT đã cho

Cách 2: (Tổng bình phơng )

(1)

9

3 0

y y







Dạng 7 So sánh nghiệm của phơng trình bậc 2 với một số a.

Bớc 1: Xét dấu hiệu các nghiệm của pt với a

Bớc 2: Xét dấu của tổng hoặc tích hoặc cả tổng và tích các hiệu ở bớc 1

Bớc 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết quả của bớc 2 theo tham số

Bớc 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm và kết luận

Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1:

x2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S (m – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 1)x – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S m = 0 ( Bài 16) trong bộ đề)

Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 3:

2x2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 4x + 5(m – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 1) = 0

Chú ý: Nếu tìm x đơn giản có thể tìm x theo m rồi so sánh

Bài 3*: Tìm giá trị của m để phơng trình: x2 + mx + m – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 1 = 0 có 2 nghiệm lớn hơn m

Bài 4*: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có một nghiệm lớn hơn 2:

mx2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S (2m+1)x + (m+1) = 0

CHỨA THAM SỐ

A.Ki ế n th ứ c c ầ n ghi nh ớ

1 Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc

tham số m, ta xét 2 trường hợp:

 a) Nếu a = 0

Khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể :

- Có một nghiệm duy nhất

- hoặc vô nghiệm

- hoặc vô số nghiệm

 b)Nếu a 0

Lập biệt số Δ= b2 – 4ac hoặc Δ/ = b/2 – ac

 Δ < 0 (Δ/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm

 Δ = 0 (Δ/ = 0 ): phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - b

2 a (hoặc x1,2 = -b

❑

a )

 Δ > 0 (Δ/ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = −b −√Δ

2 a ; x2 =

−b+√Δ

2 a

(hoặc x1 = −b❑−√Δ❑

a ; x2 = −b

❑

+√Δ❑

a )

2 Định lý Viét.

Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì

S = x1 + x2 = - b a

p = x1x2 = c

a

Đảo lại: Nếu có hai số x1, x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña

ph-¬ng tr×nh bËc 2:

x 2 – S x + p = 0

3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai.

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:

 Hai nghiÖm x 1 vµ x 2 tr¸i dÊu( x 1 < 0 < x 2 ) ⇔ p < 0

 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x 1 > 0 vµ x 2 > 0 ) ⇔

Δ≥ 0 p>0 S>0

¿{ {

¿

¿

 Hai nghiÖm cïng ©m (x 1 < 0 vµ x 2 < 0) ⇔

Δ≥ 0 p>0 S<0

¿{ {

¿

¿

 Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm d¬ng( x 2 > x 1 = 0) ⇔

Δ>0 p=0

S >0

¿{ {

¿

¿

 Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x 1 < x 2 = 0) ⇔

Δ>0 p=0

S <0

¿{ {

¿

¿

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0)

 Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = c

a

 Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = -1 , x 2 = - c

a

 Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và Δ≥ 0 thì phơng trình có nghiệm

x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ,x 2 của nó

Cách làm :

 - Lập tổng S = x1 + x2

 - Lập tích p = x1x2

 - Phơng trình cần tìm là : x 2 - S x + p = 0

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho

tr-ớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

x1+ x2 = (x1+ x2)2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 2x1x2 = S2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 2p (x1 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S x2)2 = (x1 + x2)2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 4x1x2 = S2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 4p

x1 + x2 = (x1 + x2)3 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 3x1x2(x1 + x2) = S3 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 3Sp

x1 + x2 = (x1 + x2 )2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 2x1 x2

1

x1+

1

x2=

x1+x2

x1x2 =

S p

x1

x2+

x2

x1=

x12+x22

x1x2 = S

2

− 2 p p

(x1 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S a)( x2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S a) = x1x2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S a(x1 + x2) + a2 = p – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S aS + a2

1

x1−a+

1

x2− a=

x1+x2−2 a

(x1− a)(x2− a)=

S − 2 a

p −aS+a2

(Chú ý : Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện Δ≥ 0)

d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc Tìm nghiệm thứ 2

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:

 Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: Δ≥ 0(hoặc Δ❑≥ 0)

(*)

 Thay x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

 Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận

+) Cách 2:

 Không cần lập điều kiệnΔ≥ 0 (hoặc Δ❑≥ 0) mà ta thay luôn x = x1 vào phơng

trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

 Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có

Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

 Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm

Cách giải:

+) Cách 1:

 Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách

2 trình bầy ở trên)

+) Cách 2 :

 Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2

+) Cách 3:

 Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2

Áp dụng

Bài 1/ Cho phương trỡnh: x2 – 4x + m – 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trỡnh khi m = -20

b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú

Bài 2/ Cho phương trỡnh: x2 – (m - 2)x + m – 5 = 0.(x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Chứng tỏ phương trỡnh cú nghiệm với mọi m

b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu

Bài 3/ Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 – 5x + 2 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú

b/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu

Bài 4/ Cho phương trỡnh: (m – 4)x2 – 6x + 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm

b/ Giải phương trỡnh khi m = 3

Bài 5/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 4)x + m – 6 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2 Tớnh nghiệm cũn lại

b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m

Bài 6/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 3)x + m – 4 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trỡnh khi m = 4

b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m

c/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp ba nghiệm kia

Bài 7/ Cho phương trỡnh: 5x2 – 2x + m = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trỡnh khi m = -16

b/ Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú

c/ Tớnh giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương

Bài 8/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 2)x + m – 4 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m

b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nhiệm đối nhau

Bài 9/ Cho phương trỡnh: 3x2 – √3x + √3 – 3 = 0

Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh:

a/x12

x2+

x2

x1

Bài 10/ Cho phương trỡnh: x2 – 9x + m – 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trỡnh khi m = -9

b/ Tớnh giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp đụi nghiệm kia

Bài 11/ Cho phương trỡnh: mx2 – 4x + 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trỡnh khi m = 1

2 b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú

Bài 12/ Cho phương trình: x2 – (m – 5)x + m – 7 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm còn lại b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

c/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Bài 13/ Cho phương trình: (m – 1)x2 – (2m + 1)x + 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

c/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 3 Tính nghiệm còn lại

Bài 14/ Cho phương trình: x2 – 5x + m – 2 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trình khi m = 2; m = 8

b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

c/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm kia

Bài 15/ Cho phương trình: x2 – 8x + m – 2 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 10 Tính nghiệm còn lại b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp ba nghiệm kia

Bài 16/ Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + m – 5 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm còn lại c/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bài 17/ Cho phương trình: x2 – 4x + m – 3 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trình khi m = -3

b/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm còn lại c/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm

d/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm kia

Bài 18/ Cho phương trình: x2 – 3x + m – 3 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trình khi m = -7

b/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

x1

x2+

x2

x1=

5 2

Bài 19/ Cho phương trình: x2 – 2mx – 4m – 11 = 0; (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trình khi m = 1

b/ Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

x1

x2−1+

x2

x1− 1=−5