De thi hsg toan 9

Trên các đường thẳng AB, AC thứ tự lấy hai điểm M, N sao cho M, N đối xứng với nhau qua D.[r]

Môn: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu plà số nguyên tố bất kỳ, thì với mọi số tự nhiên n ta luôn có:

n  n p

Câu 2: (4,0 điểm)

a, Giải phương trình: 3 2 4  x 2x 5

b, Giải hệ phương trình:

2

2 2 2

12

6

2 2

x

y

x y

x y y

 











Câu 3: (3,0 điểm)

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức:

P x  x  x  x

Câu 4: (4,0 điểm)

Cho các số thực dương a ;;b c Chứng minh rằng:

3 81

a bc b ca c ab

a b c

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

Câu 5: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O , trực tâm H Đường tròn O1đường kính

AH cắt đường tròn ( )O tại K khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt O1 tại F khác

H

a, Chứng minh rằng: KH, AF, BC đồng quy

b, Gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC AD cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là E Trên các đường thẳng AB, AC thứ tự lấy hai điểm M, N sao cho M, N đối xứng với nhau qua

D Chứng minh rằng  I đi qua E và tiếp xúc với MN tại D luôn đi qua một điểm cố định khi

D thay đổi

Câu 6: (1,0 điểm)

Cho 4030 số nguyên dương a i;b i i 1;2015

nhỏ hơn 2015 1008 Trong đó, các a i đôi một khác nhau và các b i đôi một khác nhau Chứng minh rằng trong 4030 số đã cho tồn tại bốn số a x; a y;b m;b n thỏa mãn a x a y b m  b n

HẾT./.