NGUYỄN TẤN TRƯỜNG SỞ GD&ĐT Thừa Thiên - Huế sưu tầm và giới thiệu ĐÁP ÁN Bài 1... Gv: Phạm Doãn Lê Bình.[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ - năm 20121
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức Q =
q
x −p4(x − 1) +qx +p4(x − 1)
px2− 4(x − 1) ·
1 − 1
x − 1
1) Rút gọn biểu thức Q
2) Tính giá trị Q khi x = 2013
Bài 2 (4 điểm) Cho phương trình x2− 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 (1)
1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Tìm m nguyên dương để A = x1
x2
2
+ x2
x1
2
có giá trị nguyên
Bài 3 (4 điểm) 1) Giải phương trình 1
(x − 1)2 +√
3x + 1 = 1
x2 +√
x + 2
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho x < y và √
x +√
y =√ 2012
Bài 4 (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O0; R0) (R > R0) cắt nhau tại A và B Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tiếp xúc với đường tròn (O0) tại D Gọi I
là giao điểm của AB và CD, B0 là điểm đối xứng của B qua I; C0 là điểm đối xứng của
B qua CD Qua A kẻ cát tuyến song song với CD cắt đường tròn (O) tại P , cắt đường tròn (O0) tại Q Gọi M ; N lần lượt là giao điểm của DB, CB với P Q
1) Chứng minh rằng A là trung điểm của M N
2) Chứng minh rằng năm điểm A, C, B0, C0, D cùng nằm trên một đường tròn
Bài 5 (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, cạnh BC tiếp xúc với đường tròn (O) tại D Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A thì SABC = BD.DC Bài 6 (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để 2012 + n2 là số chính phương
NGUYỄN TẤN TRƯỜNG (SỞ GD&ĐT Thừa Thiên - Huế) sưu tầm và giới thiệu
ĐÁP ÁN Bài 1 1) ĐK: 1 < x 6= 2
Q =
√
x − 1 − 1 +
√
x − 1 + 1
x − 2
x − 1
Khi 1 < x < 2 thì Q = 2
1 − x Khi x > 2 thì Q = √ 2
x − 1 2) Do x = 2013 > 2 nên Q = √ 2
2013 − 1 =
√ 503 503
1 Báo Toán học & Tuổi trẻ số 422, tháng 8 năm 2012
1
Trang 2Bài 2 1) Ta có ∆0 = (m − 2)2+ 2 > 0 ∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
x1; x2 (x1 < x2) với mọi m
Để phương trình có nghiệm dương thì x1 ≤ 0 < x2 hoặc 0 < x1 < x2 ⇔ m ≤ 5
2 hoặc
m > 5
2 ⇔ ∀m ∈ R
2) A = x
4
1+ x42
(x1x2)2 = ((x1+ x2)
2− 2x1x2)2− 2(x1x2)2 (x1x2)2
= (4m
2− 12m + 14)2
(2m − 5)2 − 2 =
2m − 1 + 9
2m − 5
2
− 2
Để A nguyên thì 9 (2m − 5) ⇔ 2m − 5 ∈ {±1, ±3, ±9} Vậy m ∈ {1; 2; 3; 4; 7}.
Bài 3 ĐK x 6= 0, x 6= 1 và x ≥ −1
3 (*) Biến đổi PT thành
1
(x − 1)2 − 1
x2 =√
x + 2 −√
3x + 1 ⇔ (2x − 1)
1 (x − 1)2x2 + √ 1
x + 2 +√
3x + 1
= 0
⇔ 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1
2 (thỏa mãn (*)).
2) ĐK: 0 ≤ x < y và x, y ∈ N
Ta có √
x +√
y = 2√
503 do đó √
x = a√
503, y = b√
503 với a, b ∈ N, a + b = 2, a < b Do đó
a = 0; b = 2 Vậy (x; y) = (0; 2012)
Bài 4 (h.1)
Hình 1
1) Vì P Q//CD, theo Hệ quả của định lí Thales ta có CI
AN =
BI
BA;
DI
AM =
BI BA
⇒ CI
AN =
DI
AM (1)
Ta có ∆ACI v ∆CBI (g.g)
⇒ CI2 = AI.BI (2) Tương tự DI2 = AI.BI (3)
Từ (2) và (3) ta có CI = DI Từ (1) ta có
AM = AN (đpcm)
2) Từ Câu 1 thì tứ giác BCB0D là hình bình hành Do đó \CBD = \CB0D (4) Mặt khác
\ CAD = [CAI + [DAI
= [BCI + [BDI = \BCD + \CDB
⇒ \CAD + \CB0D = \BCD + \CDB + \CBD = 180o (5)
nên tứ giác ACB0D nội tiếp (6)
Mặt khác, C0 là điểm đối xứng của B qua CD, suy ra \CBD = \CC0D (7)
Từ (4), (5) và (7) ta có \CAD + \CC0D = 180o, nên tứ giác ACC0D nội tiếp (8)
Từ (6) và (8) ta có 5 điểm A, C, B0, C, D cùng nằm trên một đường tròn
Bài 5 (h.2)
Hình 2
Đặt AB = c, AC = b, BC = a
Đường tròn (O) tiếp xúc AC, AB thứ tự tại E, F
2BD = BD + BF = (BC − DC) + (AB − AF )
= (BC + AB) − (DC + AF ) = (BC + AB) − (CE + AE)
= BC + AB − CA = a + c − b
⇒ 2DB = a − (b − c) Tương tự 2DC = a + (b − c)
2
Trang 3Suy ra 4DB.DC = a2− (b2+ c2) + 2bc (1)
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì a2 = b2+ c2 và SABC = 1
2AB.AC =
1
2b.c (2)
Từ (1) và (2) suy ra DB.DC = bc
2 = SABC (đpcm) Bài 6 Giả sử 2012 + n2 = m2
(m, n ∈ N; m > n)
Suy ra (m + n)(m − n) = 2012
Nhận thấy m + n + m − n = 2m nên hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ
Suy ra m + n và m − n đều chẵn, m + n > m − n Do đó m + n = 1006
m − n = 2 ⇔ m = 504
n = 502 Vậy số cần tìm n = 502
3
... & Tuổi trẻ số 422, tháng năm 20121
Trang 2Bài 1) Ta có ∆0 = (m − 2)2+... 2DB = a − (b − c) Tương tự 2DC = a + (b − c)
2
Trang 3Suy 4DB.DC = a2− (b2+... Thales ta có CI
AN =
BI
BA;
DI
AM =
BI BA
⇒ CI
AN =
DI
AM